LA INFLUENCIA DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN LA OBRA Y EL ESTILO LITERARIO DE BORGES

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► «El estilo de Borges es inteligente y límpido, de una concisión matemática, de audaces adjetivos e insólitas ideas, en el que, como no sobra ni falta nada, rozamos a cada paso ese inquietante misterio que es la perfección».

— MARIO VARGAS LLOSA. “Borges en París”. EL PAÍS, 06.06.1999.

► «La imaginación y las matemáticas no se contraponen; se complementan como la cerradura y la llave. Como la música, las matemáticas pueden prescindir del universo, cuyo ámbito comprenden y cuyas leyes exploran».

— JORGE LUIS BORGES. Prólogo del libro “Matemáticas e Imaginación”, de Kasner y Newman.

Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 1940.

En el prólogo del libro “Matemáticas e Imaginación”, que BORGES escribe, el escritor nos habla de Matemáticas y pone entre otras frases las siguientes:

  • «Un hombre inmortal, condenado a cárcel perpetua, podría concebir en su celda todo el álgebra y toda la geometría, desde contar con los dedos de la mano hasta la singular doctrina de los conjuntos, y todavía mucho más. Un modelo de ese meditador sería Pascal, que, a los doce años, había descubierto una treintena de las proposiciones de Euclides».
  • «La línea, por breve que sea, consta de un número infinito de puntos; el plano, por breve que sea, consta de un número infinito de líneas; el volumen, de un número infinito de planos. La geometría tetradimensional ha estudiado la condición de los hipervolúmenes. La hiperfera consta de un número infinito de esferas; el hipercubo, de un número infinito de cubos. No se sabe si existen pero se conocen sus leyes».
  • «Bertrand Russell escribe que las vastas matemáticas son una vasta tautología y que decir tres y cuatro no es otra cosa que decir siete».
  • «La hoja de Möbius, que cualquiera puede construir con una hoja de papel y una tijera es una increíble superficie de un solo lado».

Y en la Introducción del libro de Kasner y Newman, titulada casi como el propio libro: “Sobre Matemáticas e Imaginación”, que como el prologo construye, de forma muy sugestiva, un puente entre la imaginación literaria y la fantasía matemática, a modo de reseña del propio libro, BORGES escribe:

  • «Preveo que con los años, este será uno de los libros añadido al catalogo de los que releeré y abrumaré con notas manuscritas. Sus 400 páginas registran con claridad los inmediatos y accesibles encantos de las matemáticas: el incesante mapa de Brouwer, la cuarta dimensión que entrevió More, la levemente obscena tira de Möbius, los rudimentos de la teoría de los números transfinitos, las ocho paradojas de Zenón, las líneas paralelas de Desargues que en el infinito se cortan, la notación binaria de Leibniz, la bella demostración euclidiana de la infinitud estelar de los números primos, el problema de la torre de Hanoi, el silogismo dilemático sobre lo que tanto jugaron y juraron los griegos a partir de Demócrito de Abdera, o el conjunto de todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos y que estudia Bertrand Russell en su obra “Introduction to Mathematical Philosophy”».

Se sabe que BORGES había manejado el famoso libro “Men of Mathematics” (1937) de E.T. Bell (publicado, en 1948, en español, por Editorial Losada de Buenos Aires, con el título de “Los grandes matemáticos”, reeditado en 2009), que fue durante muchos años una de las pocas fuentes donde matemáticos y lectores en general podían encontrar biografías de matemáticos famosos.

Más aún, BORGES reseñó el libro en 1938 en el diario «El Hogar«, y en su breve reseña añade que su lectura «presupone ciertos conocimientos, siquiera borrosos o elementales». Y en cuanto al contenido, no sorprende que más que cualquier otro matemático considerado por Bell, es Cantor quien atrae la atención de BORGES, como es de esperar, por su proyección sobre el infinito. Así, BORGES escribe:

  • «No es primordialmente una obra didáctica: es una historia de los matemáticos europeos desde Zenón de Elea hasta Cantor. No sin misterio se unen esos nombres: veintitrés siglos los separan, pero una misma perplejidad les dio fatiga y gloria a los dos, y no es aventurado sugerir que los extraños números transfinitos del alemán fueron ideados de algún modo para resolver de algún modo los enigmas del griego».

Al aproximarse a los textos de BORGES con un punto de vista puramente matemático los elementos de matemática que aparecen están moldeados en “algo distinto”: en literatura, y hay que tratar de reconocerlos sin separarlos de ese contexto de intenciones literarias. Por ejemplo, al comienzo de su ensayo “Avatares de la tortuga”, BORGES dice:

  • «Hay un concepto que es el corruptor de los otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito».

La vinculación del infinito con el Mal, su suprema ignominia, burlona pero certera, secuestra de inmediato al infinito del sereno mundo de la Matemática y pone bajo una luz leve, pero amenazadora toda la discusión pulcra en fórmulas, casi técnica, que sigue. Cuando dice, a continuación, que «la numerosa hidra es una prefiguración o un emblema de las progresiones geométricas» se repite el juego de proyectar monstruosidad y «conveniente horror» sobre un concepto matemático preciso.

Pero concretando ¿Cuánto sabía BORGES de matemática?

El escritor mismo dice en ese mismo ensayo:

  • «Cinco, siete años de aprendizaje metafísico, teológico, matemático, me capacitarían (tal vez) para planear decorosamente una historia del infinito».

La frase es lo sobradamente ambigua como para que sea difícil dilucidar si realmente dedicó esa cantidad de años a estudiar, o es sólo un planificación, pero parece que BORGES conoce por lo menos los temas matemáticos del libro que prologa y reseña: “Matemáticas e imaginación”, y por tanto son considerables sus conocimientos, algo más de lo que se puede aprender en un primer curso de Álgebra y Análisis matemático en una facultad científica universitaria. Pero además, BORGES debía tener nociones más que elementales sobre las paradojas lógicas, las cuestiones relativas a las diversas clases de infinito, problemas básicos de Topología y Teoría de la Probabilidad. En el prólogo a este libro BORGES recuerda, como se ha dicho, que según Bertrand Russell «la vasta matemática quizá no fuera más que una vasta tautología», y deja ver, con esta observación, que también estaba al tanto de la discusión crítica sobre los “Fundamentos de la Matemática” que daba lugar, por aquel tiempo, a apasionados debates centrados en la cuestión de “lo verdadero versus lo demostrable”.

Podemos señalar que BORGES vislumbraba de forma muy incipiente, muy en el origen, esta discusión, aunque no parece que se hubiera enterado de su desenlace.

Se puede decir que en BORGES hay profusamente relaciones con la Matemática y no sólo vinculación temática sino también estilística.

He aquí algunos de los textos de BORGES donde las ideas matemáticas asoman con más claridad:

  • Los cuentos: El Aleph”, “El libro de arena”, “Las ruinas circulares”, “La biblioteca de Babel”, “La lotería en Babilonia”, “Del rigor en la ciencia”, Argumentum ornithologicum”.
  • Los ensayos: “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga” junto con “Avatares de la tortuga”, “La doctrina de los ciclos”, “La esfera de Pascal”.

Hay textos que son incluso pequeñas lecciones de matemática. Dentro del grupo, hay temas o elementos, recurrentes en BORGES, que aparecen reunidos en el cuento “El Aleph”, que tiene que ver con el infinito del matemático Cantor. Vamos a mencionarlos en orden inverso al que aparecen.

El primer elemento es el infinito o los infinitos. Casi hacia el final del relato, BORGES escribe:

  • «Dos observaciones quiero agregar: una, sobre la naturaleza del Aleph; otra, sobre su nombre. Este, como es sabido, es el de la primera letra del alfabeto de la lengua sagrada. También se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo [con un brazo] y la tierra [con otro brazo], para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes».

La “Mengenlehre” es en alemán “La Teoría de los Números”. En los números transfinitos como dice BORGES “El todo no es mayor que alguna de las partes”. Ésta es una de las cuestiones matemáticas que más fascinaba ciertamente a BORGES. Es la quiebra del sagrado postulado de la “Metafísica de Aristóteles” y de la octava de las “Nociones Comunes” de “Los Elementos” de Euclides, según los cuales “El todo debe ser mayor que cualquiera de las partes”.

Los números racionales, llamados también quebrados o fraccionarios son importantes en el pensamiento de BORGES que se obtienen al dividir números enteros entre sí, se pueden pensar como pares de enteros (el segundo elemento del par distinto de cero).

La propiedad fundamental que tienen estos números y que BORGES usará en sus relatos es:

  • «Dos números fraccionarios cualesquiera siempre tienen uno entre ellos».

Por ejemplo: Entre 0 y 1 está 1/2; entre 0 y 1/2 está 1/4, entre 0 y 1/4 está 1/8, entre 1/2 y 1 está 3/4.

Así pues, cuando se quiere pasar del 0 al primer número fraccionario, nunca se puede encontrar ese primer número en el orden habitual, porque siempre hay uno, y los que uno quiera, en el medio. Esta es exactamente la propiedad que toma prestada BORGES en “El Libro de Arena”. Hay un momento en este cuento en que al personaje de BORGES lo desafía a abrir por la primera hoja el “Libro de Arena”:

  • «Me dijo que su libro se llamaba el “Libro de Arena” porque ni el libro ni la arena tienen principio ni fin. Me pidió que buscara la primera hoja. Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo pulgar casi pegado al índice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la portada y la mano. Era como si brotaran del libro. …».

 

La tapa del “Libro de Arena” sería el cero, la contratapa sería el uno, las páginas corresponderían entonces a los números fraccionarios entre cero y uno. En los números fraccionarios uno no puede encontrar el primer número después de 0 ni el último anterior a 1. Siempre hay números intermedios. Realmente nos tienta decir el infinito de los números fraccionarios es más comprimido, «más denso» decimos los matemáticos, más profuso que otros infinitos que ya hemos mencionado.

La segunda sorpresa que nos deparan los infinitos es que esto no es así, es decir, tremenda extrañeza:

  • «Hay tantos números racionales como números naturales».

Esto también lo descubrió Cantor, mediante un método de enumerar fracciones, que se conoce como el “Recorrido diagonal de Cantor”, que demuestra que a pesar de que el infinito de los números fraccionarios parece más apretado, hay “tantos” números fraccionarios como números naturales”. Más todavía, con esta enumeración a los números fraccionarios se les puede dar un orden consecutivo, un orden, que por supuesto, es distinto del que tienen en la recta, pero que permite explicar la enumeración de páginas en “El Libro de Arenade BORGES. La numeración de páginas que a BORGES en el cuento le parece misteriosa y le atribuye una razón también recóndita, en principio no tiene ningún misterio. No hay contradicción entre el hecho de que entre dos hojas del “Libro de Arena” siempre hay otra intercalada con el hecho de que cada hoja pueda tener un número: el mismo habilidoso impresor que pudo coser las infinitas páginas del “Libro de Arena”, pudo también perfectamente numerarlas tal como lo había hecho Cantor.

Veamos un segundo elemento de Matemática en “El Aleph”. Aparece en el momento en que BORGES está por describir “El Aleph”, y dice:

  • «¿Cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca? Los místicos, en análogo trance, prodigan los emblemas: para significar la divinidad, un persa habla de un pájaro que de algún modo es todos los pájaros; Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna….. Por lo demás, el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito».

Algo más se puede decir aquí sobre el símbolo Aleph () como la figura de un hombre con un brazo que toca la tierra y el otro brazo que apunta al cielo, porque de alguna forma la operación de contar es el intento humano de acceder a lo infinito. Es decir, el ser humano no puede, en su vida finita, contar de forma efectiva todos los números, pero tiene una manera de generarlos y acceder a un número tan grande como sea necesario. A partir del descubrimiento de la escritura decimal, a partir de los diez dígitos, puede alcanzar números tan grandes como se quiera. Aunque limitado a su situación terrestre, puede extender su brazo al cielo en su intento de contar más y más allá.

 

 

Asoma aquí el asunto de la esfera que aparece también en “Las ruinas circulares” y en ”La esfera de Pascal”: “Una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna”. BORGES advierte:

En el ensayo “La Esfera de Pascal”, cuando quiere precisar un poco más esta imagen, BORGES escribe:

  • «Calogero y Mondolfo razonan que intuyó una esfera infinita, o infinitamente creciente, y que las palabras que acabo de transmitir tienen un sentido dinámico».

Es decir, se puede concebir y reemplazar al plano por un círculo que crece de forma progresiva, porque todos los puntos del plano son abarcables por ese círculo. Ahora, en ese círculo que se expande indefinidamente, la circunferencia se perderá en el infinito. No se puede delimitar ninguna circunferencia. Haciendo un salto al infinito puede pensarse que todo el plano es un círculo con centro en cualquier punto y circunferencia en ninguna parte.

Un tipo similar de construcción puede valer para en el espacio tridimensional: una esfera concebida como un globo que crece indefinidamente y va ocupando todos los puntos. De hecho, el universo puede concebirse como una esfera infinitamente expandida.

Así es, de hecho, la concepción actual del universo en la Física contemporánea: una esferita de magnitud infinitesimal y masa infinitamente concentrada que en algún momento del Big Bang se expandió en todas direcciones.

 

¿Por qué es interesante esta «inconcebible analogía»?

Porque el Aleph es una esferita. Si uno logra ver a todo el universo también como una gran esfera, es mucho más plausible la idea de que todas las imágenes del universo puedan reproducirse en la esferita al pie de la escalera. Simplemente por contracción uno puede trasvasar todo el universo a la esfera pequeña. Este es, por supuesto, sólo uno de los sentidos con que BORGES utiliza esta analogía: el sentido al que prestamos particular atención en nuestro modo matemático. Pero hay que aclarar, de nuevo, que la Matemática se desliza en los textos de BORGES también en un contexto de referencias filosóficas y literarias: la idea del universo como esfera está vinculada a toda una tradición de misticismo, religiosa, cabalística, en fin, estas otras connotaciones están explicadas con más detalle en “La Esfera de Pascal”:

  • «… En el Asclepio, que se atribuyó a Trismegisto, el teólogo francés Alain de Lille descubrió, a fines del siglo XII, esta fórmula, que las edades venideras no olvidarían: “Dios es una esfera inteligible, cuyo centro está en todas partes y su circunferencia en ninguna”…

… El espacio absoluto, que había sido una liberación para Bruno, fue un laberinto y un abismo para Pascal. [Según él] “La naturaleza es una esfera infinita, cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna».

 

BORGES es un escritor que procede desde una idea: “en el principio era la idea”, y concibe sus ficciones como encarnaciones y avatares de una concepción abstracta moldeada por una argumentación lógica. Este tipo de matriz ensayística es uno de los elementos que marcan cierta similitud con el pensamiento científico y en particular matemático

 

Cuando BORGES escribe, acumula ejemplos, analogías, historias afines, variaciones de lo que se plantea relatar. De esta forma la ficción principal que desarrolla es a la vez particular y genérica, y sus textos resuenan como si el ejemplo particular llevara en su seno y aludiera permanentemente a una forma universal. De la misma forma proceden los matemáticos. Cuando estudian un ejemplo, un caso particular, lo examinan con la expectativa de descubrir en él un rasgo más intenso y general, que puedan abstraer en un teorema a demostrar.

A los matemáticos les gusta creer que ─salvando las distancias─ BORGES escribe casi como lo harían ellos si los pusieran a prueba: con un orgulloso platonismo, como si existiera un cielo de ficciones perfectas y una noción de verdad para la literatura.

Desde luego hay multitud de huellas y vestigios matemáticos en la obra de BORGES. Pero hay además un elemento de estilo en la escritura, que es especialmente grato a la estética matemática. Tal vez la clave de ese elemento está expresada, en este pasaje extraordinario de “Historia de la Eternidad”:

  • «No quiero despedirme del platonismo sin comunicar esta observación, con la esperanza de que la prosigan y justifiquen: lo genérico puede ser más intenso que lo concreto. Casos ilustrativos no faltan. … Lo genérico prima sobre los rasgos individuales».

Así funciona también, en general, el matemático. El idealismo platónico ha inspirado la filosofía de trabajo del matemático que especula en la topología de un territorio de ideas que el espíritu explora sin doblegarse a la dimensión sensible de la realidad. En este sentido, buena parte de los matemáticos somos platónicos y nos fascina la afinidad espiritual con el fundador de la Academia.

 

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(León, 12/1953) es Catedrático de Matemáticas desde 1977. Ha sido profesor de la Universidad de Barcelona y de la Universidad Politécnica de Cataluña. Su interés se centra en dimensión cultural de la Matemática y su función en la Historia del Pensamiento, sobre lo que ha publicado 12 libros, numerosos artículos y ha impartido cursos, seminarios y conferencias en Universidades de España y LatinoAmérica y en Centros de Profesores sobre Historia, Filosofía, Epistemología y Didáctica de las Matemáticas. Es también coautor de Libros de Texto. Desde hace un tiempo también publica periódicamente en las redes sociales y en prensa digital.

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