El Pentagrama místico pitagórico y su simbolismo
Buena parte de la Geometría pitagórica en relación con los poliedros y con la sección áurea, tuvo que ver con el pentágono regular. La figura de la estrella de cinco puntas que se forma al trazar las cinco diagonales de una cara pentagonal de un dodecaedro regular, llamada pentágono estrellado o pentagrama místico, parece haber sido una especie de símbolo de identificación, a modo de anagrama, de la Escuela Pitagórica (Jámblico, Vida de Pitágoras). Por eso los pitagóricos estudiaron exhaustivamente la construcción y propiedades del pentagrama. Como se ve en la figura, éste se construye a base de tres triángulos isósceles iguales (por eso al pentagrama pitagórico se le llama también «tripletriángulo») que tienen los ángulos iguales dobles del ángulo desigual. Este tipo de triángulo se construye en la Proposición 10 del Libro IV de Los Elementos de Euclides, cuyo contenido también es de raíz pitagórica. En la siguiente Proposición, la IV.11, se construye efectivamente el pentagrama a base de inscribir en un círculo un pentágono regular y trazar las diagonales, las cuales de forma sorprendente se cortan determinando segmentos que están en proporción áurea siendo el segmento mayor igual al lado del pentágono (Euclides XIII.8).
En efecto:
Por razones de simetría la diagonal EB es paralela al lado DC de modo que DCHE es un paralelogramo, por tanto EH=DC=AB. Además, los triángulos DABE y DHAB son semejantes, de modo que según Euclides VI.4: EB/BA = AB/BH; y al ser AB=EH resulta: = f.
Por otra parte el triángulo isósceles ABG cumple una propiedad muy especial: los lados iguales están en proporción áurea con el lado menor ya que f = EH/HB = AB/GB.
A un tal triángulo que es el que construye Euclides en la Proposición IV.10 de Los Elementos se le llama «triángulo áureo», tiene ángulos en la base de 72º y en el vértice de 36º, y al igual que el rectángulo áureo es «auto-reproductivo»:
Partiendo del triángulo ABC, la bisectriz del ángulo B corta a AC in D de forma áurea. El triángulo BCD siendo semejante al original ABC resulta ser un triángulo áureo. La bisectriz del ángulo C corta a BD en el punto E de forma áurea y el triángulo CDE resulta ser áureo. Este proceso, que es otra forma del crecimiento gnomónico, es indefinido, obteniéndose una sucesión de triángulos áureos que convergen hacia el polo de una espiral logarítmica que pasa por los sucesivos vértices de los triángulos. Además, es fácil advertir las siguientes relaciones:
Si tomamos HG como unidad de longitud se verifica:
HG = 1
FE = 1f + 1
ED = 2f + 1
DC = 3f + 2
CB = 5f + 3
BA = 8f + 5
. . . . . . . . . . .
donde aparece la relación con la sucesión de Fibonacci.
En el pentagrama cualquier segmento es sección áurea del inmediatamente mayor.
El pentágono regular y el pentagrama pitagórico (símbolo de reconocimiento de la cofradía pitagórica) son auténticos manantiales de proporciones áureas y de nuevos pentagrama
El simbolismo del pentagrama místico no es privativo de la Escuela pitagórica como muestran las siguientes ilustraciones:
Como en otros muchos aspectos, Pitágoras debió recoger en sus viajes la tradición mesopotámica y a su vez la doctrina pitagórica se trasmitió a otros pueblos mediterráneos como judíos y romanos. La cuestión es que el pentagrama místico de Pitágoras fue un diagrama simbólico esencial del esoterismo geométrico de los pitagóricos, trasmitido desde la antigüedad hasta el siglo XVIII, y bajo la forma ideológica que adquirió en el Timeo de 
Platón, recogida por Vitrubio, forma parte de dos tradiciones culturales importantes: los trazados de los arquitectos y las estrellas pentagonales del simbolismo mágico europeo, corrientes subterráneas que emergen a la luz a través de la obra de Luca Pacioli La Divina Proporción, que con finalidad teológica racionaliza los arcanos del misticismo geométrico pitagórico, exhumando una ciencia geométrica en cuyas fuente beberán Alberti, Durero y otros muchos artistas del Renacimiento.
Las cofradías de constructores, albañiles y artesanos medievales trasmitieron de generación en generación un ritual iniciático en el que la Geometría pitagórica desempeñaba un papel preponderante, interviniendo en la construcción de las grandes catedrales góticas en las que encontramos toda una enciclopedia gráfica en los trazados de rosetones donde el místico símbolo pitagórico irradia luminosa magnificencia en la piedra y a través de los vitrales.
Ejemplos bellísimos del pentagrama encontramos en Notre-Dame de París, en Saint-Ouen de Rouen, en el magnífico rosetón norte de la Catedral de Amiens, en Santa Catalina de Estrasburgo, en la abadía de Westminster, en la iglesia de Santa María de Lemgo, etc. En España uno de los más elegantes, aunque muy modesto es el de la Iglesia de San Juan de Castrogeriz (Burgos) en el Camino de Santiago.
El aspecto geométrico de la metafísica de los números introducido por el pitagorismo en la Filosofía de la Estética aparece en multitud de signos lapidarios y se incorporó a la Magia europea, en lo que se ha llamado la Magia Gótica, que en sus técnicas y supersticiones adoptó muchas fórmulas pitagóricas obtenidas a través de la Gnosis, el Hermetismo y la Cábala. El carácter geométrico del esoterismo de esta magia la distingue de sus compañeras de Asia, África y América. El pentagrama es la figura, por excelencia, que se utiliza en los conjuros y que confiere, al que sabe servirse de ella, el conocimiento supremo, aunque mal empleado a propósito, sobre todo como pentagrama negro o maléfico, invertido, con dos puntas para arriba (como la cabeza de un macho cabrío) puede desencadenar la furia de los demonios.
El célebre mago Cornelio Agrippa (a quien Descartes estudió con interés) publicó un importante tratado de magia De Occulta Philosophia, que contiene un libro sobre la Cábala de evidente influencia pitagórica. En su obra (donde aparece la famosa ilustración, que presenta a un hombre inscrito en el pentagrama como símbolo del Microcosmos), Agrippa escribe:
► «Las Ciencias matemáticas son parientes de la magia,… porque todo cuanto pueda existir en las fuerzas naturales esclavas no consiste más que en número y armonía».
Siguiendo a Pitágoras Agrippa vincula el pentagrama con las virtudes del número cinco, aclamándolo como «símbolo de la felicidad y de la gracia, sello del Espíritu Santo y vínculo que todo lo enlaza».
Paracelso, gran experto en talismanes y símbolos mágicos, reduce a dos todos los signos a que obedecen los espíritus: el Hexagrama o Sello de Salomón, representación del Macrocosmos y el Pentagrama representación del Microcosmos humano, que es «el signo más poderoso de todos». Paracelso aplica el Pentagrama en una Teoría armónica de la Fisiología, considerando que todo estado patológico se debe a una ruptura de la armonía interior.
La leyenda del nigromante Fausto en relación con Mefistófeles (uno de los siete príncipes de las tinieblas infernales) abunda en alusiones al pentagrama. La imaginación popular alemana del siglo XVI atribuye al propio Fausto el tratado de conjuros mágicos Höllenzwang, Geisterzwang, Cabala nigra et Alba, que contiene un repertorio de diagramas de estrellas de cinco puntas, que destila una Geometría tan sabia como los símbolos lapidarios o los rosetones góticos. Goethe inmortalizará la leyenda en su excelsa obra Fausto, donde en la escena tercera de la primera parte aparece, en el diálogo entre Fausto y Mefistófeles, una alusión mágica al símbolo pitagórico:
★ Mefistófeles: ► «Hay un pequeño obstáculo que me impide salir de aquí, y es esa estrellita de cinco picos que se atraviesa en el umbral… »
☆ «Fausto: ► ¿Te preocupa el pentagrama? … »
