LA DIMENSIÓN FILOSÓFICA DE LA MATEMÁTICA

Del panmatematismo pitagórico al matematicismo cartesiano (3)

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Entre la época que va de Pitágoras y Platón al siglo XVII en que vivió Descartes, transcurren casi dos mil años de espectaculares avances técnicos en la ciencia matemática, que sintetizando mucho podemos concretar los más importantes en la plasmación euclídea de la Geometría griega elemental en Los Elementos; los impresionantes descubrimientos de Arquímedes que anticipan el Cálculo Integral; Las Cónicas de Apolonio; y sobre todo la aparición y el desarrollo del Álgebra simbólica como instrumento algorítmico, que se inicia con La Aritmética de Diofanto, continúa con los desarrollos de los matemáticos árabes y los cosistas italianos del Renacimiento y se forja de forma casi definitiva con el Arte Analítica de Vieta en una magnífica herramienta que contribuye de forma esencial y definitiva al descubrimiento cartesiano de la Geometría Analítica, la cual, a su vez, coadyuva de forma significativa a la eclosión final del Cálculo Infinitesimal de Newton y Leibniz. Con estos dos instrumentos, la Geometría Analítica y el Cálculo Infinitesimal, la Matemática se sitúa en el umbral de la modernidad, pero en todo este dilatado periodo histórico, la Matemática no tiene una función tan trascendental como elemento formativo incidente en el desarrollo de la Filosofía como lo tuvo de forma singular con Pitágoras y Platón y como lo tendrá de forma tan radical con Descartes.

 

La Matemática base racional del pensamiento cartesiano

► «Entre todos los que han buscado la verdad en las ciencias, sólo los matemáticos han podido hallar algunas demostraciones, esto es, algunas razones ciertas y evidentes».

—  Descartes. Discurso del Método (DM.AT.VI.19).

► «Los que buscan el camino recto de la verdad no deben ocuparse de ningún objeto sobre el que no puedan tener una certidumbre semejante a las demostraciones de la Aritmética y de la Geometría.».

— Descartes. Reglas para la dirección del espíritu (RII.AT.X 366).

► «Descartes combinaba en su mente los misterios de la naturaleza con las leyes de las Matemáticas, aspirando a desvelar los secretos de ambas».

—  Epitafio de Descartes por H. Pierre Chanot, 1650 (533a).

► «Descartes tenía todo lo preciso para cambiar la faz de la Filosofía: fuerte imaginación, espíritu consecuente, grandes conocimientos, coraje para combatir los prejuicios e independencia intelectual».

—  D’Alembert. Discours Préliminaire de l’Encyclopédie (Orbis, 1984, págs. 84, 85).

Descartes inaugura un proyecto científico y filosófico sin parangón en la Historia del Pensamiento, en el que la certidumbre de la Matemática ejerce un poder y adquiere una universalidad, que revoluciona todas las ciencias. Con sus fundamentales aportaciones en los campos de la Filosofía, la Geometría, la Óptica, la Mecánica y otros, Descartes da un aliento unitario y orgánico al pensamiento científico, construye una visión global del conocimiento, marca un nuevo rumbo en la Filosofía e inicia la cultura de los tiempos modernos.

La búsqueda cartesiana de la unidad del saber, incardinó la mente filosófica de Descartes hacia la Matemática, ciencia en la que encuentra el modelo paradigmático en el rastreo de las primeras verdades absolutamente ciertas que pudieran servirle de apoyo y fundamento en la reconstrucción de todo el edificio científico y filosófico, pues aspira a dar cuenta y razón de la totalidad del saber, con la pretensión de cimentar los principios de la Filosofía con la certidumbre de las Matemáticas, en palabras de Spinoza. Pero más que en los extensos conocimientos particulares de las Matemáticas aprendidos en su etapa escolar, Descartes se fija especialmente en el modo de proceder en la investigación matemática, en los rasgos característicos de la propia Matemática, en el espíritu y la naturaleza intelectual de la práctica del quehacer matemático, llegando a afirmar que las cosas que entran en la esfera del conocimiento se encadenan como las proposiciones geométricas (Discurso del Método AT,VI,19).

Profundas reflexiones sobre las condiciones intelectuales que habían concurrido en el pasado y gravitaban en el presente sobre toda esta actividad mental, relacionada con el trabajo matemático, que Descartes plasma en su obra de juventud, Reglas para la dirección del espíritu, le llevan a concebir el «Método para conducir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias» de El Discurso del Método, acta fundacional del llamado Cartesianismo, corriente filosófica que se dice basada en el método de la razón, lo que hay que entender como «método de la razón matemática», ya que las reglas de este Método de Pensamiento son extraídas de los procedimientos geométricos y están inspiradas, según Descartes, en los saberes matemáticos. En este sentido se quiere indicar que la Matemática es la base racional del pensamiento cartesiano, de modo que el llamado racionalismo cartesiano está poseído de un acusado matematicismo. Descartes adopta la Matemática como fundamento de lo que llama la Sabiduría Universal y nos habla de la “Mathesis Universales”, un saber más universal que la propia Matemática y aplicable a todas las ciencias, como extensión del modelo de conocimiento cierto y seguro de las Matemáticas a los estadios del saber cuyas verdades se obtienen al seguir los preceptos de “El Discurso del Método”:

► «LaMathesis Universaleses preferible a todo otro conocimiento que nos hayan trasmitido los hombres en cuanto que es la fuente de todos los otros».

— Descartes. “Reglas para la dirección del espíritu” (RIX. AT. 406).

 

“El Discurso del Método y La Geometría”. Implicaciones recíprocas

En “El Discurso del Método”, Descartes se esforzó en presentar sus ideas con la mayor claridad posible, con el deseo de que fueran entendidas por cualquiera que quisiera asomarse a sus escritos con un poco de sentido común. Precisamente la visión de Descartes sobre el sentido común –que viene a ser la noción cartesiana de razón o bonae mentis– abre El Discurso del Método (DM.AT,VI, 1–2):

► «El sentido común es la cosa mejor repartida del mundo, pues cada uno piensa estar tan bien provisto de ella que incluso aquellos que son los más difíciles de contentar en cualquier otra cosa no tienen en esto costumbre de desear más del que tienen. [] La facultad de juzgar bien y de distinguir lo verdadero de lo falso –que es propiamente lo que se nombra sentido común o razón–, es naturalmente igual en todos los hombres; y así, que la diversidad de nuestras opiniones no viene de que unos sean más razonables que otros, sino solamente de que conducimos nuestros pensamientos por diversas vías y no consideramos las mismas cosas

La lectura de las Reglas para la dirección del espíritu (“Regulae”) y El Discurso del Método” es un preliminar necesario, o al menos aconsejable, para entender la motivación y los presupuestos intelectuales de Descartes acerca de la Ciencia, de la universalización del razonamiento matemático como base del conocimiento racional y en particular de los orígenes y objetivos de “La Geometría”. Como señala Víctor Gómez Pin (Congreso de Ontología, 24/3–31/3 de 1996, San Sebastián – Barcelona):

► «”El Discurso del Métodoes tan sólo el prólogo añadido por Descartes a sus escritos científicos [los tres ensayos la Dióptrica, los Meteoros y la Geometría], a fin de mostrar lo estéril que sería abordar éstos sin el hilo conductor de la problemática común, es decir, sin referencia a la unidad de la razón que tales escritos despliegan».

Descartes se propone con “El Discurso del Método” y “La Geometría” una magna empresa de reforma de la Filosofía y de la Matemática, tomando esta ciencia como principio básico del fundamento de la sabiduría universal. Descartes adopta la demostración matemática frente al recurso a la autoridad y pondera la firmeza y certeza de la Matemática frente a la incertidumbre de la Filosofía. Pero no todo es panegírico respecto de las Matemáticas, ya que Descartes se queja tanto del uso restringido que se hacía de la Matemática como de la forma misma de enseñarla. En efecto, al aludir a su etapa de formación, Descartes escribe, en “El Discurso del Método”, respecto de las Matemáticas (DM. AT, VI,7):

► «Gustaba [en mi juventud], sobre todo, de las Matemáticas por la certeza y evidencia de sus razonamientos, pero no había entendido todavía su verdadero uso y, pensando que sólo servían para las artes mecánicas, me sorprendía de que, siendo tan firmes sus fundamentos, no se hubiera construido sobre ellas nada más relevante».

Más adelante, en la segunda parte de la obra, Descartes continúa diciendo (DM. AT, VI, 17–18):

► «Había estudiado entre las partes de la Filosofía, la Lógica, y de las Matemáticas, el Análisis de los geómetras y el Álgebra, tres Artes o Ciencias, que debían, al parecer, contribuir algo a mi propósito. […] Respecto al Análisis de los antiguos y el Álgebra de los modernos, aparte de que no se refieren sino a muy abstractas materias que no parecen ser de ningún uso, el primero está siempre tan constreñido a considerar las figuras, que no puede ejercitar el entendimiento sin fatigar mucho la imaginación, y en la última hay que sujetarse tanto a ciertas reglas y cifras, que se ha hecho un arte confuso y oscuro, bueno para enredar el espíritu, en lugar de una ciencia que lo cultive. Esto fue causa de que pensase que era necesario buscar algún otro método que, reuniendo las ventajas de estos tres, estuviese libre de sus defectos».

Descartes persigue ante todo en “El Discurso del Método” la búsqueda de un «ars inveneniendi», es decir, un método que sirviera para descubrir verdades y no para probar lo que ya se ha hallado, defender tesis o exponer teorías, y aplicable en todas las ciencias y en particular en la Geometría. Como ya había sentado R. Bacon en el “Novum Organum”, la Lógica aristotélica era inútil para la invención científica porque el silogismo no es aplicable a los principios de las ciencias, ya que sólo sirve para imponer el asentimiento y no para aprehender la realidad. Esta misma actitud asume Descartes con respecto a la lógica tradicional tanto en “El Discurso del Método” como en las “Regulae”:

► «La Lógica, sus silogismos y la mayor parte de sus otras reglas sirven más bien para explicar a otro lo que uno sabe más que para aprenderlo» (DM. AT,VI,17).

«El silogismo es completamente inútil para los que desean investigar la verdad de las cosas y sólo puede aprovechar , a veces, para exponer con mayor facilidad a los otros las razones ya conocidas» (RX. AT.X.406).

Descartes ya se había fijado, para su propósito, en la IV Regla de las “Regulae”, especialmente en la bondad del Análisis de los antiguos y del Álgebra de los modernos, cuando escribe:

► « […] Los antiguos geómetras se han servido de cierto Análisis, que extendían a la resolución de todos los problemas, si bien privaron de él a la posteridad. Y ahora florece cierta clase de Aritmética que llaman Álgebra, para realizar sobre los números lo que los antiguos hacían sobre las figuras» (RIV .AT.X.373).

► «Ha habido, finalmente, algunos hombres de gran talento que se han esforzado en este siglo por resucitarla [la “Mathesis”]; pues aquel arte no parece ser otra cosa, que lo que con nombre extranjero llaman Álgebra, con tal que pueda zafarse de las múltiples cifras e inexplicables figuras de que está recargado a fin de que no falte ya aquella claridad y facilidad suma que suponemos debe haber en la verdadera Mathesis» (RIV. AT.X.377).

Todas estas cuestiones e inquietudes que Descartes refleja en El Discurso del Método y en las Regulae, con un lenguaje bello y claro, son esenciales de tener en cuenta para entender como se había ido fraguando en su mente adolescente no sólo el origen de “La Geometría” sino la idea de la sabiduría universal.

A continuación, Descartes describe los famosos cuatro preceptos de “El Discurso del Método” (DM.AT,VI,18-19), que aplicará cuidadosamente en toda especulación filosófica y matemática:

► «Y como la multitud de leyes sirve a menudo de disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro siguientes, siempre que tomara la firme y constante resolución de no dejar de observarlos ni una sola vez».

 

El primer precepto es el criterio de evidencia, que determina los primeros conocimientos y verdades, las ideas «claras y distintas» de los “Principia philosophiae” de 1644, siendo el «cogito, ergo sum» la primera verdad indudable y el punto de arranque de toda su Filosofía. Los otros tres preceptos corresponden, a la primera y segunda parte de la Regla V y a la Regla VII de “Las Regulae”. De acuerdo con el segundo precepto –Regla del Análisis– hay que dividir las dificultades hasta descubrir los elementos más simples, que se aprehenden por intuición. Según el tercero –Regla de la Síntesis, debemos partir de tales objetos simples y ascender por deducción, poco a poco, hasta los más complejos. Ambos preceptos encierran el núcleo del método cartesiano. Por fin, hay que aplicar el cuarto precepto para hacer una revisión final, examinar cuidadosamente la cadena deductiva, ordenar y enumerar esos elementos simples de modo que estemos seguros de no omitir nada.

 

Sigue “El Discurso del Método” con importantes cuestiones acerca de la concepción cartesiana de la Matemática y lo que es más importante, la propia Matemática como fundamento de la sabiduría universal (DM.AT,VI,19-20):

► «Esas largas cadenas trabadas de razones muy simples y fáciles, que los geómetras acostumbran a emplear para llegar a sus más difíciles demostraciones, me habían dado ocasión para imaginar que todas las cosas que entran en la esfera del conocimiento humano se encadenan de la misma manera,[…] , y considerando que entre todos los que antes han buscado la verdad en las ciencias, sólo los matemáticos han podido hallar algunas demostraciones, esto es, algunas razones ciertas y evidentes, no dudé de que debía comenzar por las mismas que ellos han examinado, […], Más no por eso tuve la intención de aprender todas esas ciencias particulares que comúnmente se llaman Matemáticas; pues al advertir que, aunque tienen objetos diferentes, concuerdan todas en no considerar sino las relaciones o proporciones que se encuentran en tales objetos, pensé que más valía limitarse a examinar esas proporciones en general, […] , pensé que, para considerarlas mejor particularmente, debía suponerlas en línea [recta], pues nada hallaba más simple ni que más distintamente pudiera representarse a mi imaginación y a mis sentidos. Y que para retenerlas o comprenderlas era necesario explicarlas mediante algunas cifras lo más cortas que fuera posible; de esta manera tomaría lo mejor del Análisis geométrico y del Álgebra y corregiría los defectos del uno por medio de la otra».

He aquí, en palabras del propio Descartes, el origen y los fundamentos de “La Geometría”. Descartes toma la línea recta como representación de toda magnitud y, además, propone una reforma de la notación algebraica. De esta forma conservará del Análisis Geométrico el auxilio que recibe de la imaginación y del Álgebra –una vez reformada la notación– la mecanización operacional que permite su simbolismo. La proyección del Álgebra sobre el Análisis geométrico –Descartes dice «corrigiendo sus defectos»– producirá lo que llamamos su «Geometría Analítica».

La Geometría de Descartes no puede entenderse de forma aislada ya que forma parte indisoluble del proyecto metodológico general de alcanzar la unidad de la Ciencia que Descartes intenta fijar en las Regulae y en El Discurso del Método. Descartes se propone con El Discurso del Método y los tres ensayos que lo acompañan, demostrar que ha alcanzado un nuevo método de especulación sobre la verdad científica mejor que todo método anterior y que precisamente “La Geometría” demuestra este aserto. En este sentido escribe en una carta al Padre Mersenne de diciembre de 1637 (AT, I,478):

► «[…] Con La Dióptrica y los Meteoros he querido únicamente convencer de que mi método es mejor que el ordinario y creo que lo he demostrado con mi Geometría, al resolver en las primeras páginas una cuestión que, según Pappus, no había podido resolver ningún geómetra de la antigüedad […]».

Ya cerca de la fecha de publicación de “El Discurso del Método” y “La Geometría”, en marzo de 1637, Descartes escribe otra carta al Padre Mersenne para comunicarle el título y el contenido de la magna obra:

► «Proyecto de una Ciencia universal que pueda elevar nuestra naturaleza a su mas alto grado de perfección. Además, La Dióptrica, los Meteoros y la Geometría, donde las más curiosas materias que el autor haya podido elegir, para dar prueba de la Ciencia universal que él autor propone, son explicadas de tal manera, que aun aquellos que no han estudiado puedan entenderlas».

La impresión del volumen, tras la concesión del privilegio real, se termina el 8 de junio de 1637, en Leyden, en la imprenta de Jan Maire, tirándose 3000 ejemplares en dos ediciones. Con tal de conocer mejor las opiniones y las críticas, Descartes decidió que en la portada no figurara el nombre del autor. Aun cuando el título fue simplificado quedó en la forma:

DISCOURS DE LA METHODE pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences. Plus LA DIOPTRIQUE, LES MÉTÉORES ET LA GÉOMÉTRIE, qui sont essais de cette METHODE

DISCURSO DEL MÉTODO para conducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias. Además LA DIÓPTRICA, LOS METEOROS y LA GEOMETRÍA que son ensayos de este MÉTODO”.

La visión de Descartes sobre La Geometría

Descartes elaboró “La Geometría” como un ejemplo de su método y fue uno de los gérmenes del mismo y aunque la labor matemática de Descartes, en cierto modo, no fue más que un episodio en su tarea como filósofo, la Matemática era para él la base racional de su pensamiento y estaba convencido de que en el campo de las Matemáticas “La Geometría” contenía todo el elenco de conocimientos en esa área del saber. Así se lo había propuesto desde los primeros planteamientos de su magna empresa intelectual. En una carta a su amigo Beeckman del 26/3/1619, Descartes se expresa (AT. X,157):

► « […]. Y para no ocultaros nada de lo que es motivo de mi trabajo quisiera publicar no un Ars Brevis, como Lulio, sino una ciencia toda nueva, que permitiera resolver en general todos los problemas que pudieran presentarse. […] Porque ciertos problemas pueden ser resueltos con líneas rectas o círculos, pero otros requieren otras líneas que puedan originarse por el movimiento continuo, […] Finalmente otros problemas sólo pueden resolverse mediante líneas curvas engendradas por movimientos diferentes y no continuos. Espero poder demostrar qué problemas se resuelven de una manera y cuáles de otra, por lo cual no quedará casi nada por resolver en Geometría. ¡Que proyecto tan ambicioso! ¡Apenas concebible! Pero en el oscuro caos de esta ciencia, he podido vislumbrar yo no sé que luz, gracias a la cual las mas espesas tinieblas podrán disiparse».

A lo largo de la correspondencia con el Padre Mersenne Descartes asegura, una y otra vez, que “La Geometría” trata de dar un procedimiento general para resolver todos los problemas que no lo habían sido jamás, por ejemplo el Problema de Apolonio y el famoso Problema de Pappus que en su formulación general se había resistido a lo largo de toda la historia y que llegó a ser la prueba de fuego de la eficiencia del método cartesiano en Geometría.

Con estos antecedentes en la gestación de su magnífica obra filosófica y matemática, es fácil comprender la importancia que Descartes concede a “La Geometría”, lo que se puede calibrar por algunos de sus escritos de lo que son buena muestra los párrafos siguientes entresacados de su correspondencia y de su obra:

En la carta al Padre Mersenne de diciembre de 1637 Descartes escribe (AT, I,478):

► «Además, lo que he escrito en el segundo libro sobre la naturaleza y las propiedades de las líneas curvas y sobre el método para estudiarlas, está tan lejos de la geometría ordinaria, como lo está la retórica de Cicerón del abc de los chiquillos…

Ante la sugerencia de que lo que he escrito puede haber sido sacado fácilmente de Vieta, la realidad es que mi tratado es precisamente difícil de comprender porque he intentado no introducir en él nada de lo ya conocido por Vieta o por cualquier otro […]».

En otra carta al Padre Mersenne de 31/3/1638:

► «No describo todos los casos posibles, sino que, como los arquitectos que sólo indican lo que se debe hacer, dejando el trabajo manual a los albañiles y carpinteros, […]

El Libro Primero de La Geometría trata de los «Problemas que pueden construirse sin emplear más que círculos y líneas rectas». En este libro Descartes fija –basándose siempre en El Discurso del Método– la metodología cartesiana que aplicará a la traducción algebraica de los problemas geométricos clásicos, de modo que el libro contiene el núcleo de toda la formulación cartesiana de “La Geometría”, siempre íntimamente ligada al método.

Empieza el libro con una auténtica declaración de principios en la que Descartes anuncia las coordenadas:

►«Todos los problemas de Geometría pueden reducirse fácilmente a términos tales, que no es necesario conocer de antemano más que la longitud de algunas líneas rectas para construirlos». (G.AT,VI, 369).                                                                                                                                                                                                                              Así pues, como las líneas rectas son lo que se nos presenta de la forma más clara y distinta en el campo de la Geometría, para resolver problemas geométricos, Descartes parte de ciertas líneas rectas –en realidad de algunos segmentos rectilíneos– que actúan como coordenadas

“La Geometría” termina con una frase antológica de las que hacen época (G.AT,VI, 485):

 ► « […] Y yo espero que nuestros descendientes me estarán agradecidos no sólo por las cosas que aquí he explicado, sino también por aquellas que he omitido voluntariamente a fin de dejarles el placer de descubrirlas.»

 

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