Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Durero
Si a lo largo de la Historia, la matemática (especialmente la pitagórica y platónica) ha tenido una incidencia considerable sobre el arte, la cumbre de este hecho se alcanza en la época renacentista con los llamados artistas matemáticos y los estudiosos y teóricos del arte en general. Para algunos artistas del Renacimiento, los poliedros, por ejemplo, proporcionaban excelentes modelos para los estudios sobre Perspectiva. Para otros, los poliedros poseían una fuerte carga mística y simbólica, además de profundas ideas filosóficas. En este sentido, la asociación que hizo Platón, en el Timeo, entre los cinco sólidos regulares (tetraedro, octaedro, hexaedro, icosaedro y dodecaedro), llamados “cuerpos platónicos” y los cuatro elementos componentes (fuego, aire, tierra y agua, y el universo), respectivamente, será objeto de una importante consideración durante el Renacimiento, propiciado por la revitalización de los estudios platónicos, promovida en la llamada Academia platónica de Florencia, fundada por Cosme de Médicis en 1459, que bajo la dirección de Marsilio Ficino se propuso la restauración del Platonismo como religión filosófica.
Para el artista renacentista beber en las fuentes pitagóricas, platónicas y euclídeas era el equivalente a la formación matemática, científica, técnica y cultural del profesional actual, de modo que el artista cumple un papel intelectual y humanista, al trascender lo meramente artesanal, para convertirse en artista racional que representa la diversa realidad, a partir de los principios geométricos, las técnicas artísticas y las ideas filosóficas. Al fundir, por una parte el Arte con la Ciencia y la Filosofía, y por otra, el saber clásico con el renacentista, el artista, como el científico y el filósofo, se sitúa en la asamblea de los doctos, al elevar las artes plásticas, antaño reducidas a mecánicas, a la misma categoría intelectual de “Las Artes Liberales”, de modo que más allá de la plasmación de la percepción de los sentidos, el artista perseguirá la búsqueda de la idea a través del discurso mental en un progresivo proceso de racionalización del Arte.
Muchos de los artistas renacentistas conceden una importancia suprema al estudio de las proyecciones de los poliedros regulares sobre un plano, que formaba parte muy importante de la educación técnica del pintor. De hecho el estudio de múltiples aspectos de los poliedros es el broche brillante que corona algunas importantes obras teóricas y didácticas de ciertos artistas y estudiosos del arte. Con ello, además de profundizar en su naturaleza geométrica con nuevos hallazgos matemáticos, los artistas y teóricos del Renacimiento dan un nuevo aliento a esos bellísimos cuerpos pitagórico–platónicos que pasan de ser meros sólidos, susceptibles de estudio meramente teórico, a exquisitos elementos decorativos y fascinantes objetos de un diseño artístico ejemplar.
Nos ocuparemos aquí, al principio, sobre todo de los estudios, trabajos y conceptos matemáticos vinculados al Arte desarrollados por cuatro de los grandes protagonistas renacentistas Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci y Alberto Durero. Estos sabios, geómetras y artistas del Renacimiento, están vinculados por la relación maestro–discípulo. Piero enseñó Matemáticas a Pacioli y Leonardo las aprendió de este, mientras que Durero, directa o indirectamente aprendió de los tres.
Estos ilustres artistas y pensadores no se limitan a la aplicación sobre el Arte de la Matemática útil o práctica, sino también a los aspectos filosóficos de las Matemáticas (los saberes matemáticos), de modo que con su sabiduría geométrico–artística podemos hablar de Arte, Geometría y Pensamiento.
Piero della Francesca: la geometría fuente de inspiración, fundamento, argumento e instrumento de la obra artística.
Piero della Francesca (1415-1492) fue uno de los personajes más originales del Renacimiento. Pocos artistas han creado una obra tan profundamente calada por una concepción geométrica de la Belleza. Piero Era un artista singular, pero también tenía un gran genio matemático, por eso integraba en una perfecta superposición dos vehementes pasiones: el Arte y la Geometría. Poseído por ellas, Piero aborda la Pintura bajo su vocación de geómetra, ya que en su fuero interno la geometría contiene la piedra filosofal de la estética.
G. Vasari, ilustre biógrafo de artistas, escribe sobre Piero, en su famosa obra “La vida de los más eminentes pintores, escultores y arquitectos italianos”:
►«Piero della Francesca estudió matemáticas en su juventud; y aunque desde los quince años se había encaminado a la pintura, nunca abandonó el estudio de esta ciencia. […]. Con toda justicia Piero adquirió la reputación de ser el líder de los geómetras de su tiempo. […]. Piero realizó intensos y extensos estudios sobre la perspectiva en la pintura. Había adquirido un íntimo conocimiento de Euclides, entendiendo mejor que ningún otro geómetra la naturaleza de los cuerpos regulares […]. Los más eminentes estudios y las cuestiones más notables sobre ellos surgieron de su pluma».
Piero della Francesca se había formado de forma simultánea como matemático y como pintor. Este aspecto primigenio identifica su pintura con la perspectiva, e impregna todo su arte de geometría. Más allá de la variedad de las formas, de la acciones y de las emociones humanas, el artista-matemático se atiene a la armonía profunda de los cuerpos geométricos, a la belleza intrínseca de las formas simples, de sus proporciones y simetrías.
Siendo uno de los más grandes pintores de la luz, el artista que en su tiempo propuso la perspectiva y el espacio, las relaciones matemáticas de los cuerpos y las proporciones del ser humano y de la naturaleza, la ciencia y el color, el gran “símbolo antecedente de la modernidad” (según Malraux,), moría ciego el 12 de octubre de 1492, aunque siempre se sentía “sano de mente”.
Piero della Francesca escribe importantes tratados matemáticos: De Prospectiva pingendi (1474) (La Perspectiva en la Pintura), Trattato d’Abaco (Tratado del Ábaco) y Libellus De Quinque Corporibus Regularibus (Corto Libro sobre los Cinco Cuerpos Regulares). Vasari afirma que escribió otros textos que no nos han llegado. El estilo matemático de estos tratados está asociado con la tradición de la matemática práctica de la época que consiste en dar largas series de ejemplos muy trabajados. Ninguno de estos trabajos fue publicado con el nombre del autor durante el Renacimiento, pero circularon en manuscrito y tuvieron gran influencia a través de su incorporación a las obras publicadas por otros matemáticos. En particular, buena parte de la Aritmética del Trattato d’Abaco aparece en la obra de Luca Pacioli Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, mientras que su trabajo sobre poliedros es plagiado en De Divine Proportione (La Divina Proporción), también de Luca Pacioli.
La obra de Piero della Francesca De Prospectiva pingendi es el primer tratado de perspectiva en la Pintura, aplicado no sólo a paisajes o a interiores arquitectónicos, sino incluso a la figura humana. En la primera parte de la obra se introducen las bases fundamentales de la perspectiva y sus aplicaciones para dibujar en un plano figuras geométricas tridimensionales, a base de considerar el cono de radiación –formado por los rayos que van del ojo a los diversos objetos– y que al ser cortado por el plano en cuestión, queda determinada la posición en perspectiva de los diversos objetos en dicho plano. En la segunda parte de la obra se considera la proyección sobre un plano, bajo diferentes ángulos, de los cinco sólidos platónicos. Y en la tercera parte lo mismo referente a cuerpos irregulares. Esta obra es de gran utilidad para pintores, pero además tiene un alto valor iniciático para las matemáticas, ya que en ella aparecen algunos de los primeros principios de Geometría Proyectiva y de Geometría Descriptiva. Además la obra es muy estimable desde el punto de vista pedagógico, ya que conduce al lector, con intereses artísticos o matemáticos, de forma sistemática, mediante el uso de la regla y el compás, al progresivo conocimiento y a la resolución de problemas prácticos de dificultad creciente. Asimismo, gracias a esta obra, se podría considerar a Piero della Francesca como uno de los antecedentes del moderno dibujo técnico, al considerar “la perspectiva axonométrica”, un sistema de representación gráfica, que consiste en representar elementos geométricos en un plano, mediante proyección paralela, referida a tres ejes ortogonales, conservando sus proporciones en cada una de las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud. Entre los problemas que resuelve Piero, destacan, además, el cálculo del volumen de la bóveda y la elaboración arquitectónica de las construcciones de las cúpulas. Piero della Francesca retoma antiguos temas de la tradición pitagórico–platónico y se da cuenta de que los poliedros resultan ser unos magníficos modelos para los estudios de perspectiva, tan útiles a los artistas, por lo que decide profundizar mucho más en su estudio geométrico y por eso realiza el estudio ilustrado sobre poliedros más completo de todo el Renacimiento, en la citada obra Libellus De Quinque Corporibus Regularibus, a base de resolver numerosos problemas prácticos.
La obra empieza con las siguientes palabras (Luca Pacioli, La Divina Proporción, Losada, Buenos Aires, 1946, pág.187):
► «Los cuerpos laterados pueden muy bien colocarse en el cuerpo esférico, tocando con todos sus ángulos la superficie de la esfera. Pero sólo son cinco los cuerpos regulares, es decir, los que tienen lados y bases iguales. El primero es el de cuatro bases triangulares, […] el quinto es el de veinte bases triangulares. De tales cuerpos es mi intención mostrar con números, raíces y binomios su cantidad y sus medidas. […].
Sobre esto daré tres breves tratados. En el primero se hablará de los lados y de la superficie de las bases, en el segundo de los cuerpos laterados [regulares] y de sus superficies y cuadraturas, en el tercero de los cuerpos contenidos uno por uno y algo de la esfera, si Dios quiere, etcétera».
En la primera parte del “Libellus…”, Piero estudia exhaustivamente, a través de cincuenta y cinco problemas prácticos con datos numéricos, numerosas propiedades de los polígonos que pueden ser caras de poliedros regulares –triángulos, cuadrados y pentágonos–.
En la segunda parte del Libellus … Piero della Francesca estudia, a través de treinta y siete problemas prácticos con datos numéricos, los tópicos euclídeos habituales sobre cada uno de los poliedros regulares, en particular problemas equivalentes a las Proposiciones XIII.13–XIII.17 de “Los Elementos” de Euclides que relacionan las aristas con el diámetro de la esfera que los circunscriben, pero también otros problemas que relacionan las aristas con los ejes de los poliedros, y estas dos longitudes con el volumen de los mismos.
Piero della Francesca fue un experto en relacionar los diversos poliedros regulares; obtuvo unos a partir de otros y los inscribió sucesivamente. Hasta trece problemas dedica a estas cuestiones en la tercera parte del “Libellus….”, que empieza así (Pág. 238):
► «Ahora, en este tercer tratado, […] hablaré de la cantidad de los lados de esos cuerpos, contenidos unos en otros, y cuántos caben en cada uno de ellos. […]».
De esta forma, además de enfatizar la primera diferencia entre polígonos regulares y poliedros regulares en cuanto a su número (el número de polígonos regulares en el plano es infinito, pero el número de poliedros regulares en el espacio es de cinco y sólo cinco); Piero della Francesca subraya otra distinción significativa entre ambos tipos de entes: mientras que en el plano, el triángulo, el cuadrado y el pentágono, por ejemplo, son geométrica y algebraicamente independientes unos de otros, los cinco poliedros regulares guardan entre sí íntimas relaciones estructurales. De ellas la más elemental es la llamada dualidad o reciprocidad poliédrica según la cual:
►«El sólido cuyos vértices son los centros de las caras de uno platónico también es platónico».
En el “Libellus De Quinque Corporibus Regularibus” della Francesca realiza un estudio muy completo de formas de pasar directa o indirectamente de unos sólidos platónicos a otros, vinculando de múltiples maneras los diversos poliedros, algunas de las cuales son estudiadas por Ghyka (“Estética de las proporciones en la Naturaleza y en las Artes”. Poseidón, Barcelona, 1983, cap.3) y Lawlor (“Geometría Sagrada”. Debate, 1993, cap.10).
El Tratado de della Francesca “Libellus…” es el primer texto de Geometría en el Renacimiento en el que problemas relativos a la construcción y cálculo de poliedros se resuelven mediante diseños estereométricos. En realidad el escrito de della Francesca es el primero en la historia dedicado por entero al tema de los poliedros. En sus estudios geométricos sobre poliedros platónicos y arquimedianos, Piero della Francesca diseña laboriosas
proyecciones de los diversos poliedros, de un gran valor y de gran influencia sobre los incipientes estudios renacentistas en torno a la Perspectiva.
El original del tratado que se conserva es un único manuscrito (“Códice Vaticano Urbinate Latino” 632) compilado por un autor desconocido al que acompaña diseños de figuras, correcciones y adiciones realizadas por el propio Piero della Francesca, quien lo dedicó a Guidubaldo da Montefeltro, Duque de Urbino. El trabajo de Piero della Francesca era conocido desde comienzo del siglo XVI, pero no a través de este manuscrito latino, sino como parte de “De Divine Proportione” de Luca Pacioli, que lo publicó en italiano como trabajo propio. El plagio fue denunciado por Giorgio Vasari y ha sido objeto de vehemente polémica desde entonces.
