LA DIMENSIÓN FILOSÓFICA DE LA MATEMÁTICA

Del panmatematismo pitagórico al matematicismo cartesiano (y 5)

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Pitagorismo, Platonismo y Cartesianismo, tres sistemas filosóficos de orientación matemática

Los íntimos vínculos y recíprocas implicaciones entre la Matemática y sus respectivos sistemas filosóficos, Pitagorismo, Platonismo y Cartesianismo, acercan a los tres grandes filósofos matemáticos: Pitágoras, Platón y Descartes, al tener lugar en los tres sabios, una acusada intervención de las ciencias matemáticas en su Pensamiento, pero hay también algunos otros aspectos de sus doctrinas filosóficas y matemáticas que guardan una cierta afinidad entre ellas.

► «Pitágoras fue el primero en usar el nombre de Filosofía y se llamó a sí mismo filósofo o amante de la sabiduría. […]. “Ninguno de los hombres, dijo Pitágoras, es sabio: sólo lo es Dios” ».

― Diógenes Laercio. Vida de los filósofos más ilustres. Libro I. Proemio. VIII, págs.11–12.

► «Platón era lo suficientemente pitagórico para creer que sin Matemáticas no era posible una verdadera sabiduría […]. Platón atribuyó una inmensa importancia a la Aritmética y la Geometría, con inmensa influencia sobre su Filosofía».

Bertrand Russell. Historia de la filosofía occidental. Espasa-Calpe. Madrid. 1995. Vol.1. págs.144, 167.

► «Cultivé [en mi juventud] preferentemente la Aritmética y la Geometría, porque se las tenía [desde las épocas de Pitágoras y Platón]  por las ciencias más simples y como un camino para las demás ciencias y la Filosofía».

Descartes. Reglas para la dirección del espíritu. (AT.X. 374).

Ya que el idealismo platónico es heredero (en parte) del panmatematismo pitagórico, aspectos importantes de aquél derivan de éste, empezando por la conjunción armónica de la especulación filosófica y matemática en comunidades de intereses intelectuales, –la Academia de Atenas y la cofradía pitagórica–.

Por otra parte, tal vez el rasgo más sobresaliente de parentesco entre Platón y Descartes sea el acusado carácter pedagógico que ambos atribuyen a las ciencias matemáticas como fundamento de todo el saber humano, y por consiguiente, su ineludible propedéutica en el estudio de la Filosofía, y en particular el sublime valor paidológico de la Aritmética y la Geometría en la formación del espíritu humano en todos sus aspectos. Descartes llega a aludir de forma implícita a la frase platónica de ingreso en la Academia (RIV.AT.X.376) queriendo avalar la exigencia inexcusable del conocimiento de la Geometría para acercarse a la Filosofía:

► « [Al pensar] por qué sucedía que antiguamente los primeros creadores de la Filosofía no quisieran admitir para el estudio de la sabiduría a nadie que no supiese Mathesis, […] tuve la sospecha de que ellos conocían cierta Mathesis muy diferente de la Matemática vulgar de nuestro tiempo».

Otra analogía notable entre el Platonismo y el Cartesianismo es la relación entre la reminiscencia platónica del Menón (82b-85b) –de origen en la doctrina pitagórica de la transmigración de las almas y defendida por Sócrates con argumentos geométricos– y el innatismo cartesiano (RIV.AT.X. 373, 377) que intuye que la naturaleza imprime en la mente humana cierta simiente de verdades eternas, como las verdades matemáticas.

También habría que señalar como similitud entre Platón y Descartes el idealismo en la concepción de las verdades matemáticas, mucho más acusado, por supuesto en Platón. Por influencia pitagórica, para Platón la Matemática es independiente de toda experiencia y de la utilidad inmediata y, para no degradarse, debe ser libre de todo instrumento material, salvo la regla y el compás, que se llaman precisamente “instrumentos platónicos”. Descartes no es tan radical. Para él las verdades matemáticas no deben su verdad a la experiencia y no pueden ser refutadas por ésta, es decir, son «verdades de razón» con una validez universal y absoluta, pero no desprecia, como Platón, el valor técnico de la Matemática, como herramienta útil para las artes y los oficios mecánicos (DM.AT,VI, 16), aunque este aspecto de las Matemáticas lo pone en un plano secundario (DM.AT,VI, 7). Tampoco proscribe, como Platón, los instrumentos mecánicos para el estudio de la Geometría. Al contrario, Descartes introducirá al inicio del Libro II de su obra matemática clave “La Geometría” los llamados compases cartesianos, ingenios que tienen la misma precisión que los instrumentos platónicos y que utilizará para la construcción de diversas curvas geométricas de gran importancia en la resolución de ecuaciones correspondientes a problemas geométricos.

Hay otro aspecto a tener en cuenta, que vincula a nuestros tres filósofos. Es en torno a las relaciones entre Religión y Matemáticas. La comunidad pitagórica era una hermandad de carácter científico y religioso con matices órficos donde la reflexión filosófica y la especulación matemática participaba del carácter de iniciación religiosa, y no solo de una simple instrucción o investigación, y por tanto en esta sociedad Religión y Ciencia eran aspectos íntimamente vinculados de forma mística en un tipo de vida llamado pitagórico, dedicado a la actividad científica como consecuencia de la doctrina profesada. Como en otros muchos asuntos, la tendencia religiosa platónica, así como los aspectos órficos proclives a mezclar lo intelectual con el misticismo proceden del Pitagorismo, que gracias a las Matemáticas desarrolla una Religión racionalista frente a la primitiva Religión apocalíptica. Tanto para Pitágoras como para Platón y en cierto modo para Descartes, la Matemática es la fuente fundamental de la fe en la verdad eterna y exacta que habita en el mundo suprasensible e inteligible de las ideas donde yacen los objetos ideales que son más reales que los percibidos con los sentidos.

Las doctrinas místicas acerca de la idea de tiempo y de eternidad también recibieron su apoyo de la Matemática, porque los objetos ideales, aritméticos –números– y geométricos –formas–, son eternos o intemporales –no situados en el tiempo– y pueden ser concebidos, por tanto, como pensamientos de Dios. ¿Derivará de aquí la frase atribuida por Plutarco a Platón acerca de que «Dios es un geómetra»? El Timeo de Platón así lo considera al atribuir a Dios la función demiúrgica de diseño y construcción geométrica del universo bajo las leyes universales de las Matemáticas que adquieren así un carácter de necesidad divina. El auxilio mutuo de Matemática y Teología se inicia con Pitágoras y se consolida con Platón, caracteriza la Filosofía religiosa medieval y se prolonga en los tiempos modernos hasta Kant, pero es sobre todo en Descartes donde más se advierte una fusión íntima de Religión y razonamiento, de aspiración moral y admiración lógica por lo eterno que procede de su concepción de la Matemática como núcleo racional de su pensamiento que promueve una Teología intelectualizada, por eso en la duda metódica primigenia cartesiana, a partir del «cogito, ergo sum», no cabe dudar de la Matemática ni de Dios.

 

Hay un ámbito estrictamente geométrico, aunque con gran incidencia filosófica, el de las magnitudes inconmensurables, en el que los tres filósofos: Pitágoras, Platón y Descartes, intervienen de forma decisiva.

El descubrimiento de los inconmensurables en la Escuela pitagórica, que seguramente tiene lugar a través del famoso Teorema llamado de Pitágoras o de la Sección Áurea, –dos tesoros pitagóricos, en palabras de Kepler–, quiebra la cosmovisión pitagórica primigenia, basada en el supremo orden matemático que los números enteros conferían al universo, elimina de la Geometría la posibilidad de medir siempre con exactitud y da origen a la primera crisis de fundamentos en la Historia de la Matemática, que se resolverá de forma muy brillante en la Academia platónica mediante la Teoría de la Proporción, que a partir de entonces, dará una orientación geométrica a toda la Matemática griega. Por eso es muy cierto lo que escribe W.Guthrie en su Historia de la Filosofía griega (1990, Vol. 5, pág.298):

► «La principal contribución de Platón a la ciencia nace de su profunda comprensión del problema de los irracionales y su consiguiente sustitución de las concepciones aritméticas del Pitagorismo por una concepción geométrica».

Como consecuencia de la solución platónica a la profunda crisis de los irracionales la Matemática griega elemental queda estructurada rígidamente en la enciclopédica obra de “Los Elementos” de Euclides. En ella los números son sustituidos por segmentos de recta y las operaciones entre ellos se llevan a cabo mediante construcciones geométricas. Se produce, por tanto, una gran limitación operacional ya que, ante la eventualidad de la inconmensurabilidad, los segmentos rectilíneos no tenían longitud y como consecuencia las «operaciones» se desarrollaban en un ámbito estrictamente geométrico. El considerable desarrollo algorítmico del Álgebra simbólica, permite a Descartes romper con la tradición geométrica griega a base de interpretar de forma geométrico-algebraica las operaciones aritméticas. Descartes soslaya la limitación pitagórica que la inconmensurabilidad había impuesto mediante la introducción del concepto de segmento unidad (G.AT,VI, 369), tomado a discreción, y la asignación de longitudes a los segmentos, con independencia de su carácter conmensurable. De esta forma las operaciones aritméticas elementales entre segmentos producen siempre un nuevo segmento, es decir, se construyen geométricamente las operaciones de la Aritmética. En palabras de Descartes en el Libro I de La Geometría (G.AT,VI, 370):

► «Y yo no temeré introducir estos términos de Aritmética en la Geometría, a fin de hacerme más inteligible».

También en el terreno matemático reiteramos que Descartes alumbra la Geometría Analítica con la intervención del Álgebra sobre el Análisis Geométrico griego –cuya metodología se atribuye al propio Platón–. Como se ha dicho, la Geometría Analítica hereda tanto su propio nombre como sus procedimientos del Método Analítico, llamado a veces Método Platónico. Descartes parte del Análisis Geométrico griego para construir algo completamente nuevo y verdaderamente revolucionario –la Geometría Analítica– que se convertirá en una Matemática universal como lenguaje de las ciencias, una Matemática algebrizada que clausura la Matemática geometrizada de los griegos. Es la primera vez en la historia que se tiene el convencimiento de haber superado a los antiguos griegos en algún aspecto.

A este respecto, puede ser muy oportuno recordar ciertas reflexiones del eximio filósofo y matemático Oswald Spengler (1880-1936) en el Capítulo I.1 (titulado “El Sentido de los Números” ) de su relevante obra “La decadencia de Occidente, donde desarrolla su teoría de la Historia como una sucesión de ciclos culturales. Para Spengler, no hay una Matemática que se desarrolle linealmente y cuyo contenido vaya acumulándose a través de los siglos, sino que hay tantas Matemáticas como culturas, como ciclos históricos y cabría distinguir entre otras, la Matemática antigua, de la cultura griega, que aparece con Pitágoras y se desarrolla con Platón y Euclides y la Matemática moderna de la cultura occidental y cristiana, que nace con Descartes. Son dos matemáticas esencialmente distintas que serían fruto y consecuencia de los componentes culturales de cada época y al mismo tiempo un factor decisivo en la configuración global de las mismas. Spengler escribe (pág.144):

► «No hay una Matemática, hay muchas Matemáticas.[…] El espíritu antiguo creo su Matemática casi de la nada. El espíritu occidental, histórico, había aprendido la Matemática antigua, y la poseía, –aunque sólo exteriormente y sin incorporarla a su intimidad–; hubo, pues, de crear la suya modificando y mejorando, al parecer, pero en realidad aniquilando la matemática euclidiana, que no le era adecuada. Pitágoras llevó acabo lo primero; Descartes lo segundo. Pero los dos actos son, en lo profundo, idénticos».

Spengler continúa más adelante con una nueva comparación entre Pitágoras y Descartes como artífices respectivos de la Matemática antigua y la Matemática moderna, a través de la acuñación de «un número completamente nuevo» y la consolidación siglos más tarde de sus respectivas Matemáticas en culturas de carácter y dimensión universal (pág.192):

► «Ambas Matemáticas [la pitagórica y la cartesiana] han llegado con vuelo magnífico a su madurez un siglo más tarde; y ambas, tras un florecimiento de tres siglos, rematan el edifico de sus ideas, en la misma época en que la cultura a que pertenecen se convierte en civilización de urbe mundial».

Finalmente digamos que hay una cierta base metafísica común de naturaleza matemática en el Pitagorismo y el Cartesianismo. A partir del panmatematismo pitagórico un fenómeno tiene que ver con la ciencia en la medida que puede ser expresado por números, que permiten formular la cualidad en términos de la cantidad. Así tiene lugar, por ejemplo, en el sorprendente descubrimiento pitagórico del fundamento aritmético de la armonía musical. Tras el descubrimiento cartesiano que llamamos Geometría Analítica, los fenómenos científicos pueden ser representados por curvas cuya forma, que es una cualidad también se reduce a la cantidad, ya que las curvas se estudian mediante su ecuación, expresión que en última instancia depende de números. Gracias a las coordenadas de Descartes, una curva, que es una imagen sensible que se percibe por los sentidos, adquiere un nuevo modo de existencia, una entidad abstracta caracterizada por números, de modo que se impone el matematicismo cartesiano.

En otro orden de asuntos, digamos que pocos sabios han dejado su nombre a una doctrina filosófica. Con Pitágoras, Platón y Descartes así ha sido, al denominar Pitagorismo, Platonismo y Cartesianismo a sus respectivos sistemas de pensamiento. Pero todavía menos filósofos han tenido la gloria de ver adjetivado su nombre en el lenguaje coloquial. Pitagórico se atribuye a algo o a alguien donde se advierte una marcada orientación filosófica o una singular capacidad matemática; Platónico ha pasado a ser equivalente a la pureza de lo ideal, espiritual o inmaterial, que se acentúan sobre todo cuando el adjetivo califica al amor; y Cartesiano ha pasado a ser sinónimo de racional y metódico, en el sentido de analítico y riguroso. Así se habla tanto de una sentencia pitagórica o un intelecto pitagórico, como de un sentimiento platónico, o una mente cartesiana.

Los tres filósofos, , elevan las ciencias matemáticas, cada uno en su época, a un sublime e imperecedero estadio de instrumento de cultura, es más, hacen de la Matemática el principal y más valioso elemento vertebrador de la cultura.

 

1 COMENTARIO

  1. Fantástico trabaja; sintetizado para la lectura y profundo para el estudio y la reflexión .
    Gracias Pedro Miguel por compartir tu saber y conocimiento.
    Saludos

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