LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA: VANGUARDIA DE LA EDUCACIÓN

►«Existe un abismo entre el empirismo geométrico práctico de los agrimensores que parcelaban los campos del antiguo Egipto, y la geometría de los griegos del siglo VI a.C. Aquello fue lo que precedió a las Matemáticas; esto, las Matemáticas propiamente dichas; ese abismo lo salva el puente del razonamiento deductivo aplicado en forma consciente y deliberada a las inducciones prácticas de la vida diaria. Las Matemáticas no existen sin la estricta Demostración deductiva a partir de hipótesis admitidas y claramente establecidas como tales».

— ERIC TEMPLE BELL. Historia de las Matemáticas (Fondo de Cultura Económica, México-Buenos Aires, 1949).

Una de las características del lenguaje matemático es su univocidad y ausencia total de ambigüedad. Toda sintaxis matemática se aplica a objetos y entidades perfectamente definidos sin ningún tipo de duda sobre su esencia ontológica, porque previamente se han sometido a una férrea definición que precisa, determina, concreta, especifica, delimita, e individualiza las características del objeto en cuestión.

Además, los argumentos matemáticos se establecen con la Demostración, que los convierte en incontrovertibles, en verdades eternas y universales. Con la emergencia de la Demostración como exigencia intelectual, aparece la Matemática racional en el horizonte del siglo VI a.C., siendo este fenómeno cultural un hito esencial en el “tránsito del Mito al Logos” que tiene lugar en la cultura griega; por eso, la Demostración se considera la aportación fundamental del Pitagorismo a la matemática, lo que se ha valorado siempre muy por encima de sus magníficas contribuciones particulares en ámbitos concretos de esta ciencia que todavía hoy nutren el currículum de los libros de Matemáticas elementales.

 La Demostración va mucho más allá de la mera persuasión de la Retórica en la que los griegos eran grandes maestros, pues, es posible con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero como hacen habitualmente los políticos, que según la coyuntura de gobierno o de oposición se atreven a defender un argumento y su contrario, de ahí los reproches de Sócrates (470–399 a. C.) hacia los sofistas. La Demostración matemática convence por la ilación argumental irrefutable que alcanza algo legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la Lógica. Por eso a partir de Pitágoras de Samos (569–475) la Matemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva.

La Demostración como instrumento de prueba es un elemento esencial en el desarrollo del pensamiento matemático y caracteriza a la Matemática respecto de las demás ciencias. La génesis de la idea de Demostración en el mundo helénico fue un proceso gradual y promiscuo, alimentado por múltiples fuentes de naturaleza filosófica, matemática, dialéctica, social y política. La aparición en el horizonte pitagórico de la inconmensurabilidad como fenómeno no empírico implica la existencia de Demostración, para conjurar la consiguiente crisis de fundamentos. Por extrapolación a toda la Matemática, la Demostración deductiva con base en los principios, se consideró necesaria y consustancial con la propia naturaleza de la Matemática, al establecerse un paradigma de actuación en esta ciencia que nunca ha sido relevado hasta ahora.

Parménides de Elea (540–470) inicia la “Demostración por reducción al absurdo”, que Hipócrates de Quíos (470–410) aplica en la Matemática, donde inaugura, además, la concatenación lógica de los teoremas en un “Corpus racional”.

Platón (428–347) y los matemáticos de la Academia platónica (Teodoro, Teeteto, Menecmo, Eudoxo,…) contribuyeron a la organización y estructuración deductiva de la Matemática, al discutir los fundamentos, clarificar algunas definiciones y reorganizar las hipótesis de partida; y en su metodología del razonamiento y la Demostración fijaron las bases del método analítico.

Aristóteles (384–322) aporta explícitamente en los “Segundos Analí­ticos” la definición de las bases formales del método de razonamiento axiomático‑deductivo (premisas, definiciones, hipótesis, axiomas, postulados, Demostración, etc.), de influencia decisiva sobre Euclides de Alejandría, que plasma en “Los Elementos”, la estructuración definitiva de la Matemática griega elemental tras la crisis de fundamentos producida por el descubrimiento pitagórico de los inconmensurables (tal vez la diagonal del cuadrado respecto del lado o del pentágono regular frente al lado).

125Arquímedes (287– 212 a.C.) conjuga a la perfección la heurística del descubrimiento (“ars inveniendi”) del “método mecánico” con el rigor apodíctico de la Demostración (“ars disserendi”) del “método de exhaución”, y se plantea trascendentales cuestiones epistemológicas sobre la relación entre procesos de “descubrimiento‑invención” y métodos de “exposición‑Demostración”.

Pappus de Alejandría (290–350) reconstruye el “Análisis Geométrico” griego como fecunda heurística de investigación, oculta tras la expresión sintética de las grandes obras clásicas de la Matemática griega.

★ La importancia de la Matemática en la Educación. Demostración y Educación

Definición y Demostración caracterizan y singularizan la actividad matemática frente al resto de todas las demás actividades humanas. En ellas se basa la importancia de la Matemática en la Educación, más allá de su carácter instrumental como lenguaje de las ciencias, las técnicas, la economía y las artes.

El lenguaje matemático que tiene como núcleo esencial la Definición y la Demostración es la fuente generadora de los instrumentos intelectuales básicos con los que tiene que funcionar cualquier persona a lo largo de su vida, es decir, las facultades humanas vinculadas a la precisión y la exactitud, la lógica y la intuición, la inducción y la deducción, la observación y la imaginación, la invención y el descubrimiento, el análisis y la síntesis, la generalidad y la particularidad, la abstracción y la concreción, la interpolación y la extrapolación, ….

Todo ello es la fuente del razonamiento deductivo del intelecto humano, donde la ilación irreprochable de los diversos argumentos que se remontan en última instancia a los principios admitidos, dan una coherencia general al sistema, al imponerse el rigor apodíctico de la Demostración por encima de la intuición, la opinión y el juego retórico de la persuasión y primar la sencillez, la exactitud matemáticas y la univocidad semántica sobre la sinonimia, para conjurar el riesgo de equivocidad.

En todo esto se fundamenta el prestigio general que tiene la ciencia matemática en todo tipo de público frente a la argumentación retórica falaz que desprestigia a la Política, por ejemplo. Por eso, es frecuente escuchar la expresión ¡Esto es matemático! como una enfática y apasionada afirmación de que se está ante una verdad absoluta e incuestionable.

Y esto es así, por lo menos desde los tiempos de Platón, para quien la Matemática es un instrumento esencial para la educación e instrucción de la juventud como propedéutica ineludible del acceso a cualquier otro saber (República, VII, 521-527). Su maestro de Geometría en la Magna Grecia, Arquitas de Tarento (430–360), como brillante político y audaz reformador, había establecido la Matemática como componente esencial del currículum escolar, al instituir las cuatro Ciencias (Artes Liberales) del ulterior Quadrivium pitagórico medieval –Aritmética, Geometría, Música y Astronomía–, sancionado por Platón en La República y de vigencia secular casi hasta nuestros días.

Casi dos siglos antes, y en el origen, Pitágoras, acuña, como se sabe, el término Filosofía –amor a la sabiduría– y también –lo que no se conoce tanto–, el término Mathema vinculado al significado de conocer o aprender, pero no a un ámbito específico del saber, sino al saber en sí mismo, es decir, Mathema es «lo que se puede aprender», lo formativo, «lo enseñable por antonomasia».

A partir de entonces, en el mundo griego, la Matemática es la encarnación del conocimiento, según Platón mediante reminiscencia –el aprendizaje es un recuerdo promovido por la Educación, que fructifica cuando el Maestro alumbra el conocimiento en el alumno mediante una serie de cuestiones y preguntas bien hilvanadas de forma heurística (Menón, 82b-85b)–.

Así pues, la Matemática sería una actividad intelectual no vinculada a un espacio cultural concreto y particular del saber, sino al conocimiento en sí mismo, y anterior, como base, a todo otro conocimiento, de ahí los estrechos vínculos primigenios de la Matemática con la Filosofía.

En toda época el lenguaje matemático es la clave de la explicación de los fenómenos naturales y se arroga una función de dar cuenta –aspira a «dar razón» en sentido filosófico– del orden natural, en un proceso que se inicia con Pitágoras, se afianza con Platón y Arquímedes, se consolida con Descartes y desemboca en la Física de Galileo, Newton y Einstein. Precisamente «cuenta» y «razón» son términos matemáticos.