Pitágoras marca un hito en la Historia de la Matemática, porque transformó el saber geométrico en disciplina teórica, al investigar los teoremas de forma abstracta, es decir sin instrumentos ni mediciones materiales, sin referencia a materiales concretos y sólo por medio de la intuición de ideas y del discurso mental, dando el gran salto cualitativo, que supone el verdadero nacimiento en Grecia de las Matemáticas como ciencia especulativa y deductiva, más allá de la práctica empírica e inductiva de las civilizaciones del próximo, medio y lejano oriente. Es así que podemos hablar del “Milagro griego en Matemáticas” como parte del milagro que supuso la inflexión radical que realizaron los griegos en el ámbito general de la Cultura y el Pensamiento. Pitágoras y los pitagóricos desarrollaron un sistema filosófico que aunaba de forma mística la actividad religiosa y matemática, impulsando un potente movimiento cultural que llegó a ser mucho más que una Escuela de Pensamiento, un auténtico estilo de vida: el modo de vida pitagórico. El principal objeto de la doctrina pitagórica era la purificación del alma o catarsis mediante la permanente prosecución de estudios filosóficos y matemáticos como base moral para dirección de la vida con la finalidad de alcanzar la sabiduría. Las palabras mismas Filosofía («amor a la sabiduría») y Matemáticas («lo que se aprende», «lo que se comprende»), fueron acuñadas por Pitágoras para describir sus actividades intelectuales, como factores de elevación moral. Más allá de la ingente aportación de Pitágoras a la magnificación del acervo matemático, fue la propia instauración de la Matemática como ciencia racional a través de la idea, la necesidad y la práctica de la demostración, la contribución fundamental de Pitágoras a la Matemática. Allende la Matemática, la demostración es considerada, además, como elemento esencial en el tránsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega. La demostración trasciende la mera persuasión de la Dialéctica en la que los griegos eran grandes maestros, pues es posible con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero (de ahí los reproches de Sócrates hacia los sofistas). La demostración convence por la ilación argumental incontrovertible, la lógica inexorable que alcanza algo absolutamente legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes del pensamiento. Por eso a partir de Pitágoras la Matemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva.
Pitágoras fue, tal vez, quien primero creyó que los fenómenos de la naturaleza podrían entenderse y explicarse por medio de la Matemática, estudiando las más antiguas leyes cuantitativas de la Física, dando el primer paso hacia la matematización de la experiencia humana. En este sentido bien podrían haber acuñado la frase que hizo célebre Galileo: «la naturaleza está escrita con caracteres matemáticos».Con Pitágoras nace por primera vez en la historia la confianza ilimitada en nuestra capacidad para explorar este universo, entendiendo por tal todo lo que el ser humano, que es razón y sentidos, puede percibir, incluyendo el universo interior. Podríamos calificar de pitagórica la fe que ha presidido la tarea humana de ir haciendo comprensible para el hombre el Cosmos global (macrocosmos y microcosmos) y que ha inspirado toda la actividad científica durante los últimos 2500 años.
Con Pitágoras la Matemática y la Filosofía tienen un origen común, quedando eterna y estrechamente vinculadas, lo que exige que la Matemática debe estudiarse por el amor al saber en sí mismo, es decir por Filosofía y para la Filosofía, porque es el instrumento esencial para conocer y comprender ─que es lo que significa en griego el término mathema─, raíz de la palabra Matemática en todos los idiomas. Y es más, con Platón la Matemática es la antesala de todo otro conocimiento. En el mito de la caverna, Platón crea el fascinante mundo de las ideas, eterno e inmutable, cuya evocación nos abre las puertas al verdadero conocimiento. El mundo natural que percibimos con los sentidos, corruptible, degradable y efímero es la imagen física o copia de un modelo o paradigma, que es un mundo eterno que el Demiurgo diseñó según las leyes de la Matemática. Aprender Matemática es aprehender Matemáticas, en un proceso de desvelar o descubrir, no de invención, un proceso de recuerdo o reminiscencia.
Platón fue el gran inspirador, director y catalizador de casi toda la actividad Matemática de su época. Siendo uno de los hombres más sabios de su tiempo, Platón no era propiamente matemático, pero su entusiasmo por la Matemática y su creencia en la importancia que la materia tenía para el estudio de la Filosofía, para la educación e instrucción de la juventud, para el entendimiento del Cosmos y para la formación del hombre de Estado, hizo que se convirtiera en un insigne artífice y mecenas de matemáticos, debiéndose a sus discípulos amigos casi toda la producción matemática del momento. Platón funda en el año 387 a.C. La Academia, que durante el periodo clásico helénico sería el centro principal de la especulación filosófica y matemática del mundo griego. En muchos de sus Diálogos (El Menón, La República, Las Leyes, El Teeteto y sobre todo El Timeo) el filósofo desarrolla multitud de consideraciones extraídas de la Matemática, para establecer la supremacía intelectual de esta ciencia, a la que según Platón habría que confiar las funciones que forman la base de la acción política del Estado. Para Platón las Matemáticas están dotadas de un carácter de necesidad divina, lo que sintetiza en la máxima «Dios geometriza siempre». Platón geometriza toda la realidad: lo físico, lo moral, lo estético y lo político, en un ambicioso proyecto que quiere abarcar globalmente al ser humano. Con Platón la Geometría llega a ser un instrumento heurístico medular de toda su obra, que recoge el pálpito y el sentir de toda la cultura griega, hasta el punto de que la Matemática es la llave del acceso a La Academia. Por eso en el frontispicio de su puerta brillaba la inscripción: «No entre nadie ignorante en Geometría».
El Timeo de Platón es un mito cosmogónico en el que se describe el mundo físico y los fenómenos naturales en clave geométrica. Es el Dios quien geometriza el mundo, es decir, lo diseña según las leyes de la Matemática y lo escribe en aquellos caracteres matemáticos que Galileo reconocería como lenguaje imprescindible para descifrar sus secretos. La naturaleza sólo es comprensible si previamente se conoce el lenguaje matemático. La Matemática es para Platón la aristocracia intelectual del conocimiento que tiene la misión pedagógica de forjar mentes bien estructuradas, cumpliendo con el fin propedéutico de servir de introducción al estudio de la Filosofía y de fundamento a todo saber humano.
El mundo moderno, con el triunfo de la racionalidad, tiene para algunos paradójicamente un origen mitológico o legendario en “el sueño de Descartes“. El 10 de Noviembre de 1619 Descartes estaba en Ulm, en un descanso en los cuarteles de invierno de los ejércitos de Maximiliano de Baviera. Esa noche reunido con otros oficiales del Ejército del Príncipe de Orange, cenó copiosamente y cuando se retiró a descansar iba un poco mareado por los efectos del vino. En el curso de la noche tuvo algunos sueños que le dejaron una profunda impresión y que determinaron el devenir de su existencia. En su delirio onírico adivinó la unión del Algebra y la Geometría en un solo cuerpo de doctrina: “La Geometría Analítica” y se sintió predestinado para construir un nuevo sistema filosófico. En sus propias palabras: «He tenido la visión de una ciencia nueva y admirable». Al año siguiente el mismo día 10 de Noviembre Descartes vuelve atener una visión que lo ilumina, escribiendo al margen de un manuscrito: «Este día he comenzado a comprender los fundamentos de un descubrimiento digno de admiración». A través de ciertas experiencias místicas de gran significado freudiano, Descartes habría vislumbrado en sueños la unificación e iluminación de toda la ciencia e incluso de la totalidad del conocimiento, gracias al “método de la razón matemática”. Así adivinaba la creación de un «Proyecto de una Ciencia universal que pueda elevar nuestra naturaleza a su más alto grado de perfección. Dieciocho años después de su primer sueño Descartes plasma su proyecto en su “Discurso del Método” (“Discours de la méthode pour bien conduire la raison et chercher la verité dans les sciences“) y sus tres ensayos “La Geometría“, “La Dióptrica” y “Los Meteoros“, como apéndices, donde emprende una verdadera cruzada para reformar la Filosofía. Descartes elaboró “La Geometría” como un ejemplo de su método y quizá fue el propio germen del mismo. La Matemática era para Descartes la base racional de su pensamiento y estaba convencido que en el campo de las Matemáticas su “Geometría” contenía todo el elenco de conocimientos en ese área del saber. Descartes aplicará su método dudando de todo, de todo excepto de las Matemáticas y de Dios, que garantizan la veracidad de los razonamientos claros y distintos. Descartes fue ante todo un geómetra; decía tener el hábito de convertir todos los problemas en Geometría. Lo que proporciona a su método cuerpo y sustancia es el empleo de las Matemáticas, la ciencia del espacio y de la cantidad, la más sencilla y segura de las creaciones de la mente. Así que en última instancia la finalidad de su ambicioso proyecto sería la Matematización del mundo.
En los aspectos teóricos las ciencias de la naturaleza, la Física, la Astrofísica, la Química, hoy son profundamente matemáticas, y como se ha visto con la Relatividad y la Mecánica Cuántica, si las Matemáticas disponibles son inadecuadas para describir ciertos fenómenos, es posible idear y desarrollar unas Matemáticas apropiadas. Las ciencias de la vida, la Biología y la Medicina cada vez adquieren un carácter más matemático. La Fisiología, la Genética, la Morfología, la Dinámica de Poblaciones, la Epidemiología y la Ecología han sido provistas de fundamentación matemática. En Sociología y Psicología, son fundamentales la acumulación e interpretación de estadísticas psicosociales. Se trata de un importante negocio manejado por la empresa y la acción gubernamental, pues las encuestas, los muestreos y los tests pueden alterar las estrategias comerciales y electorales. En Economía, las teorías de la competencia, de los ciclos y equilibrios comerciales exigen cierta profundidad matemática. La Teoría de la Decisión, la Teoría de Juegos y las Estrategias de Optimización tienen un papel primordial en la política comercial y militar. La Teoría de la Plusvalía de la Filosofía Marxista tiene un fundamento matemático. Las operaciones de carácter industrial o institucional exigen la Teoría matemática de la planificación. En la actualidad, la Lingüística se ocupa más de los lenguajes formales, similares al matemático que de la compilación de diccionarios. La Matemática ha llegado a la Coreografía y a la Música. Se han dado definiciones matemáticas de la vida, mediante la llamada Teoría de la Complejidad.
El matemático que sigue sobre el papel el razonamiento estrictamente teórico de su ciencia, puede descubrir en cualquier momento que en realidad ha estudiado las leyes de algún campo de las Ciencias de la Naturaleza o de las Ciencias Sociales. Las Ecuaciones Diferenciales e Integrales entre sus múltiples aplicaciones sirven para estudiar el crecimiento de poblaciones animales y vegetales, como demuestran los trabajos de Volterra. La Investigación Operacional que nació durante la Segunda Guerra Mundial para resolver cuestiones logísticas y estratégicas, ha sido utilizada después ampliamente en la Planificación Económica, La Ingeniería de Gestión y la Medicina. La Topología Algebraica y el Análisis Combinatorio se aplican al estudio de la estructura neuronal del cerebro y al estudio de las configuraciones moleculares de sustancias orgánicas. Por esta aplicación recibió J.Lederberg el premio Nobel de Medicina en 1958. También se aplica a la Teoría cinética de los gases y en la Electrónica al diseño de circuitos eléctricos y más tarde de circuitos integrados miniaturizados, los chips de la tecnología informática. La abstracta Teoría de Grupos ha encontrado su aplicación en Cristalografía y en el estudio de partículas atómicas elementales; y sorprendentemente, en Antropología en el estudio de las reglas matrimoniales de las sociedades primitivas. Se pueden mostrar ejemplos hasta la saciedad.
Apenas hay campo en el que las Matemáticas no hayan penetrado. Como una ley tan inexorable como la gravedad, parece que la Matemática es el pegamento que unifica el mundo racionalizado de Descartes. Y ello por la capacidad de la Matemática para manejar la cantidad y la extensión, la regularidad y la disposición, la estructura y la implicación, la inducción y la deducción, la observación y la imaginación, la curiosidad y la iniciativa, la lógica y la intuición, la invención y el descubrimiento, el análisis y la síntesis, la generalidad y la particularidad, la abstracción y la concreción, la interpolación y la extrapolación, la decisión y la construcción, la belleza y la utilidad, la armonía y la creatividad, la interpretación y la descripción, siempre bajo la acción del entendimiento y el imperio de la voluntad. Esta aplicabilidad universal de la Matemática y su función social justifican la dedicación y la inversión en el estudio de todas sus ramas.
Las cualidades inherentes a las Matemáticas que se han reseñado justifican ampliamente la importancia de la Matemática en la Educación, que obliga a que esté presente, junto con el Lenguaje, desde los primeros momentos de la escolaridad hasta el final de la enseñanza obligatoria, en todos los sistemas educativos del mundo. Esto es una herencia del mundo clásico ya que, como vimos, Platón asigna a las Matemáticas la relevante misión de fundamento a todo el saber humano, proclamando vehementemente que las Matemáticas ejercen una influencia educativa decisiva en la formación y desarrollo de la inteligencia, por lo que es una obligación del Estado proporcionar a la juventud una buena formación matemática. Platón recoge de su maestro, Arquitas de Tarento la clasificación de las cuatro ramas del “Quadrivium” medieval: la Aritmética, la Geometría, la Música y la Astronomía. Estas cuatro materias constituyeron durante la Edad Media cuatro Artes liberales, base del currículo académico secundario casi hasta la actualidad.
La misión de las Matemáticas en la Enseñanza Secundaria es ante todo la de cooperar con otras disciplinas del saber, a desarrollar en el alumno unas capacidades que le permitan entender el complejo mundo actual, a base de dotárle de instrumentos lógicos y metodológicos mediante los cuales pueda seguir racionalmente una argumentación. Las Matemáticas tienen una función informativa: la de adquirir un conjunto de conocimientos que familiarice al alumno con el mundo natural circundante y le ofrezca herramientas para interpretar el mundo físico, natural y social, en términos cuantitativos y abstractos. Pero la Matemática tiene esencialmente una función formativa: la de desarrollar en los alumnos el pensamiento crítico y el rigor científico, la de inculcar en el alumno una disciplina mental con la que operar sobre cualquier tipo de pensamiento o de situación y a través de la resolución de problemas desarrollar la iniciativa personal y la fortaleza para vencer obstáculos, estimulando la voluntad. La Matemática incide así decisivamente sobre el binomio entendimiento‑voluntad que es la matriz del espíritu humano.
