El Teorema de Pitágoras en Los Elementos de Euclides (2)
El TEOREMA DE PITÁGORAS es, sin duda, la relación matemática más importante, conocida, admirada, aludida, popular, que más nombres y más pruebas ha recibido, y la que ocupa el primer plano en el recuerdo de los tiempos escolares. Todo ello hace justicia a su relevante valor práctico, teórico y didáctico. Al ser la fuente de tantas relaciones métricas que aparecen en la Geometría elemental, el TEOREMA DE PITÁGORAS es el más útil y espléndido. Así pues, estamos ante un auténtico paradigma para la Matemática y sobre todo para la Educación matemática. Por esto y por la universalidad que conlleva, el TEOREMA DE PITÁGORAS pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos.
La magnífica grandeza del TEOREMA DE PITÁGORAS inicia una decisiva inflexión intelectual entre la práctica empírica e inductiva y la argumentación deductivo-demostrativa, tanto en el devenir histórico cultural matemático –germen de la Matemática racional en Grecia– como en el espacio escolar de la Educación matemática –umbral de la Matemática deductiva elemental–.
La aparición del TEOREMA DE PITÁGORAS en el horizonte histórico cultural señala el primer salto intelectual entre los confines de la especulación empírica y los dominios del razonamiento deductivo. El TEOREMA DE PITÁGORAS pudo estar en el origen de la demostración –que caracteriza a la Matemática con respecto a las demás ciencias– ya que la prueba pitagórica del TEOREMA DE PITÁGORAS, consolidada con la demostración euclídea en la Proposición I.47 de “Los Elementos”, tal vez sea la primera demostración verdaderamente matemática de la Historia.
Pero el ingenio de Euclides va todavía más allá demostrando el resultado inverso del Teorema de Pitágoras en la Proposición I.48 que es un increíble modelo de economía de recursos en Geometría (véase la figura triangular):
Dos notas son dignas de ser remarcadas sobre esta demostración: su concisión y el hecho de gran valor lógico-deductivo de que Euclides aplica el propio Teorema de Pitágoras para demostrar su recíproco.
Por desgracia, esta sencilla demostración es obviada en los libros de texto aunque paradójicamente es utilizada implícitamente tanto como el propio Teorema de Pitágoras y ello desde los antiguos agrimensores egipcios. En efecto, es curioso que mientras cualquier persona se enfrenta al Teorema de Pitágoras en su etapa escolar, muy pocas personas conocen la demostración del teorema inverso, aunque están seguros de su legitimidad y de hecho lo aplican cuando es necesario.
Las dos proposiciones, I.47 y I.48 constituyen una unidad secuencial con la que se alcanza un supremo esplendor geométrico al final el Libro I de “Los Elementos” de Euclides, ya que (como se ha se ha señalado al final del recuadro de la demostración) tomadas en conjunto caracterizan por completo los triángulos rectángulos, es decir:
— «Un triángulo es rectángulo si y sólo si el cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre los catetos».
Las demostraciones euclidianas de las proposiciones pitagóricas son un ejemplo de la mejor y más bella geometría. Pero en cierto sentido, también de la más notable, porque a diferencia de otros muchos teoremas no existe, en modo alguno, ninguna razón intuitiva para que los triángulos rectángulos deban tener una conexión tan intima con la suma de los cuadrados construidos sobre sus lados. Por el contrario, el Teorema de Pitágoras constituye un hecho extremadamente extraño, cuya particularidad no se ha reconocido solo porque el resultado sea tan famoso. El asombro, extrañeza y admiración fundamental ha sido muy bien expresada por Richard Trudeau en su libro “The non-Euclidian Revolution”, donde el autor menciona que los ángulos rectos son algo muy familiar, realidades habituales y cotidianas, que asoman no sólo en el mundo artificial de la ciencia y la técnica, sino también, por doquier, en la misma naturaleza. Por eso escribe Trudeau:
►«Para mi el Teorema de Pitágoras es sumamente sorprendente… “a² = b² + c²”,.. no me evoca ningún tipo de recuerdos viscerales … Como la ecuación es abstracta y precisa, es extraña. No puedo imaginar lo que una tal cosa puede tener que ver con los ángulos rectos de la vida cotidiana. Así, cuando se descorre el velo de la familiaridad, como a veces ocurre, y veo fresco el Teorema Pitágoras, me quedo estupefacto».
