La Base metafísica del pitagorismo.
Se abunda con frecuencia en describir el pitagorismo como una simple religión mistérica pero conviene señalar que para Pitágoras religión y ciencia no son aspectos disjuntos, sino más bien factores indisociables de un único estilo de vida. El misticismo numérico no ha sido privativo de los pitagóricos, pero estos basaron su filosofía y su modo de vida en el culto a los números, llevándolo hasta el paroxismo. La ausencia de testimonios fidedignos sobre la naturaleza de su doctrina científica, implica que toda reconstrucción de su pensamiento es pura conjetura, basada en la simple atribución a Pitágoras de cuanta doctrina pitagórica posterior no resulte anacrónica para el estadio cultural del siglo VI a.C.
La fuente primaria más cualificada respecto a la faceta más científica del pitagorismo es, sin duda alguna, el capítulo V del libro I de la Metafísica de Aristóteles (que lleva por título «Los pitagóricos y su doctrina de los números»), donde se lleva a cabo una exposición general del pitagorismo que empieza con estas palabras (Metafísica, 985b, 986a):
► «… los llamados pitagóricos se dedicaron al cultivo de las matemáticas y fueron los primeros en hacerlas progresar; estando absortos en su estudio creyeron que los principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas. Y Puesto que los números son por naturaleza los primeros de estos principios y en los atributos de los números creían contemplar muchas semejanzas con los de los cuerpos sensibles y con los que están en formación –más que el fuego, la tierra o el agua (siendo tal modificación de los números la justicia, tal otra el alma y la razón, otras distintas la oportunidad y el matrimonio y casi de un modo semejante todas las demás cosas)–, supusieron que las cosas existentes son números –pero no números que existen aparte, sino que las cosas están realmente compuestas de números–, es decir, los elementos de los números son los elementos de todos los seres existentes y la totalidad del universo es armonía y número. Su razón consistía en que las propiedades numéricas eran inherentes a la escala musical, a los cielos y a otras muchas cosas. …Y cuantas propiedades de los números y escalas pudieron demostrar que concordaban con los atributos, las partes y la disposición total de los cielos, las reunieron y las ajustaron a su esquema; y si en alguna parte había alguna laguna, hacían prestamente adiciones de modo que toda su teoría fuera coherente. … Es evidente que los pitagóricos creen también que el número no sólo es el principio material de las cosas sino también el que constituye sus modificaciones y estados permanentes. …».
Este texto de Aristóteles resume el núcleo de la metafísica pitagórica. El entusiasmo ante el descubrimiento pitagórico de la base numérica de los intervalos musicales (los intervalos básicos de la música griega podían representarse mediante las razones 1/2, 3/2 y 4/3) encendió un chispazo de inspirada intuición hacia una fórmula de aplicación universal:
►«Si los números son la clave de los sonidos musicales, ¿no serán también la clave de toda la naturaleza?, «los números son el principio, la sustancia y la causa de todas las cosas».
El número es el principio inteligible a través del cual el Cosmos divino gobernado por el espíritu manifestaba al hombre su armonía interna. Para los pitagóricos todo era una encarnación del número. Cuando decían, como médula de su metafísica, que todos los objetos estaban compuestos de números, que «los números son la esencia del universo», o que el número es el principio elemental (como para otros filósofos presocráticos era el agua, el aire, la tierra o el fuego) lo entenderían en sentido literal, porque los números eran para ellos como los átomos para Demócrito, pero átomos con magnitud y extensión. En efecto, Aristóteles insiste en su Metafísica (1080b):
► «Los pitagóricos reconocen un único tipo de número, el número matemático, pero no con una existencia separada de las cosas sensibles (que era la opinión de los platónicos en general), sino que las consideraban compuestas del mismo. Ellos, en efecto, construyeron la totalidad del universo a partir de los números, pero no de números verdaderamente monádicos, porque supusieron que las unidades poseían magnitud».
Se supone incluso que los primeros pitagóricos no distinguían realmente los números de los puntos geométricos, entendidos naturalmente como puntos extensos o esferas minúsculas. En Geometría todos los conceptos pitagóricos parten del concepto de punto «como unidad que tiene una posición», es decir, la unidad en el espacio, de modo que todo cuerpo geométrico es una pluralidad, una suma de puntos, de igual forma que el número es una suma de unidades. Sin distinguir entre cuerpo físico y cuerpo geométrico, los pitagóricos consideraron los objetos de la naturaleza formados por la reunión de puntos físicos (una especie de atomismo de corte múltiple: numérico, geométrico y físico, ante la identificación de las tres esencias), lo que a pesar de la incoherencia que supone (y que pondrá de manifiesto el propio Aristóteles), les condujo (como veremos) al descubrimiento de algunas importantes propiedades y relaciones numéricas, pero fracasaron al querer determinar la longitud de un segmento rectilíneo, calculando un número proporcional al de puntos situados entre sus extremos, lo que les habría puesto en la pista del origen de la falsedad de su concepción espacial, si hubieran desechado sus prejuicios estéticos, que culminaron al aplicar el teorema del triángulo rectángulo al isósceles de catetos unitarios para «medir» la hipotenusa en función del cateto, o aplicar la «sección áurea» para «medir» la diagonal del pentágono regular en función del lado, lo que produjo el gran escándalo lógico entre los pitagóricos ante la aparición de lo inconmensurable, origen de la primera crisis de fundamentos en la Historia de la Matemática.
Una de las grandes contribuciones griegas al concepto mismo de la Matemática fue el reconocimiento consciente y enfático de que los objetos matemáticos, números y figuras geométricas, son abstracciones, ideas elaboradas por la mente y claramente diferenciadas de los objetos o imágenes físicas. Esta es la concepción platónica plasmada en Los Elementos de Euclides. Pero Aristóteles remarca que esto no era así para los pitagóricos que concebían a los números como los componentes últimos de los objetos materiales del mundo real, que todas las cosas están (en sentido literal no metafórico) realmente compuestas de números.
Sentada la base metafísica, los pitagóricos establecen la generación de las figuras geométricas a partir de los puntos, según el mínimo número de puntos necesarios para definir cada una de ellas. Un único punto (carente de dimensión) es el generador de todas las dimensiones, dos puntos engendran una recta de dimensión uno, tres puntos no alineados determinan un triángulo o área de dimensión dos, y cuatro puntos no coplanarios determinan un tetraedro o volumen de dimensión tres. El esquema tal como los pitagóricos lo pensaban gráficamente sería el siguiente:
Puede ayudar a la compresión de estas concepciones recordar la costumbre primitiva (mencionada por Herodoto), que perduró a lo largo del transcurso de la Matemática griega, de visualizar la representación de los números mediante hileras de puntos, de sucesiones de letras a, o de piedras dispuestas en dibujos regulares (mencionemos que el término cálculo deriva de la expresión latina de piedra). Esto dio a la aritmética una forma geométrica que se mantuvo (aunque también por otras muchas razones) durante casi todo el ciclo griego.
En el fondo, estas cuestiones son otra forma más útil de postular la doctrina de que las cosas son números al suponer que la estructura de los objetos depende de las formas geométricas, que, a su vez, podrían describirse mediante números, atribuyendo a cada figura el mínimo de puntos necesarios para contenerla (dos para una línea, tres para el triángulo, cuatro para el tetraedro). Es decir, las cosas son números y por tanto la base de la naturaleza es numérica porque los cuerpos sólidos se componen de superficies, las superficies de planos, los planos de líneas y las líneas de puntos, y, en su concepción geométrica del número, los pitagóricos identificaban puntos y unidades.
Esta correlación descrita entre números y figuras geométricas es desarrollada, explicitada y refinada por numerosos escritores neopitagóricos como Jámblico que en sus Theologumena Arithmeticae, admitiendo como fuente a Pseusipo «el hijo de Potona, hermana de Platón, sucesor de éste en la Academia y autor de un elegante opúsculo titulado Los Números Pitagóricos, que contenía los escritos de Filolao», escribe: ► «El punto es el primer principio que conduce hacia la magnitud, la línea el segundo, la superficie el tercero y los sólidos el cuarto».
Otras referencias importantes al respecto se encuentran en Arquitas de Tarento, Teón de Esmirna, Sexto Empírico y sobre todo en la Introducción a la Aritmética de Nicómaco de Gerasa y en Proclo, pero a veces la secuencia punto, línea, triángulo, tetraedro, en la generación de figuras, descrita por la progresión aritmética (1,2,3,4) es sustituida por la secuencia punto, línea, cuadrado, cubo, descrita por la progresión geométrica (1,2,4,8) que ofrece el esquema gráfico:
La concepción pitagórica sobre la generación de figuras geométricas es criticada por Aristóteles en la Metafísica (1036b):
►«La continuidad es la materia de las figuras geométricas y el número el elemento formal»,
de modo que para Aristóteles
► «una línea es lo que se extiende entre dos puntos»,
más bien que
► «dos puntos colocados uno al lado del otro constituyen en sí una línea».
Esto es lo que se conoce, generalmente, como teoría del flujo que enfrenta la divisibilidad de los segmentos ad infinitum con la existencia atomística de partes intrínsecamente indivisibles, objeto de polémica entre los filósofos de La Academia y los de El Liceo acerca de la constitución de la materia y la estructura del continuo, de gran repercusión ulterior en el desarrollo conceptual de la Matemática, inaugurando la dualidad Infinitesimales–Indivisibles, que establece la tradición cinemática representada por Arquímedes, Oresme, Galileo, Torricelli, Roberval, Barrow y Newton frente a la tradición atomística representada por Demócrito, Kepler, Cavalieri, Fermat, Pascal y Huygens.
Algunos neopitagóricos y neoplatónicos no parecen apreciar la diferencia radical de las dos concepciones aludiendo simplemente a que una de ellas es «más pitagórica». Así Proclo escribe:
► «Otros tienen modos diferentes de definir una línea, unos como el flujo de un punto, otros como magnitud que se extiende en una dirección»
y Sexto Empírico:
► «Imaginemos una línea (que es una longitud sin extensión) como flujo de un punto, y la extensión (es decir, la superficie sin profundidad) como flujo de una línea, y que, mediante el flujo de una superficie se genera el cuerpo,…».
