Descubrimiento y Demostración en Arquímedes
► «Arquímedes abrió nuevas vías en la geometría e hizo tan gran número de descubrimientos, que la antigüedad le ha concedido de común acuerdo el primer lugar entre los geómetras».
— J.F. MONTUCLA. Histoire des Mathématiques. Blanchard, París, 1968. Tomo I, Libro IV, Cap.V, pág .223.
► «Poco tiempo después de Euclides, un hombre de una fuerza de espíritu prodigiosa, marcó la época más grande de la geometría de los antiguos, por los numerosos descubrimientos que fundaron algunas de las teorías más importantes de la actualidad en todas las ramas de las ciencias matemáticas».
— M. CHASLES. Aperçu historique sur l’origine et le développment des méthodes en Géométrie. Éditions Jacques Gabay, París, 1989, pág.15.
► «Existe una unanimidad universal en la calificación de Arquímedes como el más grande de los matemáticos de la antigüedad y uno de los más grandes de todos los tiempos, por la intensidad que se da en él el afán por el rigor, la fruición por la demostración y el virtuosismo de los grandes artistas».
— J. BABINI. Arquímedes. Espasa‑Calpe, Buenos Aires, 1948, pág.138.
Arquímedes compartía con Euclides la fuerza demostrativa del razonamiento matemático, pero en el talento y el ingenio para la invención superó con amplitud a todos sus coetáneos y antecesores, ensanchando de forma muy considerable el caudal matemático griego con multitud de cuestiones originales y problemas geométricos nuevos. A diferencia de Euclides, en su actividad investigadora, Arquímedes no descarta ningún procedimiento técnico extraído del mundo físico o geométrico sino que aprovecha cuanto habían desdeñado o proscrito los matemáticos platónicos que le precedieron (lo infinitesimal, lo mecánico, lo operativo), y todo lo que le ofrece la realidad, por irregular y corpórea que sea (audacia herética para los sucesores de Euclides, cuya autoridad era incuestionable en Alejandría), como elementos de una investigación objetiva precedente, a la que sigue, bajo un espíritu pleno de rigor euclidiano, la convalidación apodíctica de todo cuanto en la fase inventiva anterior ha intuido.
Arquímedes lleva por tanto una doble actividad como matemático, la inventiva y la demostrativa, pero en sus grandes tratados clásicos sólo da cuenta de la segunda, produciendo una gran admiración sus magníficos resultados matemáticos, pero también una gran perplejidad, ante la ocultación del camino seguido en la investigación. Sólo en una obra, El Método relativo a los teoremas mecánicos (cuyo largo título indicamos por EL MÉTODO), Arquímedes, de una forma muy diferente a los esquemas metodológicos alejandrinos euclídeos, con una brillante conjunción de la mecánica y la geometría, revela de forma heurística, en una comunicación a Eratóstenes (a la sazón en Alejandría), las vías y los procedimientos mecánicos que utilizaba en sus descubrimientos matemáticos.
Desgraciadamente, como veremos, la obra de Arquímedes (EL MÉTODO) desapareció en la oscuridad de los siglos, siendo descubierta en novelescas circunstancias, en 1906, y exhumada de un palimpsesto medieval gracias a la perspicacia y la sagacidad del ilustre helenista e historiador científico danés J.L. Heiberg, en una encomiable labor de verdadera arqueología matemática, de modo que aunque se intuía que Arquímedes utilizaba un método singularmente original en su investigación, permaneció oculto durante siglos.
Arquímedes afrontaba y resolvía problemas que iban más allá de la geometría tradicional, aplicando a las cuestiones geométricas razonamientos análogos a los empleados en las cuestiones mecánicas. En los contenidos trascendió de forma considerable Los Elementos de Euclides. Así, por ejemplo, consiguió obtener la primera cuadratura de la parábola, el primer ejemplo histórico de la obtención de un área limitada por curvas y rectas, comunicando a los científicos de Alejandría, en EL MÉTODO, el procedimiento mecánico del que se sirvió para descubrir el resultado, así como la demostración rigurosa, en su tratado Sobre la Cuadratura de la Parábola, en cuyo preámbulo dirigido a Dositeo, Arquímedes escribe [Mugler, Archimède, II, Les Belles Lettres, 1971, pág.164]:
► «Pero ninguno de mis predecesores, que yo sepa, ha buscado la cuadratura del segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo, problema cuya solución he encontrado».
De forma análoga, Arquímedes tiene conciencia de la originalidad e importancia de los resultados sobre la esfera, el cilindro y el cono, en donde no sólo considera los volúmenes de estas figuras, sino que va más allá del Libro XII de Los Elementos de Euclides, al estudiar también las superficies, llegando a obtener la cuadratura de la esfera. En el preámbulo de su obra Sobre la Esfera y el Cilindro, Arquímedes se manifiesta de una forma que tiene un inequívoco sello platónico [Ver Eecke, Les Oeuvres complètes d’Archimède, I, 1960. pág.3]:
► « […] Aunque estas propiedades eran inherentes a las figuras a que acabo de referirme [la esfera y el cilindro], no habían sido conocidas por quienes me han precedido en el estudio de la geometría […]».
Arquímedes demuestra muchos de los resultados matemáticos relacionados anteriormente, en las llamadas obras fundamentales, mediante el denominado «método de exhaución» de Eudoxo. Acerca del nombre de «método de exhaución» observamos que es bastante inapropiado, pues aunque la etimología y semántica del término insinúan y sugieren que en las cuadraturas, por ejemplo, los polígonos se van aproximando indefinidamente a la figura a cuadrar hasta alcanzar rigurosamente el resultado de forma equivalente a la aplicación de un límite, no es realmente así porque nunca se llega a «agotar», con las figuras inscritas y circunscritas que van aproximando la figura geométrica cuya magnitud se quiere estudiar, es decir, la figura de la que se quiere hallar su cuadratura o su cubatura, sino que basta alcanzar un punto en que cierta figura es menor que una figura dada. De esta forma, mediante la prueba indirecta del argumento de la “doble reducción al absurdo” se evita el uso explícito de los límites.
Es más, el nombre de “exhaución” es paradójico porque precisamente pretende resolver con rigor el problema de la inexhaustividad e intangibilidad del infinito. De hecho el nombre del método no lo utilizaron los griegos, sino que es una desafortunada acuñación introducida en el siglo XVII por G.de Saint Vincent, pero su uso se ha hecho habitual en la literatura matemática, aunque uno de los más importantes estudiosos de Arquímedes, E.J.Dijksterhuis [Archimedes. Princeton University Press, 1987, pág.132] se resiste a llamarlo así y prefiere denominarle «el método indirecto del proceso infinito», lo cual es acorde con la misión esencial que cumple, que es excluir de la geometría griega mediante la aplicación del Principio de Eudoxo (Euclides X.1) la existencia del infinitésimo actual y admitir, en la matemática, de acuerdo con La Física de Aristóteles (Libro III, cap.7, 207a, 208a), sólo el infinito potencial, basado en la idea de «tan grande o tan pequeño como se quiera» que se orientará ulteriormente hacia la noción aritmética de límite del Cálculo Infinitesimal.
Aunque el método de exhaución de Eudoxo y Arquímedes confiere un rigor lógico impecable al argumento matemático, tiene ciertas servidumbres. En primer lugar, es bastante laborioso el establecimiento de las desigualdades básicas que se necesitan para iniciar una doble reducción al absurdo, lo que hace bastante onerosa la lectura de muchas de las obras de Arquímedes, pero lo más arduo es que este método obliga a conocer previamente el resultado a demostrar, es decir carece de valor heurístico, no sirve para encontrar nuevas verdades sino sólo para demostrar aquellas de las cuales ya se tiene un conocimiento previo. El «método de exhaución» es pues un método de demostración y no de descubrimiento, precisando ser complementado a priori con otro método, ya sea analítico o mecánico, para descubrir los resultados.
Siendo esto así, surge inmediatamente de forma natural la pregunta acerca de cómo conocía y obtenía Arquímedes los magníficos resultados que luego demostraba con un rigor absoluto, porque en ninguna de las obras citadas, que hemos llamado clásicas, el genio de Siracusa sugiere lo más mínimo al respecto. Cabe decir que en los casos sencillos, Arquímedes puede haber llegado intuitivamente a los resultados por vía inductiva. Por ejemplo, relacionando un polígono con el cuadrado construido sobre el diámetro de su círculo circunscrito, sabiendo que las áreas de dos polígonos regulares de igual número de lados están en razón como los cuadrados correspondientes aludidos (Elementos, XII.1), razonando inductivamente resulta plausible que la misma razón se mantenga para los propios círculos (Elementos, XII.2). Así se aventuraría un resultado (ya conocido por Hipócrates de Quíos), que el método de exhaución (aplicado por Eudoxo) confirmaría plenamente a posteriori.
Pero el alcance de la intuición, por muy desarrollada que esté por la experiencia, la imaginación y el ingenio geométrico, atributos que sin duda alguna poseía Arquímedes en grado sumo, tiene sus límites:
- ¿Cómo se puede intuir que «la superficie de la esfera es cuatro veces un círculo máximo»?
- ¿Cómo se puede vaticinar que «el volumen del segmento de paraboloide de revolución es tres medios el del cono de igual base y altura»?
- ¿Cómo se puede adivinar que «el centro de gravedad del segmento de paraboloide de revolución divide al eje en dos segmentos tales que la parte hacia el vértice es el doble de la parte restante?
- ¿Cómo se puede inducir que «el área de la primera vuelta de la espiral es un tercio del primer círculo»?
- ¿Cómo se puede augurar que «el área de un segmento parabólico es cuatro tercios del área del triángulo inscrito de la misma base y altura sobre el eje»?
- ¿Cómo se puede conjeturar que «el centro de gravedad de todo hemisferio está sobre un punto del eje que lo divide en la razón de cinco a tres»?
- ¿Cómo se puede predecir que «el volumen de la uña cilíndrica es la sexta parte del prisma circunscrito?
- ¿Cómo se puede prever que «el volumen de la bóveda cilíndrica es dos tercios del cubo circunscrito».
- ¿Cómo se puede descubrir que «la razón de todo segmento de hiperboloide de revolución, producido por un plano perpendicular al eje, al cono que tiene la misma base y la misma altura, es la misma que la razón de una recta igual a la suma del eje del segmento y del triple de la recta que une el vértice del hiperboloide con el vértice del cono asintótico, a la suma del eje del segmento y el doble de esta recta»?
- ¿Cómo se puede anticipar que «el centro de gravedad de todo segmento de hiperboloide de revolución, está sobre el eje, en un punto que lo divide de tal manera que el segmento situado hacia el vértice tenga, con el segmento restante, la misma razón que el triple del eje y el óctuplo de la recta añadida al eje y el cuádruple de la recta añadida al eje?
Ante estos sorprendentes descubrimientos, y los relacionados no son los más complejos y difíciles, no es extraño que, a lo largo de los siglos, muchos matemáticos creyeran que Arquímedes disponía de un método milagroso que aplicaba en sus investigaciones. Cuando en el Renacimiento y siglos posteriores tiene lugar la recuperación, reconstrucción y divulgación del legado clásico griego y en particular se difunde un entusiasta interés por las obras de Arquímedes, todos los estudiosos e investigadores, impresionados por los trabajos arquimedianos, se formulan las anteriores preguntas, sintetizadas en la formulación de la siguiente:
► «Cómo había alcanzado Arquímedes sus impresionantes resultados sobre cuadraturas y cubaturas, que luego demostraba rigurosamente, de forma impecablemente euclídea, mediante el método de exhaución».
Como bien señaló Galileo, en la práctica de la investigación científica y en particular en la investigación matemática siempre existe un dualismo metódico, dos momentos distintos y consecutivos en el proceder, la fase de la invención, intuitiva, heurística, no rigurosa y cargada de hipótesis, sugerencias, analogías, argumentos plausibles y razonamientos informales, es el «ars inveniendi» o vía del descubrimiento; y la fase apodíctica, donde se impone el rigor, el «ars disserendi» o vía de la demostración [Vega, El Método de Arquímedes. Alianza Editorial, 1986, pág.20]. De ambas vías que son complementarias en la investigación científica, ¿dónde está en Arquímedes el primer camino?
Ignorada por todos la forma en que Arquímedes había alcanzado sus descubrimientos, muchos matemáticos albergaron la sospecha de que Arquímedes disponía de una herramienta singular, una vía de descubrimiento que no surge ante el lector de sus obras y que parece haber ocultado premeditadamente para la posteridad «por audacia perniciosa (o funesta astucia), para mantener la admiración, la cual desaparecería después de divulgado», como diría Descartes en la Regla IV de sus Regulae [Descartes, Reglas para la dirección del espíritu, 1989, pág. 85; AT.X.376-377].
Así por ejemplo Torricelli manifiesta en el Proemio de su Opera Geometrica (Florencia, 1644):
► «Los geómetras antiguos empleaban en sus demostraciones un método diferente al seguido en la fase inventiva y procedían así, entre otras razones, para ocultar el secreto del arte».
También Wallis, que tuvo a su cuidado una edición de las Obras de Arquímedes, publicada en su primera edición en Oxford en 1699, escribía:
► «Al parecer Arquímedes ocultó adrede las huellas de su investigación, como si hubiera sepultado para la posteridad el secreto de su método de investigación».
Asimismo, Barrow, que se encargó también de una edición en latín de las Obras de Arquímedes, que se publicó en Londres en 1675, se manifestaba en estos términos:
► «Al no poder imaginar qué ingenio mortal pueda llegar a tanto mediante la virtud del razonamiento, estoy seguro que Arquímedes se vio ayudado por el Álgebra, a la que conocía en secreto y que ocultaba de forma estudiada».
Efectivamente Arquímedes poseía un método de investigación, que plasmó en su obra EL MÉTODO, en la que mediante procedimientos reconocidos por él mismo como no rigurosos, descubría sus famosos teoremas matemáticos. Pero fueron, como veremos [en el siguiente artículo], los avatares históricos y no su voluntad, quien lo dejó oculto para la posteridad, hasta que fue descubierto, como se ha dicho, en el tardío 1906. En palabras de E.Rufini [Il Metodo d’Archimede e le origine dell’analisi infinitesimale nell’antichità, Feltrinelli, 1926, pág.91]:
► « [….] La obra escasamente estudiada y quizá poco comprendida por los propios griegos, cayó fatalmente en un completo olvido».
