LA GEOMETRÍA EN EL ARTE (9)

Las Proporciones conmensurables

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Las consonancias musicales en el Arte

► «Para los hombres del Renacimiento, las consonancias musicales eran las pruebas audibles de una armonía universal que afectaba a todas las artes».

― R. Wittkower. Los Fundamentos de la Arquitectura en la Edad del Humanismo”. Alianza Forma, Madrid, 1995. Pág. 169.

Vamos a ver como las relaciones proporcionales armónicas de la escala musical pitagórica influyeron e incluso dieron forma a muchas de las proporciones utilizadas en el arte del Renacimiento, tanto desde un punto de vista teórico como práctico. Leon Battista Alberti y Palladio son las principales fuentes teóricas para estudiar esta cuestión.

L.B. Alberti, «el más elegante de los humanistas», «el Príncipe del saber», es uno de los más brillante artistas y teóricos renacentistas, admirado por su cultura, por su obra teórica y su plasmación práctica en sus obras de Arquitectura, que eleva esta al rango de Las Artes Liberales. Sus escritos más importantes son De Pictura (1435) y De re Aedificatoria (1450-1485), donde realiza un esfuerzo de intelectualización y racionalización general del Arte:

►«Todo en el edificio se calcula y se analiza; la belleza es el valor absoluto de un organismo estético, donde nada puede ser modificado. Esta belleza irradia en el alma humana una alegría interior que suscita un acuerdo irremplazable entre el hombre y el universo mediante el cálculo matemático, el juego de las proporciones, o en términos tomados del Timeo de Platón, de las medias pitagóricas,…. La clave de la belleza estriba en mantener un sistema uniforme de proporciones en todas las partes del edificio,…. La clave de las proporciones correctas es el sistema pitagórico de la armonía musical».

L.B Alberti analiza la correspondencia entre los intervalos musicales y las proporciones arquitectónicas. Con base en Pitágoras escribe:

►«Los números que hacen que las concordancias sonoras produzcan placer en nuestros oídos son exactamente los mismos que deleitan nuestra vista y nuestra mente».

Al explayarse en la explicación de sus palabras, L.B Alberti alude literalmente a Pitágoras:

►«…Tengo que afirmar de una vez por todas la opinión de Pitágoras de que la recta naturaleza está en todo,.., y que los números determinantes de que la concordancia de las voces sea agradable a los oídos hacen también que los ojos y el entendimiento se colmen de maravillosa voluptuosidad».

L.B Alberti prosigue:

«Tomaremos por tanto todas nuestras reglas para las relaciones armónicas [“finitio”] de los músicos, que conocen perfectamente todo este tipo de números, y de aquellas cosas concretas en las que la naturaleza revela completamente toda su excelencia».

Es decir, para L.B. Alberti las relaciones armónicas inherentes a la naturaleza se revelan en la música. Al enfatizar el pensamiento pitagórico, si las razones musicales revelan el orden matemático cósmico, se debe establecer como postulado en todo el sistema de proporciones la correspondencia entre las consonancias musicales y las proporciones de la arquitectura, a fin de incardinar esta en el ámbito cósmico de la armonía universal. No es que el arquitecto tenga que trasladar directamente las proporciones musicales a la arquitectura, sino que tiene que hacer uso de una armonía universal que se revela en la música.

De lo que se ha dicho se desprende que la analogía renacentista entre las proporciones audibles y las visuales no era una mera especulación teórica, sino el alegato de una solemne creencia en la estructura matemática y armónica de toda la creación. Pero además, la música ejercía una singular atracción sobre los artistas del Renacimiento porque siempre se la había considerado como una ciencia matemática. Desde la Antigüedad existía una ininterrumpida tradición, según la cual la aritmética (el estudio de los números), la geometría (el estudio de las relaciones espaciales), la astronomía (el estudio del movimiento de los astros) y la música (el estudio de los movimientos aprehendidos por el oído), formaban el Quadrivium de las Artes Liberales matemáticas. Frente a estas Artes Liberales, la pintura, la escultura y la arquitectura se consideraban quehaceres manuales. Para elevarlas desde el nivel mecánico al nivel de Artes Liberales fue necesario dotarlas de una base teórica, es decir, de un fundamento matemático. Esta transformación fue el gran logro de los artistas renacentistas del siglo XV. Se comprende, pues, que centraran su atención en la música, considerada la más importante de las Artes liberales, esencial en la formación artística.

Quizá fue Leonardo uno de los artistas que con mayor convicción expresó la eficacia de las proporciones musicales que subyacen en todos los fenómenos visuales. Incluso llegó a decir la célebre afirmación de que «la música es hermana de la pintura», lo que va mucho más allá de una simple analogía o paralelismo, sino que indica una estrecha relación, ya que tanto la música como la pintura comunican armonías, la música mediante sus acordes y la pintura mediante sus proporciones. La perspectiva lineal y los intervalos musicales se fundan en las mismas relaciones numéricas, ya que los entes de igual tamaño dispuestos como si se alejaran a intervalos regulares, disminuyen en progresión armónica.

También Franchino Gaffurio (1451−1522), famoso teórico renacentista de la música, nos deja su impronta al pontificar sobre su creencia en la unidad fundamental de la geometría y la música al exclamar a propósito de la «exactísima harmonía» del cuerpo humano (De Scultura,1503):

►« ¡Qué geómetra, qué músico, debió ser Aquel, que dio forma al hombre

 

La generación albertiana de las proporciones

Leon Battista Alberti escribe en De re Aedificatoria. IX.6:

► «Estos números que los arquitectos usan tan cómodamente para establecer el plano de las plazas y mercados y otros lugares públicos construyen las dimensiones en buena armonía, simetría y proporción».

L.B. Alberti distingue tres tipos de plantas: pequeñas, medianas y grandes. Cada una de estos tres tipos puede tener, a su vez, tres formas diferentes:

1) Plantas pequeñas: define 3 tipos de plantas pequeñas, las que tienen forma de cuadrado (1:1), las rectangulares con formas con proporción de 1 por 1,5 (2:3) y, finalmente, las rectangulares con formas con proporción de 1 por uno y un tercio (3:4). Estas proporciones responden a las consonancias musicales simples:

 

2) Plantas medianas: estas duplican las proporciones de las plantas pequeñas, es decir, son en rectángulos de uno por dos (1:2), en rectángulos con proporción de 1 por dos veces 1,5 (4:6:9), y, finalmente, en formas con proporción de 1 por dos veces uno y un tercio (9:12:16).

En estas plantas medianas, el asunto tiene más interés, ya que las proporciones se engendran por razones compuestas sucesivas. Por ejemplo: Para trazar una planta con una proporción de uno por dos veces uno y medio, el arquitecto establece una unidad múltiplo de 2, por ejemplo 4, la amplía hasta la proporción de uno por uno y medio (es decir 4:6), ahora amplía ésta otra vez hasta la proporción de uno por uno y medio, es decir añade a la dimensión 6 su mitad 3 obteniendo 9, quedando 4:9. Se dice (impropiamente) que la proporción 4:9 se engendra a partir de las dos proporciones 4:6 y 6:9, es decir, simbólicamente 4:9 = (4:6)·(6:9).

Análogamente la proporción de uno por dos veces uno y un tercio se engendra (9:12:16)= (9:12)·(12,16).

3) Plantas grandes: También en este caso, L.B. Alberti habla de tres tipos. El primero se forma añadiendo un medio al cuadrado doble 2:4, generándose la proporción 1:3 partir de 2:4:6 (o como en el gráfico 3:9 a partir 3:6:9). El segundo se forma añadiendo un tercio al cuadrado doble 3:6 generándose la proporción 3:8 a partir de 3:6:8. Y el tercer tipo se forma doblando el cuadrado doble generándose la proporción cuádruple 2:8 a partir de 2:4:8.

Vemos como unas proporciones se pueden engendrar a partir de otras por ejemplo la proporción doble 1:2 (la octava en términos musicales) se engendra por composición de las proporciones 2:3 y 3:4 (2:3:4), es decir, en términos musicales, la octava se obtiene a partir de la cuarta y la quinta, pero también se puede obtener en la forma 3:4:6, es decir, la quinta y la cuarta.

Puede parecer que la descomposición de las relaciones proporcionales en subunidades inferiores, intervalos consonantes de la escala musical, realizada para que las proporciones de una habitación sean armónicamente inteligibles sea algo muy abstruso, pero así se concibió la proporción durante todo el Renacimiento. Ahora bien, estas posibles composiciones deben interpretarse en términos de experiencia espacial, como explica L.B. Alberti en el ejemplo (4:6:9). Las proporciones armónicas dobles, triples y cuádruples son compuestas de proporciones armónicas más simples. En algunos casos sólo es posible una forma de generación, pero en otros puede plantearse dos o más formas, como vimos antes con la octava [1:2=2:3:4=3:4:6]. Además, por ejemplo la proporción (4:6:9) es una secuencia de dos quintas y la (9:12:16) es una secuencia de dos cuartas, es decir, representan disonancias desde el punto de vista musical. Debemos, pues, pensar en las proporciones de los intervalos musicales como simples ingredientes de la combinación de las relaciones espaciales. Los artistas del Renacimiento no trataban por tanto de traducir música en Arquitectura, sino que consideraban las consonancias musicales como pruebas visibles de la belleza de las proporciones entre los cuatro primeros números enteros 1:2:3:4 de la Tetractys pitagórica, trasunto, imitación, compendio, manifestación de la asombrosa belleza de la armonía cósmica.

Acabamos aquí con el principio de la generación de las proporciones musicales de la arquitectura renacentista. Digamos que sin la consideración de este principio es muy difícil descubrir y entender plenamente las intenciones del arquitecto del Renacimiento.

 

La Iglesia de Santa Maria de Novella de Leon Battista Alberti

La fachada de la iglesia de Santa Maria Novella de Florencia diseñada por L.B.Alberti, con inspiración en algunos aspectos en el famoso Panteón es un modelo de aplicación de un único sistema de proporciones musicales. La fachada entera puede inscribirse perfectamente en un cuadrado. Otro cuadrado de lado mitad permite inscribir el piso superior, de manera que el piso inferior es el doble de este cuadrado menor. Así pues, la relación entre el conjunto del edificio y sus partes principales es de 1 a 2, que en términos musicales se considera una octava y esta relación se repite entre la anchura de ambos pisos y entre las subunidades de cada piso. En efecto, en el piso superior el entrepaño central forma un cuadrado perfecto de lado igual a la mitad de la anchura del piso y dos cuadrados como él encierran el frontón y el entablamiento.

Podemos asegurar que la totalidad de la fachada se levanta de forma geométrica a partir de una progresiva duplicación o una progresiva partición de las relaciones proporcionales, donde se cumple el precepto albertiano de conservación de la misma proporción en todo el edificio. Así resulta ser el primer gran ejemplo renacentista de symmetria vitrubiana clásica, en sintonía con el orden cósmico que Pitágoras había establecido.

 

Giorgi y Palladio: San Francesco della Vigna

En Quatro Libri della Architettura, A.Palladio (1508−1580) realiza unas indicaciones sobre la Proporción que remiten a ciertas reglas matemáticas tácitamente aceptadas. Vamos a ver una descripción sobre la relación proporcional entre las dimensiones de una habitación que conduce directamente a la proporción armónica, pero previamente Palladio declara cuáles son las mas bellas proporciones para la planta, es decir, entre la anchura y la longitud. Paladio recomienda el uso de siete formas de habitaciones en este orden: (I.21)

Circular.

Cuadrada.

Con longitud igual a la diagonal del cuadrado.

De un cuadrado y un tercio (3:4).

De un cuadrado y medio (2:3).

De un cuadrado y dos tercios (3:5).

De dos cuadrados.

Como vemos todas estas medidas son conmensurables (excepto la tercera) y de gran sencillez.

 

Pasando a tres dimensiones, la solución teórica resulta extraordinariamente simple. Según Palladio existen tres conjuntos de relaciones proporcionales entre altura, anchura y longitud que respetan la armonía de las dimensiones. A partir de datos concretos de la anchura (a) y la longitud (l) obtiene la altura (h) mediante medias aritmética, geométrica y armónica, los tres tipos de proporción atribuidos a Pitágoras: (I.23):

Palladio y otros arquitectos aplicaban estrictamente estas medidas proporcionales numéricas a sus edificios. Por ejemplo en la villa de Thiene las habitaciones se basan en la serie armónica 12:18:36 [18=(2·12·36)/(12+36)], al representar 12:36 la relación 1:3, 12:18 la relación 2:3 y 18:36 la relación 1:2. No es que Palladio plasmara directamente las proporciones musicales en términos visuales, sino que consideraba los intervalos consonantes de la escala musical pitagórica como pruebas perceptibles de la belleza y la perfección.

El estudio de las medias pitagóricas había sido recogido por El Timeo de Platón, estudiado exhaustivamente por Boecio en De Musica, y analizado muy extensamente por Marsilio Ficino, de ahí su abrumadora incidencia en la estética renacentista. Habían sido también tratadas intensamente por F. Giorgi en De Harmonice Mundi y por D.Barbaro en su comentario de Vitrubio, pero parece que la fuente de Palladio fuera L.B.Alberti (De re Aedificatoria, IX.6). De hecho Palladio tiene algunas frases que nos recuerdan a L.B. Alberti (Quattro Libri dell’Architettura de Palladio, Libro IV, prefacio):

►«Las Proporciones de las voces son armonías para los oídos; las de las dimensiones son armonías para los ojos. Dichas armonías suelen complacer considerablemente, sin que nadie salvo aquellos que estudian las causas de las cosas, sepa por qué.

Hemos comentado nada más las actuaciones de L.B. Alberti y Palladio, pero debemos asegurar que las tres medias que determinan las consonancias musicales formaron parte fundamental de las deliberaciones que sobre proporciones mantuvieron los arquitectos y teóricos del Renacimiento que habían asimilado los vestigios neopitagóricos, depositarios del gran secreto de los números y la armonía. La prueba más fehaciente de lo dicho es el Memorándum de Francesco Giorgi para S. Francesco della Vigna de Venecia de 1 de abril de 1535, aplicación práctica de las teorías expuestas en su obra De Harmonia Mundi de 1525. A continuación, al utilizar el propio esquema de Giorgi, sobre el que se han situado una serie de datos y anotaciones, sintetizamos de forma muy sucinta del documento de Giorgi mencionando lo que interesa a la aplicación de las proporciones musicales, que aparecen por doquier:

  • Nave: anchura/longitud (9:27) = (9:18/18:27) = (1:2/2:3), diapasón-diapente (octava y quinta).
  • Capillas laterales: (3:4), diatessaron (cuarta).
  • Anchura capillas laterales/anchura capilla grande: (3:6) diapasón.
  • Anchura capillas laterales/anchura nave= (3:9) = (3:6/6:9) diapasón-diapente.
  • Capilla grande y coro: (6:9) diapente (quinta)
  • Capilla grande + nave = (9:36) = (9:18:36) doble diapasón.
  • Capilla pequeña, transepto, capilla grande) = (3:6:9) diapasón-diapente.

Al fundamentar de forma palmaria las proporciones del edificio en la geometría pitagórica de los números armónicos, Giorgi creó un auténtico precedente, sobre todo porque tres ilustres próceres del Renacimiento: Tiziano, Serlio y Spira, pintor, arquitecto y humanista, respectivamente, dieron su aprobación al memorándum, como queriendo indicar que las proporciones pitagóricas de la arquitectura no eran una materia exclusiva de arquitectos. La unidad de artes y ciencias que se proclama en el Renacimiento exhortaba a todos los hombres cultos, artistas y humanistas, a pronunciarse sobre estas cuestiones. Paladio también debió conocer el documento de Giorgi y su pronunciamiento más ostensible sobre el mismo fue su inspiración para aplicar alguno de sus aspectos al diseño de la fachada del edificio veneciano en 1562.

Las proporciones musicales en la Pintura

La teoría de la generación de las proporciones en la Arquitectura de Leon Battista Alberti, música de las proporciones, tuvo también un gran eco entre los pintores. Muchos artistas tomaron al pie de la letra el texto de L.B. Alberti, incluso tomando los números que este proponía a título de ejemplo. Las superficies medias eran las que más útiles resultaban a los pintores, sobre todo la 4:6:9 y la 9:12:16. Como en el caso de la Arquitectura, la belleza en la pintura como la armonía intelectual, en general, nace de la exacta relación entre los números. Las consonancias musicales eran las pruebas audibles de una armonía universal que afectaba a todas las artes.

Esta actitud diverge de la defendida por Pacioli que glorificaba en su obra “La Divina Proporción”, vinculada a la sección áurea, precisamente porque era inconmensurable. Aquí es lo contrario, la sublime belleza albertiana reside en las relaciones simples de los primeros enteros, fáciles de vislumbrar al primer golpe de vista y siempre conmensurables y latentes en la escala musical. Aunque la actitud intelectual sigue impregnada de cierta metafísica, L.B, Alberti se apoya de forma reflexiva en un exaltado espiritualismo platónico.

Quizá pocos teóricos del Arte describen tan bien esta situación como Charles Bouleau en su famosa obra TRAMAS. LA GEOMETRÍA SECRETA DE LOS PINTORES (Akal, Madrid, 1996, pág. 81):

►«En la Edad Media toda investigación se hacía a punta de compás. Esto permitía el uso normal de cantidades inconmensurables y en particular de la proporción áurea: labor de geometría práctica, conforme a los métodos, a los trucos de taller que embellecía la mística pero, al fin de cuentas, labor de artesano. Por el contrario, la generación del humanismo se sumerge en los libros. Estudia el Timeo en el comentario de Marsilio Ficino, cuyas ediciones se suceden, bebe directamente en las fuentes originales de Euclides, Vitruvio, Ptolomeo, y busca al lejano Pitágoras en las obras de teoría musical como la de Boecio. Como resultado tendremos en primer lugar la precisión, las ideas claras, los cálculos exactos de números; lo que relegará al compás que ya no servirá para calcular, al tiempo que aumenta el interés por las relaciones simples. Wittkower puso de relieve [en su célebre obra “Los Fundamentos de da Arquitectura en la Edad del Humanismo”, de Alianza Forma, Madrid, 1995] la profunda razón de ese interés por las relaciones simples y mensurables: el deseo de acercar las artes plásticas a la música, la mayor de las artes, a través de las relaciones musicales».

Esta convicción no sólo estaba profundamente arraigada en la teoría sino que, aunque hoy la niegan algunos, se traducía en la práctica. Es verdad, según apunta R. Wittkower en la obra citada por Bouleau (Los Fundamentos de da Arquitectura en la Edad del Humanismo” pág.169), otro clásico fundamental en la historia del arte del Renacimiento, que cuando se intenta probar la aplicación deliberada de un sistema de proporciones por un pintor, un escultor o un arquitecto, resulta fácil llegar a conclusiones erróneas y hallar de forma prejuiciosa las proporciones que uno se ha propuesto “a priori” encontrar. El compás no suele contradecir las pretensiones del erudito, sobre todo si este es matemático. Si se quiere evitar caer en especulaciones absurdas, lo mejor es dejarse guiar por los propios artistas. Aunque las pistas que dan estos no son muy abundantes hay una cantidad considerable de datos que hay que descifrar e interpretar, sobre todo en la época del Renacimiento, en la que los artistas, además, son teóricos geómetras y estudiosos del Arte.

Dos de los ejemplos arquetípicos del Albertismo en la Pintura, donde brilla con refulgente esplendor la maravillosa “concinnitas, tienen que ver con temas mitológicos y alegóricos: “El Nacimiento de Venus” (1484) y “La Primavera” (1478), ambas obras de Sandro Boticelli (1445−1510).

A continuación analizamos desde la perspectiva de la aplicación Albertiana de las consonancias musicales, una de de las obras cumbres de la pintura: “La Primavera” de Boticelli.

 

 “La Primavera” de Boticelli.

► «En este jardín de espíritu se evoque una especie de paraíso platónico, donde diosas refinadas bailen al ritmo de la música de los números».

― CHARLES BOULEAU. Tramas, la Geometría secreta de los pintores, Akal. Madrid, 1996. Pág. 87“.

La Primavera” de Boticelli es conocida como “la flor más fresca del Renacimiento florentino”, a pesar de que ha sido estudiada hasta la saciedad tanto su simbolismo como su composición.

 

El trazado de la obra parece simétrico en apariencia, pero no lo es en la realidad, ya la figura principal, Venus, rodeada de un nicho de vegetación, no ocupa, en realidad, el centro. A su lado, a la izquierda hay cuatro personajes, mientras que al otro lado, a la derecha, hay tres. De hecho la obra está construida sobre la doble diapente (4/6/9) y Boticelli es capaz de adaptar con tal destreza su composición que cada división del cuadro contiene tantos personaje como unidades. El nicho se inscribe sobre las cesuras 4 y 6. A un lado hay cuatro unidades y cuatro personajes; al otro, tres unidades y tres personajes. El pequeño amorcillo, por encima de la dama soñadora pretende recordar que en el medio hay dos unidades). Se trata de una curiosa simetría levemente desplazada del eje.

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