LA GEOMETRÍA EN EL ARTE (6)

La Armonía de las Proporciones (1)

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Los saberes matemáticos en las artes

La Matemática ha sido uno de los argumentos más importantes en las especulaciones teóricas de los artistas. En todos los tiempos las ciencias matemáticas han estado al servicio de la expresividad en el arte por su capacidad de evocar simbólicamente a través de un ideal de belleza, lo esencial, lo original, lo inmutable y lo verdadero, en el afán de conocimiento de lo universal, de modo que subyace en la obra de Arte una matemática ostensible o secreta, que conforma proporciones, da significado a las intenciones del artista y contribuye a la emoción y al misterio que emana de la belleza.

 

► «Pitágoras consideró que los números son la clave de la comprensión del universo. … Lo cierto es que la relación establecida por su escuela, entre las Matemáticas, la Ciencia y la Filosofía, no se ha perdido nunca».

—  John BERNAL. Historia social de la Ciencia. Península, Barcelona, 1979. vol.I. Pág.150.

La fuente primigenia de la armonía y la proporción en el Arte se remonta a las concepciones matemáticas del pensamiento pitagórico, que al descubrir las sorprendentes relaciones proporcionales de la consonancia musical creyó haber alcanzado la verdad absoluta de la estructura armónica del universo, tomándolas como principio generador en el macrocosmos y en el microcosmos del orden y la armonía, basados en los números. Estas ideas, reveladas por Pitágoras y plasmadas en El Timeo por Platón, han sido de trascendental importancia en la Historia de la Cultura, en general, pero sobre todo en el Arte, que al intentar dar expresión a ese orden se apoya en la verdad irrebatible de los números y las relaciones espaciales, que parecen revelar esa armonía preestablecida ya que para muchos artistas la armonía espacial será el eco visible y el espejo de la armonía cósmica pitagórica, de ahí que para los teóricos y artistas del Renacimiento, la armonía, esencia y fuente de la belleza, se conciba como la perfecta relación entre el todo y las partes y de éstas entre sí, en términos de proporciones y razones matemáticas.

La concreción práctica de las concepciones pitagóricas sobre la armonía en la configuración de las proporciones artísticas en el Renacimiento se resume en la aplicación de dos tipos de proporciones: las conmensurables relativas a las consonancias musicales y las inconmensurables vinculadas a la Divina Proporción (la sección áurea), derivadas ambas de la tradición pitagórica.

 

Cosmos y Armonía pitagóricos

La fuente primaria de la armonía y la proporción en el arte se encuentra en los conceptos matemáticos del universo pitagórico-platónico. Las observaciones pitagóricas llevaron al descubrimiento de regularidades sorprendentes que sellaron firmemente la idea de que ciertas relaciones proporcionales encarnaban la verdad absoluta de la estructura armónica del mundo, en particular las sencillas proporciones de la consonancia musical actuarían como principio generador en el macrocosmos y en el microcosmos. Esto ha tenido a lo largo de la Historia de la Cultura, pero sobre todo en la Historia del Arte una trascendencia excepcional.

Pitágoras fue el primero en utilizar el término Cosmos para describir un universo armonioso y ordenado por unas leyes cognoscibles, es decir, inteligible por el hombre a través del número, que es el principio elemental, «la esencia de todas las cosas», componente esencial de la armonía matemática que debe guiar, con finalidad religiosa, toda investigación sobre el universo, de ahí la prosecución de estudios filosóficos, matemáticos y cosmológicos que emprenderá Pitágoras en su comunidad, como factores de elevación moral para la dirección de la existencia y elementos esenciales de un determinado estilo de vida, en el que la virtud será un elemento clave de la armonía interna del hombre consigo mismo y con su entorno, de acuerdo con el orden natural de las cosas, cuya más alta expresión es el equilibrio que preside el Cosmos en perpetua armonía con sus leyes, paradigma de las leyes que deben presidir la vida de los hombres, realizando un tránsito armónico del Macrocosmos al Microcosmos.

En el capítulo V del libro I de la Metafísica de Aristóteles (que lleva por título «Los pitagóricos y su doctrina de los números»), se lleva a cabo una exposición general del pitagorismo que empieza con estas palabras (Metafísica, 985b, 986a):

► «… los llamados pitagóricos se dedicaron al cultivo de las matemáticas y fueron los primeros en hacerlas progresar; estando absortos en su estudio creyeron que los principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas. Y Puesto que los números son por naturaleza los primeros de estos principios y en los atributos de los números creían contemplar muchas semejanzas con los de los cuerpos sensibles… supusieron que las cosas existentes están realmente compuestas de números y la totalidad del universo es armonía y número. Su razón consistía en que las propiedades numéricas eran inherentes a la escala musical, a los cielos y a otras muchas cosas. …».

El entusiasmo ante el descubrimiento pitagórico de la base numérica de los intervalos musicales encendió un chispazo de inspirada intuición hacia una fórmula de aplicación universal: «si los números son la clave de los sonidos musicales, ¿no serán también la clave de toda la naturaleza?, «los números son el principio, la sustancia y la causa de todas las cosas». El número es el principio inteligible a través del cual el Cosmos divino gobernado por el espíritu manifestaba al hombre su armonía interna.

Los pitagóricos vivieron imbuidos de un efervescente entusiasmo místico hacia los números. Para ellos los números determinan el nexo de unión de todas las cosas y la mecánica armónica del universo entero, son la base del espíritu y el único medio por el cual se manifiesta la realidad. A esta doctrina pitagórica se la llama, a veces, misticismo numérico, como queriendo indicar la atribución a los números, no sólo de un carácter sagrado, sino también de una realidad sustancial descriptiva tanto de los aspectos cualitativos como de los aspectos físicos de las cosas.

Los pitagóricos denominaron Década a los diez primeros números y en la consideración de sus propiedades místicas y cabalísticas y de sus virtudes mágicas desarrollaron más allá de la Aritmética, un cierto misticismo numérico, una Aritmología determinando que cada número poseía sus propios atributos especiales que le dotaban de ciertas propiedades vitales de acuerdo con la tabla siguiente:

 

Tienen especial significación los números 5 y 10.

Número 5. – Conjunción de los principios masculino y femenino y por tanto símbolo del matrimonio (2+3=5). Menor número cuyo cuadrado es suma de cuadrados (52=32+42), representación aritmética del triángulo divino. Símbolo de los cinco sólidos regulares (tetraedro, octaedro, cubo, dodecaedro e icosaedro), conocidos más tarde por el nombre de Cuerpos Platónicos al ser tomados por Platón de los pitagóricos. Cinco son los números primos y cinco los números compuestos de la Década.

El número 5 corresponde al Pentagrama místico, Pentalfa, o estrella de cinco puntas, emblema de la salud y símbolo de identificación de los pitagóricos, que representa entre otras cosas al hombre-microcosmos: el vértice superior, la cabeza; los vértices laterales, los brazos extendidos; los vértices inferiores, las piernas. El anagrama pitagórico simboliza también el imperio del Espíritu (número 3) sobre la Materia (número 2) y es un antecedente del hombre de Vitrubio y el Homo Cuadratus de Leonardo.

Número 10. – Es el más sagrado de todos los números. Símbolo de Dios y del universo, emblema supremo, suma de las dimensiones geométricas, fundamento de todo. Anagrama místico del juramento pitagórico. Depositario de la escala musical.

Los pitagóricos representaban el número diez mediante 10 puntos, piedrecillas o alfas dispuestos bajo la forma de un triángulo equilátero. A este anagrama, representación visual y geométrica del hecho de que 10=1+2+3+4, le llamaron la Tetractys de la Década. Tenía, para ellos tanta significación esotérica como el Pentagrama místico, y su importancia simbólica deriva de que por él juraban en sus ceremonias más solemnes, sobre todo en el rito iniciático de incorporación a la comunidad: «¡lo juro por Aquel que ha dado a nuestro alma la Tetractys, fuente y raíz de la Naturaleza eterna!» (Versos Dorados, 47) juramento referente al secreto sobre el contenido de la enseñanza pitagórica (Porfirio, Vida de Pitágoras, 20, Jámblico, Vida de Pitágoras, 47).

El número diez, cuya veneración, paradójicamente, no es tributaria de la anatomía de la mano del hombre, es la quintaesencia del misticismo pitagórico.

La armonía musical pitagórica

Pitágoras inaugura una teoría matemática de la música al encontrar de forma experimental un fundamento aritmético de la armonía musical. Sobre las circunstancias en que debió tener lugar el descubrimiento han corrido leyendas o historias más o menos apócrifas relatadas por Nicómaco, Gaudencio, Porfirio, Teón de Esmirna, Jámblico, Boecio y otros pitagóricos, que describen el hallazgo como una ocurrencia de Pitágoras al percibir el sonido cadencioso de unos martillos golpeando en el yunque de un taller de herreros.

A Pitágoras se la atribuye la invención del monocordio (Diógenes Laercio, VIII.12), que más que un instrumento musical es un aparato científico, con el que mediante una experiencia mucho más verosímil que la de los martillos de los herreros es plausible que Pitágoras encontrara la correlación entre los sonidos consonantes o armónicos (aquellos cuya manifestación simultánea origina una sensación agradable en nuestro oído: el tono, la octava, la quinta y la cuarta) y los primeros números enteros. El artilugio consistía en una simple cuerda musical de longitud proporcional a 12 tendida sobre una tabla, con una clavija o puente móvil deslizable entre cuerda y tabla, para obtener cuerdas de diversa longitud, en particular las proporcionales a 9, 8 y 6, manteniendo en tensión los dos trozos en que el puente móvil dividía a la cuerda, permitiendo, además, que uno de ellos pudiera vibrar independientemente del otro. Al pulsar la cuerda completa se producía un sonido que Pitágoras tomo como primario, el tono. Moviendo el puente y pulsando las cuerdas resultantes proporcionales a 9, 8 y 6, se producían, respectivamente la cuarta, la quinta y la octava (que los griegos llamaban diatessaron, diapente y diapason). Los sonidos producidos mediante otras posiciones del puente móvil resultaban discordes, o al menos no tan acordes como los anteriores.

 

Y puesto que las razones entre los números 12, 9, 8 y 6 son iguales a las que hay entre 1, 3/4, 2/3 y 1/2, que son las más sencillas que se pueden formar con los números de la sagrada Tetractys, 1, 2, 3 y 4, Pitágoras dedujo que ésta es «la fuente y raíz de la Naturaleza eterna» como dicen los Versos Dorados. Como en tantos aspectos pitagóricos los números de la Tetractys eran la piedra angular de la armonía musical. Mediante una mística extrapolación la Tetractys sería la fuente del conocimiento de las raíces de la armonía del Cosmos divino, alcanzable a través del número.

El descubrimiento pitagórico revelaría que el Cosmos se imponía sobre la disposición caótica del sonido mediante los cuatro primeros números de la Tetractys. Y ello mediante la feliz idea pitagórica de interrogar a la naturaleza, inaugurando algo nuevo en la Historia del Pensamiento: el método experimental. Por primera vez en los anales de la Historia se registra la idea de construir un aparato con el propósito de obligar a la naturaleza a responder a una cuestión concreta: ¿cuál es la relación precisa, si es que existe, entre la armonía musical y los números? No es extraño que Pitágoras quedara entusiasmado con un hallazgo sin precedentes: «el número gobierna el tono musical», pionero en las ideas de reducir la cualidad (sonido) a la cantidad (longitud y razón) y de expresar en fórmulas matemáticas las leyes de la naturaleza.

¿Quién podría imaginar que el espacio, el número y el sonido se combinaban en una correlación armoniosa? La Aritmética y la Geometría entraban en una comunión divina con la armonía musical que es patrimonio de la Estética y del Arte y en ultima instancia aparecía la matriz de la filosofía pitagórica: «el número es la esencia de todas las cosas». Si en el número está la clave del tono musical en él residirá también la clave de toda la naturaleza.

Las investigaciones de Pitágoras sobre la música constituyen las primeras leyes matemáticas completamente generales aplicadas a desvelar los misterios de la naturaleza, el primer intento en la tradición occidental de reducir las leyes de la física a relaciones matemáticas, el primer paso hacia la matematización de la de la experiencia humana

La certeza inherente al fundamento matemático de la armonía musical aparece representada de forma eminente por Rafael en La Escuela de Atenas, en la tablilla sostenida por un joven discípulo de Pitágoras. Se trata de un ingenioso diagrama que simboliza las cuatro cuerdas de la antigua lira que resume la estructura completa de la escala armónica pitagórica.

En la parte superior de las cuerdas aparecen con tipografía romana los números 6, 8, 9, 12, de las proporciones musicales. En la parte inferior dentro de la lira aparecen los nombres en griego de diatessaron (relación 3/4) en los arcos que une la primera cuerda (6) con la segunda (8) y la tercera (9) con la cuarta (12), diapente (relación 2/3) en los que unen la primera (6) con la tercera (9) y la segunda (8) con la cuarta (12) y diapasón (relación 1/2) en el que une la primera (6) con la cuarta (12). Hay un arco también entre el 8 y 9 y encima de él una palabra que en El Timeo de Platón designa la unidad aumentada en su octava parte, es decir, el intervalo de un tono. Así pues, aparecen las consonancias musicales con la denominación literal y numérica: diatessaron (6/8, 9/12); diapente (6/9 y 8/12); diapason u octava (6/12). Además, en la parte inferior del diagrama de Rafael aparece el número diez bajo la forma de la sagrada Tetractys como emblema pitagórico supremo que resume las razones musicales.

Es difícil imaginar una representación de la escala pitagórica más didáctica y convincente. De modo que Rafael no sólo conocía perfectamente las consonancias musicales sino que las debía considerar de trascendental importancia al situarlas en un lugar tan preeminente en una obra tan importante donde se confrontan los sistemas filosóficos de la antigüedad, caso único en la Historia de la Pintura. Parece que Rafael pretendiera simbolizar la presentación de las proporciones musicales a la aprobación de los filósofos, pensadores y científicos representados en el fresco.

Medias pitagóricas y proporciones musicales

Los pitagóricos establecieron a partir de la consideración de dos números a y b, toda una serie de medias y proporciones que se vinculan con el descubrimiento musical de Pitágoras, y que como veremos tendrán una incidencia decisiva en la conformación de ciertas proporciones en la Pintura y en la Arquitectura, las llamadas “consonancias musicales en el Arte.

Dados dos números a y b, se definen la media aritmética m, geométrica g y armónica h, en el esquema siguiente:

1 COMENTARIO

  1. Agradezco a Pedro Miguel González Urbaneja su artículo “La Geometría en el Arte”, del que he aprendido y disfrutado, por su claridad, profundidad y linealidad.
    Me ha recordado el lema “Ordo ab Chao”, el orden obtenido/salido del caos, de determinadas escuelas filosóficas e iniciáticas. Ver cómo ya en el siglo VI AC, hace más de 2.600 años, los pensadores encontraron un sistema, el del número, la proporción y la Harmonía, que daba respuesta a esa inquietud del Hombre de “entender” el cosmos me ha maravillado.
    Espero seguir leyendo aportaciones suyas semejantes a esta.

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