LA GEOMETRÍA EN EL ARTE (10)

Las Proporciones inconmensurables

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La Divina Proporción y el Pentagrama pitagórico (1)

 

«La Geometría tiene dos grandes tesoros, uno es el Teorema de Pitágoras y el otro es la Divina Proporción [la Sección Áurea]; si el primero es una joya de oro, el segundo viene a ser una piedra preciosa».

— Johannes KEPLER (1571–1630), astrónomo y matemático alemán. Mysterium Cosmographicum. Tubinga.1596.

El Secreto del universo. Alianza Universidad. Madrid, 1992, pág.134.

La Sección áurea o Divina Proporción es uno de los capítulos más curiosos y fascinantes de la Geometría pitagórica, donde se entremezclan los aspectos propiamente matemáticos y artísticos con otros de naturaleza mística y esotérica. Como tópico pitagórico aparece a lo largo de Los Elementos de Euclides en los Libros II, IV, VI y XIII. En los Libros II y VI aparece la cuestión en relación con la propia construcción geométrica de la «división de un segmento en media y extrema razón», que así llamaban los griegos a la subdivisión de un segmento en forma áurea, en el ámbito de la resolución geométrica de ecuaciones. En el Libro IV, la sección áurea se aplica a la construcción del triángulo áureo vinculado a la inscripción del pentágono regular en un círculo. En el Libro XIII, tras el estudio del Pentagrama místico pitagórico, resultado del trazado de las diagonales del citado pentágono, se demuestran bellísimas propiedades que vinculan de forma áurea los lados de polígonos inscritos en un mismo círculo.

La Divina Proporción posee hermosas propiedades geométricas y su aplicación es omnipresente en la creación artística. Allí donde haya una especial intensificación de la belleza y la armonía de las formas, se encontrará la Divina Proporción, y de forma singular en la naturaleza, donde muchos artistas han encontrado su inspiración.

La Divina Proporción ha fascinado, cultura tras cultura, y ha propiciado importantes especulaciones filosóficas, teológicas, científicas, estéticas e incluso mágicas, desde que la humanidad empieza a reflexionar sobre las formas geométricas que conforman el universo, y es el Pitagorismo el sistema de pensamiento que empieza a dar consistencia racional a toda esta doctrina, hasta llegar a Gaudí y Dalí, en nuestro tiempo.

Aunque Euclides realiza una construcción equivalente a la Sección Áurea en la Proposición II.11. de Los Elementos, introduce la noción en la Definición VI.3 de Los Elementos:

► «Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor».

 

 

Esta subdivisión de un segmento era tan familiar y habitual para los antiguos griegos que no sintieron la necesidad de darle un nombre concreto para designarla, se la llamaba «división de un segmento en media y extrema razón» o de forma sucinta y lacónica «la sección».

Desde los tiempos de Luca Pacioli se la denomina «La Divina Proporción» y Leonardo da Vinci y Kepler (para quien era «una piedra preciosa de la Geometría») la llaman «La Sección Áurea».

Tomando AB=1, BC=x, la razón áurea se escribirá: (x+1)/x = x/1. Al número x se le llama el «número de oro». Tradicionalmente se le representa por la letra griega f, que es la inicial del nombre del artista griego Fidias, escultor del Partenón. Así pues, f es la solución de la ecuación: f2 – f –1=0, cuya raíz positiva es:

f  = (1+√5)/2 =  1,61803399…

La otra raíz es:  f’ = (1−√5)/2 = − 0,61803399…

Al ser soluciones de una ecuación cuadrática ambas verifican: f + f’ =  1, f · f’ = −1.

 

El rectángulo áureo y las espirales áureas

Un rectángulo AFGD se llama áureo cuando las dimensiones (AF, AD) guardan las proporciones áureas. La Proposición II.11 de Euclides nos permite realizar la construcción de un «rectángulo áureo» a partir de un cuadrado ABCD.

La constatación del carácter áureo del rectángulo AFGD, AF/FG=FG/BF, determina que los rectángulos AFGD y BFGC son semejantes y por tanto éste último también es áureo. Esto muestra el carácter auto-reproductivo del rectángulo áureo.

En efecto, si partimos de un rectángulo áureo ABCD (figura inferior), y le sustraemos el cuadrado AEFD de lado la dimensión menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si ahora de este sustraemos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el polo O de una espiral logarítmica.

La espiral logarítmica ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante, según Descartes), o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética, según Halley). Jakob Bernouilli (1655−1705) fascinado por sus encantos la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La Divina Proporción en la belleza y en el Arte

Importantes especulaciones filosóficas, teológicas, científicas y sobre todo estéticas han surgido en torno a la Divina Proporción desde que la humanidad empieza a reflexionar sobre las formas geométricas que conforman el mundo, y es el pitagorismo quien comienza a dar consistencia racional a toda esta doctrina. La Sección Áurea o Divina Proporción está presente en el arte sacro de Egipto, India, China y el Islam, domina el arte griego, persiste, aunque oculta, en la Arquitectura gótica de la Edad Media y resurge para su consagración en el Renacimiento. Puede decirse que donde haya una intensa acentuación de la belleza y la armonía de las formas, se hallará la Divina Proporción, por ejemplo en multitud de ámbitos de la naturaleza, de donde muchos artistas extraen su inspiración.

La Divina Proporción, sobre todo en forma de rectángulo áureo, es uno de los métodos canónicos de composición para obras de arte más utilizados por toda clase de artistas a lo largo de la Historia. Mencionemos a título de ejemplo algunas obras, que según numerosos estudios, son emblemáticas de la utilización de las proporciones áureas:

  • Arquitectura: la gran Pirámide de Keops, el Partenón, la Tumba rupestre de Mira, el templo de la Concordia de Agrigento, El arco de Septimio Severo, la gran muralla china, la Puerta de la muralla de Bagdad, San Pablo de Londres, El Castillo de Windsor, Santa María de las Flores de Florencia, Palacios de la Plaza de la Concordia de París, la fachada de la Universidad de Salamanca, etc.
  • Pintura: el Bautismo de Cristo de Piero della Francesca, la Santa Cena y la Anunciación de Leonardo, San Miguel abatiendo al demonio y la bella Jardinera de Rafael, La Creación de Miguel Ángel, Los Pastores de la Arcadia de Poussin, las Meninas de Velázquez, Saturno devorando a sus hijos de Goya, Leda atómica de Dalí, etc.

En cuanto a escultura, son legión las obras que guardan las proporcionesáureas, ya que es precisamente en elcuerpo humano donde podemos descubrir el significado físico y metafísico del Número de oro, tal y como lo expresa el aforismo de Heráclito y de Protágoras:

► «El hombre es la medida de todas las cosas».

Numerosos trabajos a caballo entre el Arte y la Anatomía establecen que la Divina Proporción interviene en el canon ideal de la belleza humana, en particular en las dimensiones del rostro y de la mano.

Quizá sea Vitrubio en su obra De Architectura quien más explícitamente trata estas cuestiones, en relación con proporciones medias e ideales del cuerpo. Según Vitrubio, los escultores griegos habían estudiado con profundidad las proporciones del cuerpo humano, al esculpir sus obras según las dimensiones áureas como lo habían hecho los arquitectos en los templos y monumentos. Para Vitrubio mientras los órganos sexuales dividen en dos mitades exactas el cuerpo humano, el ombligo divide al cuerpo de acuerdo con la sección áurea. No obstante, al nacer, el ombligo divide al niño exactamente en dos, y en el curso de la maduración el ombligo se traslada al punto de la división áurea. La descripción que con todo detalle realiza Vitrubio es plasmada por la genialidad artística de Leonardo da Vinci en su diseño más conocido sobre la figura humana: «El Hombre de Vitrubio».

La sección áurea o Divina Proporción es una razón que desde sus orígenes pitagóricos ha fascinado cultura tras cultura. A partir del Renacimiento se convirtió en una proporción muy utilizada por arquitectos, pintores, escultores, impresores y diseñadores y en nuestra época las múltiples proporciones áureas presentes en el cuerpo humano influyeron sobre el arquitecto Le Corbusier en muchos de sus proyectos. Duckworth encontró en Princeton en 1940 que la Divina Proporción presidía la longitud de los parágrafos de La Eneida de Virgilio y Lendvay ha demostrado que Bela Bartok usó la razón áurea en sus composiciones. También ciertos estudios musicales (alguno publicado en revistas tan prestigiosas como American Scientist) han establecido el uso de la Proporción de oro en algunas composiciones de Mozart, Beethoven, Schubert, Debussy y Satie. Todo ello ha llevado a plantearse si los artistas han usado la Divina Proporción de forma consciente como una referencia para su trabajo creativo o inconscientemente, debido a la ubicuidad de esta razón en el mundo que nos rodea, ya que tal vez vivimos en un mundo proporcionado por la razón áurea.

 

Proporciones áureas en la Pirámide de Keops

El área total de la pirámide y el área lateral se encuentran en proporción áurea, y también lo están el área lateral y el área de la base.

Demostración:

Para calcular el área de cada triángulo hay que conocer su altura, ya que se conoce su base que es 230.

Se forma un triángulo rectángulo con la altura de la pirámide (146), la altura de cada triángulo (h) y la mitad de la base (115). 

g Se aplica el Teorema de Pitágoras :

h2 = 1152 + 1462 = 34541

h = 185,8521 m.

g At:  = área del triángulo = 230 x 185,8521/2 = 21372,9905 m2

g AL = área lateral  = 421372,9905 = 85491,9622 m2

gAT =  área total = AB +AL =2302 + 85491,9622 = 138391,9622 m2

 

Por tanto, la relación entre las diferentes áreas será:

AT/AL = 1,618 » f y AL/AB = 1,618 » f .

☻ Es decir, el número de oro ya aparece hace 2500 años.

 

La sección áurea en Leonardo da Vinci

No hay un testimonio directo del uso de la proporción áurea por Leonardo en ninguna de sus obras. Sin embargo, como el genio había ilustrado el famoso trabajo documental de Luca Pacioli “La Divina Proporción”, muchos estudiosos de su obra, estiman que aplicaba la proporción áurea como una especie código secreto omnipresente en toda su labor artística, a base de puntos, líneas, cuadrados, rectángulos, curvas y otras referencias imaginarias, presentes de forma subrepticia en sus imágenes, que apuntan a una de las frases más importantes de su Tratado de la Pintura: «No lea mis principios quien no sea matemático».

 

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