► «Mi metafísica es toda matemática».
► «Los matemáticos tienen tanta necesidad de ser filósofos como los filósofos de ser matemáticos».
▬ GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ.
► «Quizá nadie haya leído, estudiado, meditado, escrito, más que Leibniz. Sin embargo, no existe un cuerpo de su Obra. Sorprende que Alemania a quien este hombre solo ha hecho tanto honor como Platón, Aristóteles, Arquímedes, juntos, hacen a Grecia, sin embargo, no ha recogido lo que salió de su pluma. Lo que ha escrito sobre el Mundo, sobre Dios, sobre la Naturaleza del Alma, comporta la sabiduría y la elocuencia más sublime. Si estas ideas se hubieran establecido con los colores de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas».
▬ DIDEROT. Léibnitzianisme ou Philosophie de Léibnitz. Encyclopedie (1751).
LEIBNIZ (1646–1716) es un sabio universal de espíritu fáustico, eminente como jurista, político, lógico, filólogo, bibliotecario, historiador, teólogo, poeta, diplomático, naturalista, físico, químico, geólogo, inventor; egregio en todas las ramas del saber, sobre todo en Filosofía y Matemáticas. En todos estos campos sus aportaciones brillantes y sólidas, abrieron sendas que han sido y continúan siendo transitadas por numerosos pensadores que al apoyarse en su obra, han contribuido a magnificar el patrimonio cultural de la humanidad.
Con inusitada capacidad para trabajar en todo lugar, momento y condición, LEIBNIZ aunaba lectura, pensamiento y escritura en una vida errabunda, plena de actividad pública, en la que su talento excepcional, carácter afable y optimista, inteligencia social, don de gentes y poliglotía, le relacionaron con los personajes más ilustres de Europa.
Debemos atribuir a LEIBNIZ una notable contribución al avance y consolidación del concepto de progreso al apoyar las tesis de Francis Bacon, admiradoras de las teorías del trabajo de los técnicos y de los mecánicos, así como de la necesidad de los conocimientos útiles para toda la humanidad. En su “Discours touchant la methode de la certitude et de l’art d’inventer pour finir les disputes et pour faire en peu de temps des grands progres”, escrito entre 1688 y 1690, LEIBNIZ propone efectuar un inventario general de todos los conocimientos humanos, tanto de los escritos como de los no escritos, “que se encuentran dispersos en el ejercicio de las diversas profesiones”, entre los cuales LEIBNIZ menciona expresamente a los mecánicos, pero también pescadores, marinos, comerciantes y viajeros.
El sociólogo Nisbet (1913–1996) destaca la influencia de la concepción Leibniziana de progreso en algunos de los principales pensadores de los siglos siguientes:
► «Leibniz logro establecer una metafísica tan amplia y flexible, y tan a tono con las ideas de crecimiento, desarrollo y evolución, que su influencia en la formulación de las diversas ideas del progreso se extendería no solo durante el siglo XVIII sino también durante el XIX. Comte, Marx e incluso Darwin citaron a LEIBNIZ en momentos importantes de la exposición de sus ideas».
El ilustrado Turgot, a quien se atribuye la paternidad de la idea moderna de progreso, a raíz de un discurso que pronunció el 11-XII-1750 en la Sorbona: “Tableau philosophique des progres successifs de l’esprit humain”, escribe sobre LEIBNIZ:
► «Leibniz abarca en su amplia inteligencia todos los objetos del espíritu humano. Las diferentes ciencias, encerradas al principio en un pequeño número de nociones simples, comunes a todas, no pueden ya, cuando por su propio progreso se han convertido en más extensas y más difíciles, ser abordadas más que separadamente; pero un progreso aún mayor vuelve a aproximarlas, porque se descubre esta dependencia mutua de todas las verdades que, encadenándolas entre sí, las ilumina a una por la otra: porque si cada día añade algo a la inmensidad de las ciencias, cada día las convierte en más fáciles, porque los métodos se multiplican con los descubrimientos».
No era nueva esta admiración de Turgot hacia LEIBNIZ. Dos años antes, en su “Recherches sur les causes des progres et de la decadence des sciences et des arts”, escribía:
► «Leibniz, genio vasto y conciliador, quiso que sus obras se convirtiesen en un centro en el que se reunirían todos los conocimientos humanos. Quiso reunir a la vez todas las ciencias y todas las opiniones. Quiso resucitar los sistemas de todos los antiguos filósofos. Quiso hacer con la Teodicea lo mismo que un hombre que con las ruinas de todos los edificios de la antigua Roma quisiese construir un palacio regular».
Condorcet, el gran impulsor de la idea de Progreso durante el siglo XVIII, en su “Esquisse d’un tableau historique des progrès de l’esprit humain” (1794), al pasar revista a los personajes que más habían aportado al progreso del espíritu humano, incluía a LEIBNIZ, y describía lo más significativo de su filosofía y en particular su famosa teoría del “Optimismo Universal”:
► «En Alemania un hombre de vasto y profundo genio asentaba las bases de una doctrina nueva. Su imaginación ardiente, audaz, no pudo descansar en una filosofía modesta que permitiera que subsistiesen dudas acerca de las grandes cuestiones de la espiritualidad o de la persistencia del alma humana, de la libertad del hombre o de la de Dios, de la existencia del dolor y del crimen en un universo regido por una inteligencia todopoderosa, cuya sabiduría, justicia y bondad parecen infinitas. Cortó el nudo que un sabio análisis no habría podido desatar. Compuso el universo de seres simples, indestructibles, iguales por su naturaleza. Las relaciones de cada uno de esos seres con cada uno de los que entran con él en el sistema del universo determinan sus cualidades, por las que difiere de todos los demás; el alma humana y el último átomo que completa un bloque de piedra son, cada uno de ellos, uno de esos seres iguales. Solo se diferencian por el distinto lugar que ocupan en el orden del universo. Entre todas las posibles combinaciones de esos seres, una inteligencia infinita ha preferido una, y solo ha podido preferir una, la más perfecta. Si la que existe nos aflige por el espectáculo de la desgracia y del crimen, es que cualquier otra combinación habría ofrecido resultados más dolorosos todavía».
LEIBNIZ persiguió la idea de Ramon Llull de un lenguaje simbólico universal –el Álgebra de la Lógica– para expresar todo pensamiento sin ambigüedad y resolver por cálculo lógico toda polémica o contencioso. Ello es el antecedente de la Lógica Matemática de Boole, Frege y Russell.
Aspectos importantes de la obra de LEIBNIZ fueron rescatados en el siglo XIX y comienzos del XX, a propósito de los intentos de fundamentación lógica de la matemática. Según LEIBNIZ, tal cómo nos expresamos y pensamos mediante palabras, la construcción de una lengua a partir de las verdaderas definiciones de los conceptos permitiría llegar a una “Caracteristica universalis”, en la que toda verdad sería obtenida por combinación o por síntesis de verdades primitivas, una forma de evitar la lengua natural y sus ambigüedades. En este sentido, LEIBNIZ pensaba que la silogística había sido un primer ensayo en esa dirección:
► «Mantengo que la invención de la forma de los silogismos es una de las más hermosas del espíritu humano,…. Es una especie de matemática universal…; se puede afirmar que en ello va implícito un arte de infalibilidad,…».
La idea de LEIBNIZ de representar el razonamiento lógico mediante cálculos matemáticos fue recogida por George Boole, un matemático autodidacta que consiguió construir un sistema algebraico para resolver los problemas de la lógica. En 1847 publicó “The mathematical analysis of logic”, donde proporcionaba, por primera vez en la historia, una descripción de la lógica bajo la forma de un cálculo. En su obra de 1879 “Begriffsschrift” (“Ideografía” o “Conceptografía”), donde instaura un nuevo simbolismo para destacar con claridad la lógica intrínseca que oculta el lenguaje ordinario, Frege recuerda vigorosamente a LEIBNIZ y alude de forma explícita al filósofo.
Merced a los trabajos de Bertrand Russell y Louis Couturat, en el entorno del cambio de siglo, entre el XIX y el XX, acontece un giro esencial en la interpretación de la Obra de LEIBNIZ.
En 1900 Bertrand Russell publica la primera edición de su obra “A critical exposition of the philosophy of LEIBNIZ”, en la que formula su teoría de que la filosofía de LEIBNIZ (y en especial su metafísica) es casi por completo derivación de su lógica.
La obra de LEIBNIZ, según Russell, puede dividirse en dos partes: una, formada por los libros que publicó, en la que aparece como un filósofo clásico, que culmina la metafísica como representante más egregio de la “Philosophia Perennis”; y otra, formada por multitud de trabajos inéditos o dispersos en su profusa y dispersa correspondencia, la más destacada y fecunda, compuesta por sus escritos lógicos. Para Russell, la característica esencial en toda la Obra de LEIBNIZ es la agudeza de ingenio en sabia amalgama con una manifiesta disposición lógica de su mente. Russell resume su opinión general sobre LEIBNIZ con estas palabras
► «La importancia de Leibniz como filósofo desde 1900 se ha vuelto más evidente, a raíz del desarrollo de la lógica matemática y del simultáneo descubrimiento de sus manuscritos sobre este tema y otros afines. Su filosofía del mundo empírico es hoy sólo una curiosidad histórica, pero en el reino de la lógica y de los principios de la matemática muchos de sus sueños se han realizado, y han resultado, finalmente, algo más que las imágenes fantásticas que les parecieron a todos sus sucesores hasta nuestros días».
Casi coetáneo con Russell, en 1901, Louis Couturat publica “La logique de Leibniz d’après des documents inédits”, cuyo conclusión fundamental es:
► «La metafísica de Leibniz se basa únicamente en los principios de su Lógica, de la que procede en su totalidad».
Couturat escribe:
► «La lógica había sido la parte del sistema de Leibniz más desdeñada por los historiadores de la filosofía y de las matemáticas. Los filósofos, seducidos por su metafísica, prestaron poca atención a sus doctrinas puramente lógicas, y no estudiaron casi nada su proyecto de una “Característica universal”, sin duda a causa de la forma matemática que revelaba. Por su parte, los matemáticos habían visto en LEIBNIZ al inventor del Cálculo Diferencial e Integral, y no se preocuparon de sus teorías generales sobre el valor y el alcance del método matemático, ni de sus intentos de aplicación del Álgebra a la Lógica, que ellos consideraban desdeñosamente como Metafísica. Así, ni unos ni otros comprendieron plenamente los principios del sistema leibniziano, y no pudieron remontarse hasta la fuente de la que fluyen a la vez el Cálculo Infinitesimal y la Monadología».
Vemos aquí con toda su crudeza “El problema de las dos culturas”, como se ha venido en llamar, después de la famosa conferencia de C. P. Snow, pronunciada en 1959, sobre la ruptura de la comunicación entre las Ciencias y las Humanidades y la falta de interdisciplinariedad.
Couturat criticaba con acritud a quienes habían editado con anterioridad las Obras de LEIBNIZ, al haberlas distribuido en “Obras matemáticas” y “Obras filosóficas” como si se pudiese cortar en secciones la Obra de un sabio enciclopédico, cuya filosofía se nutría de todas las ciencias y había inspirado a su vez todos sus descubrimientos científicos. Un sabio como LEIBNIZ en el que precisamente una de sus características más originales era su propósito de sintetizar y conciliar las opiniones y concepciones más opuestas y diversas en todos los ámbitos del pensamiento. Un pensador como LEIBNIZ que proclamaba: «Mi metafísica es toda matemática» y «Los matemáticos tienen tanta necesidad de ser filósofos como los filósofos de ser matemáticos».
La Filosofía natural conduce a LEIBNIZ a estudiar Matemáticas con profundidad. Bajo la orientación de Huygens lee con fascinación a los grandes matemáticos del siglo XVII y alcanza como autodidacta, en París, una gran erudición. Con Fermat, Descartes, Roberval y Pascal el eminente filósofo alcanza un éxtasis mental.
Como artífice de notaciones definitivas, LEIBNIZ crea un universo matemático donde símbolos y términos son el soporte de conceptos y métodos. Destacan los índices como números indicando posición, que LEIBNIZ aplica con genio a la Combinatoria, a famosas series infinitas (como el célebre desarrollo para π/4, que lleva su nombre) y a la idea de Determinante.
Pero ha sido en el Cálculo Infinitesimal donde LEIBNIZ, junto con Newton, dejó una huella imperecedera, al reducir la ingente casuística anterior de técnicas para problemas geométricos específicos a un cálculo operacional, que unifica los métodos y resuelve de modo uniforme los problemas, con eficaces algoritmos universales, independientes de la estructura geométrica. Para LEIBNIZ la tangente a una curva depende de la razón entre las “diferencias infinitesimales de ordenadas y abscisas”, y el área depende de la “suma de los rectángulos infinitesimales“ que la componen. El carácter inverso de suma y diferencia descubre el vínculo entre cuadraturas y tangentes y mediante “el triángulo característico” de Pascal y Barrow, LEIBNIZ reduce la cuadratura a una antiderivación (“Teorema Fundamental del Cálculo”), y con transformaciones operacionales equivalentes a la “integración por partes” y el “cambio de variable”, resuelve multitud de problemas de lo que hoy llamamos el Calculo infinitesimal.
LEIBNIZ comenzó a trabajar en su versión del Cálculo en París, en 1673 y usó por primera vez la notación para la integral ∫f(x) dx el 21 de noviembre de 1675, en un manuscrito que incluía también la fórmula para la derivada de un producto.
El símbolo ∫ de la integral es una especie de S alargada y estilizada, seleccionada debido a que una integral, en la forma del Cálculo de Leibniz, es el límite de una suma.
Para el otoño de 1676 ya conocía la fórmula del diferencial de una potencia: d(x^n) = nx^(n-1) dx, tanto para exponentes enteros como fraccionarios.
LEIBNIZ publicó el primer artículo con sus descubrimientos en octubre de 1684, en el número X de la revista “Acta Eruditorum” (págs. 467–473). En él presentaba el Cálculo Diferencial, y el propio nombre «Cálculo» procede de su título completo: “Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus” (“Nuevo método para máximos y mínimos, y para las tangentes, que no se ve obstaculizado por cantidades fraccionarias o irracionales, y una singular especie de cálculo para lo antes mencionado”). Incluso, en la página 469 del artículo, LEIBNIZ escribe: «calculi hujus, quem voco differentialem», es decir, «este cálculo, que yo llamo diferencial». En el segundo párrafo se encuentran sin demostración las fórmulas para la derivada del producto y del cociente. En 1686, LEIBNIZ publicó en la misma revista (fundada por él y Otto Mencke en 1682) el segundo artículo sobre el Cálculo Infinitesimal, titulado “De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum”, donde presentaba el Cálculo Integral y afirmaba que ambos cálculos, el diferencial y el integral, son inversos. Esto es lo que conocemos como “Teorema Fundamental del Cálculo”; o, tal y como LEIBNIZ lo expuso: «Pues como las potencias y las raíces en los cálculos comunes, las sumas y las diferencias, o ∫ y d, son recíprocas».
El descubrimiento —otros lo llaman la invención— del Cálculo Infinitesimal (diferencial e integral) es, sin duda alguna, la mayor contribución de LEIBNIZ a las Matemáticas, donde acuñó los propios símbolos utilizados para las integrales y derivadas y demás terminología.
LEIBNIZ fue uno de los entendimientos supremos de todos los tiempos. Sólo a duras penas, a base de sumergirse en sus obras, logramos captar aspectos parciales de su personalidad en toda su grandeza. Su amplitud intelectual podría proceder de muchas cabezas y lo que hizo en cada campo del saber podía haber llenado toda la vida de sólo un gran sabio.
