Las Proporciones inconmensurables (2)
La obra de Luca Pacioli “La Divina Proporción”
La Divina Proporción de Luca Pacioli (Venecia, 1509) fue una de las obras más significativas del ambiente científico y artístico de la Italia de finales del siglo XV, y se convirtió en uno de los puntos de partida de los numerosos estudios dedicados a las proporciones en el cuerpo humano y en el Arte que se escribieron a lo largo del Renacimiento. La obra responde a la visión filosófica, teológica y estética del neopitagorismo y el neoplatonismo coetáneos que interpretaban la imagen del universo como un macrocosmos concebido armónicamente, en el que el hombre y su visión a través del Arte sería un microcosmos, reflejo del supremo orden cósmico universal. En este tratado la razón áurea es concebida como principio universal de la belleza y modelo de evolución de las formas que conservan la imagen de perfección de la unidad divina original, manifestación de la afinidad del mundo creado con la perfección de su fuente divina y de su potencial evolución futura.
La obra abunda en referencias esotéricas y místicas y es fruto de los encuentros científicos y artísticos de Pacioli, y en particular de las ricas conversaciones mantenidas con Leonardo da Vinci, y pretende ser una gran enciclopedia del saber matemático y sobre todo geométrico de su época, y por ello es única en su especie, como recopilación y divulgación de la cultura científica del momento. La obra no está destinada al gran público, ya que trata de la «secretísima scienza» necesaria para artistas, dirigida a los «ingenios perspicaces y curiosos» que mostraban interés por la filosofía, las diversas artes y las matemáticas.
Las fuentes fundamentales de La Divina Proporción de Luca Pacioli son el Timeo de Platón, Los Elementos de Euclides, La Arquitectura de Vitrubio, la Filosofía escolática y las especulaciones del neoplatonismo florentino.
En los primeros capítulos de su obra, La Divina Proporción, Luca Pacioli se refiere a las propiedades y «singulares efectos» de la sección áurea, para pasar después a estudiar de forma muy profunda, con argumentos teológicos y filosóficos, las propiedades geométricas y místicas de los poliedros regulares (llamados sólidos platónicos) bajo una orientación totalmente inspirada en la cosmogonía platónica del Timeo de Platón.
Previamente, la obra de Pacioli asume la primacía de las matemáticas por encima de cualquier otra materia y escribe un auténtico panegírico sobre la concepción y el supremo grado de certeza de las diversas ciencias matemáticas, alude a los beneficios que producen en el estudio de todo tipo de disciplinas desde la Filosofía y la Teología a las Leyes y la ciencia militar, al contener sus propios fundamentos, y pone como hitos históricos fundacionales de la Matemáticas los trabajos de Pitágoras, Platón, Euclides y Arquímedes.
En el Capítulo II de La Divina Proporción, Luca Pacioli escribe (Akal, Madrid, 1991, pág.33):
Proemio del presente tratado llamado La Divina Proporción
► «Las Matemáticas son el fundamento y la escala para llegar al conocimiento de cada una de las demás ciencias, por encontrarse en el primer grado de certeza, como afirma el filósofo cuando dice “Mathematicae enim scientiae sunt in primo grado certitudinis et naturales sequuntur eas”. Como se ha dicho, las ciencias y disciplinas matemáticas se encuentran en el primer grado de certeza y las siguen todas las ciencias naturales; y sin el conocimiento de aquellas se hace imposible. Igualmente está escrito en la sabiduría que “omnia consistunt in numero, pondere et mensura”, es decir, que todo aquello que se encuentra distribuido por el universo inferior y superior se reduce necesariamente a número, peso y medida».
Y en el Capítulo III de la obra de Luca Pacioli podemos leer (Akal, pág.38):
Lo que debe entenderse por los vocablos «matemático» y «disciplinas matemáticas»
► «El vocablo matemática es griego, derivado de la palabra que en nuestra lengua equivale a decir disciplinable; y, para nuestro propósito, por ciencias y disciplinas matemáticas se entienden la aritmética, la geometría, la astronomía, la música, la perspectiva, la arquitectura y la cosmografía, así como cualquier otra dependiente de éstas. Sin embargo, comúnmente los sabios consideran como tales a las cuatro primeras, es decir, la aritmética, la geometría, la astronomía y la música, llamando a las demás subalternas. Así lo quiere Platón y Aristóteles, Isidoro en sus Etimologías y Boecio en su Aritmética».
Así pues, Pacioli incluye como disciplinas matemáticas, además de las tres habituales (aritmética, geometría y astronomía), la música, la perspectiva, la arquitectura y la cosmografía. Pero además se permite disertar sobre las cualidades y prerrogativas de la música, la perspectiva y la pintura, de acuerdo con el espíritu del momento que introdujo la perspectiva y aplicó su maestría en infinidad de pinturas inmortales; y al plantear la preeminencia del sentido de la vista sobre cualquiera de los otros, establece un “parangón” entre la pintura y la música, en el que al decantarse a favor de la excelencia de la pintura reivindica su carácter musical y por extensión de todo el arte.
Es a partir del capítulo V cuando se afronta la cuestión cardinal a la que se refiere el título de la obra, es decir la Divina Proporción, que Pacioli ya había esbozado en su obra Summa. El autor va a desarrollar aquí con base en el libro VI de Los Elementos de Euclides «la división de un segmento en media y extrema razón», que Pacioli, con toda conciencia llamará “divina” por las numerosas correspondencias de semejanza que va a encontrar con las propiedades de la Divinidad, y que le permitirá consagrar (para él con toda razón) el título de «divina proporción» a los que los antiguos llamaban simplemente «la división». De hecho el nombre habitual en la actualidad de «razón áurea» o «sección dorada» es relativamente reciente, de poco más de un siglo, según parece.
Los diferentes «efectos» y propiedades de la Divina Proporción son descritos por Pacioli de forma detallada y muy argumentada entre el capítulo VIII y XXIII, donde llega a decir que son infinitos e inabarcables. Cada uno de los efectos se menciona con un laudatorio epíteto: singular, inefable, admirable, supremo, inestimable, dignísimo, excelentísimo,…. No obstante, Pacioli se limita a señalar las primeras proposiciones del libro XIII de Los Elementos de Euclides, a base de sustituir las complejas demostraciones geométricas del sabio alejandrino por sencillos argumentos aritméticos. Veamos varios de ellos:
CAPITULO XVI: De su séptimo inestimable efecto:
► «Si el lado del hexágono equilátero se añade al lado del decágono equilátero entendiéndose ambos como inscritos en un mismo círculo, su suma será siempre una cantidad dividida según nuestra mencionada proporción y la parte mayor de esta será el lado del hexágono».
[Elementos de Euclides, Proposición XIII.9]
CAPITULO XVIII: De su noveno efecto, el más excelso de todos
►«Si en el círculo se forma el pentágono equilátero y en sus dos ángulos más próximos se trazan dos líneas rectas desde los extremos de sus lados, éstas, necesariamente, se dividirán entre sí según nuestra proporción y cada una de sus partes mayores será siempre el lado de dicho pentágono».
[Elementos de Euclides, Proposición XIII.8]:
► «Proposición XIII.8. Si en un pentágono equilátero y equiángulo, unas rectas opuestas subtienden dos ángulos consecutivos, se cortan entre sí en media y extrema razón y sus segmentos mayores son iguales al lado del pentágono». [Las diagonales de un pentágono regular se cortan en media y extrema razón, siendo el segmento mayor igual al lado del pentágono].
LA DIVINA PROPORCIÓN Y LOS ATRIBUTOS
DE LA DIVINIDAD SEGÚN LUCA PACIOLI
El propio nombre que acuña Luca Pacioli –Divina Proporción– sintetiza las correspondencias que guarda la razón áurea con los atributos de la Divinidad, relacionados en el Capítulo V de la obra (Akal, Madrid, 1991, págs. 41–42):
CAPITULO V. Del título que conviene al presente tratado o compendio
«Paréceme, que el título conveniente a nuestro tratado ha de ser el de La Divina Proporción, y ello por numerosas correspondencias de semejanza que encuentro en nuestra proporción, de la que tratamos en este utilísimo discurso, que corresponden a Dios mismo. Para nuestro propósito será suficiente considerar cinco de ellas, entre otras:
DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INCONMENSURABILIDAD DE LA “SECCIÓN ÁUREA”
Las diagonales de un pentágono regular, determinan un segundo pentágono regular más pequeño, y a su vez las diagonales de este segundo pentágono forman un tercer pentágono regular más pequeño aún. Este proceso puede repetirse indefinidamente, con el resultado de que se obtienen pentágonos que pueden llegar a ser «tan pequeños como se quiera».
Supongamos que existe un segmento PQ que divide a la diagonal EB y al lado AB del primer pentágono, es decir: PQ êEB, PQ êAB.
De la geometría de los pentágonos resulta:
g FBCD es un rombo, luego se verifica: FB = DC = AB.
g EFHJ es un rombo, luego se verifica: EF = FH.
De las relaciones anteriores se obtiene:
g FH = EF = EB – FB = EB – AB,
g FG = EB – 2EF = EB – 2(EB – AB) = 2AB – EB.
y Luego PQ êFH, PQ êFG.
De modo que si un segmento fijo PQ divide a la diagonal y al lado del primer pentágono, también divide a la diagonal y al lado del segundo pentágono. Este proceso se puede reiterar indefinidamente, obteniéndose pentágonos que pueden llegar a ser «tan pequeños como se quiera», en los que el segmento fijo PQ divide simultáneamente a la diagonal y al lado, lo cual es manifiestamente imposible. Así pues, no puede haber una unidad de longitud que mida la diagonal y el lado de un pentágono regular, es decir, estos dos segmentos son inconmensurables.
Además, resulta:
«Las diagonales de un pentágono se cortan en proporción áurea siendo el segmento mayor igual al lado de pentágono» (Euclides, XIII.8).
DABE » DGAB Þ EB/AB=AB/BG [Euclides VI.4].
AB=EG Þ EB/EG=EG/GB.
Según algunos historiadores de la matemática esta debió ser la primera aproximación histórica al fenómeno de la inconmensurabilidad.
La parte más conocida de la obra de Luca Pacioli son los capítulos del XXIV al LIV, dedicados al estudio, análisis y construcción de los cinco poliedros regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro, que Platón, con base en doctrina pitagórica, había tratado en el Timeo (53b−58c), y vinculados, respectivamente, con el fuego, la tierra, el aire, el agua y el todo, ya que según Platón (53b) «El gran Demiurgo crea el mejor de los mundos posibles por acción de las ideas y los números».
Pacioli construye uno por uno cada uno de estos poliedros, llamados platónicos, para cuya fabricación se necesitan triángulos rectos y señala que sin la “divina proporción” no sería posible la formación de dichos cuerpos y muestra en el capítulo XXV, mediante una larga argumentación de tipo matemático y filosófico, por qué razón solo puede haber cinco poliedros regulares, es decir, la última Proposición (XIII.18) de los Elementos de Euclides.
A partir de los poliedros platónicos (sólidos o vacíos) y mediante la “Divina proporción” se construyen otros cuerpos dependientes de ellos, por una parte los “abcisos” (por extracción de ciertos cuerpos geométricos), y por otra los “elevados” por adición”. Los bellísimos dibujos de las láminas que ilustran el texto de la Divina Proporción de Luca Pacioli, fueron realizados por Leonardo da Vinci y forman parte de la antología de la más admirable Historia del Arte.
En el capítulo LXX, penúltimo de La Divina Proporción, Luca Pacioli explica cómo en el tratado se deben encontrar las figuras de los poliedros «representadas en el plano con total perfección de perspectiva, como hace nuestro Leonardo da Vinci», de acuerdo con una numeración que sitúa en el margen del texto y en el margen del dibujo en perspectiva del poliedro, donde además aparece su nombre en latín, en un recuadro superior, y en griego, en la parte inferior.
La influencia pitagórico-platónica le infunde a Luca Pacioli la veneración hacia el dodecaedro, al que llama nobilísimo cuerpo regular. Con argumentos teológicos y filosóficos de naturaleza platónica con origen en el Timeo y geométricos con fuente en Los Elementos de Euclides, Pacioli asevera que la divina proporción confiere el ser formal al cielo mismo, atribuyéndole la figura del cuerpo de doce pentágonos, llamado Dodecaedro, que «por estar dotado de una singular prerrogativa con respecto a los demás [poliedros], a ninguno ha prohibido o vedado alojamiento, siendo receptáculo de todos. Por ello el antiguo Platón lo atribuyó al universo (Luca Pacioli, La Divina Proporción, Cap. XLVI, Akal, Madrid, 1991, pág. 89).
En el capítulo LXX, penúltimo de La Divina Proporción, Luca Pacioli explica cómo en el tratado se deben encontrar las figuras de los poliedros «representadas en el plano con total perfección de perspectiva, como hace nuestro Leonardo da Vinci», de acuerdo con una numeración que sitúa en el margen del texto y en el margen del dibujo en perspectiva del poliedro, donde además aparece su nombre en latín, en un recuadro superior, y en griego, en la parte inferior.
La influencia pitagórico-platónica le infunde a Luca Pacioli la veneración hacia el dodecaedro, al que llama nobilísimo cuerpo regular. Con argumentos teológicos y filosóficos de naturaleza platónica con origen en el Timeo y geométricos con fuente en Los Elementos de Euclides, Pacioli asevera que la divina proporción confiere el ser formal al cielo mismo, atribuyéndole la figura del cuerpo de doce pentágonos, llamado Dodecaedro, que «por estar dotado de una singular prerrogativa con respecto a los demás [poliedros], a ninguno ha prohibido o vedado alojamiento, siendo receptáculo de todos. Por ello el antiguo Platón lo atribuyó al universo (Luca Pacioli, La Divina Proporción, Cap. XLVI, Akal, Madrid, 1991, pág. 89).
