Pitágoras, la Ciencia y las Matemáticas. El Quadrivium pitagórico.
Si la finalidad suprema de la doctrina pitagórica era asemejarse a la Divinidad (como en el Cristianismo) y esta es concebida como «Ciencia suprema», la virtud se alcanzará a través de la sabiduría que nos proporciona la especulación científica, como en el Cristianismo la virtud se logra mediante la santidad al concebir la divinidad como el bien supremo. De esta forma para los pitagóricos el acceso al conocimiento científico no sólo es un acto de investigación sino ante todo una empresa de carácter místico y religioso. Religión y Ciencia son elementos intrínseca y recíprocamente asociados en el «modo de vida pitagórico».
Pitágoras fue el primero en utilizar el término Cosmos para describir un universo ordenado y armonioso inteligible por el hombre a través del número, que es el principio elemental, «la esencia de todas las cosas», componente esencial de la armonía matemática que debe guiar, con finalidad religiosa, toda investigación sobre el universo. Pitágoras alcanzaría esta iluminación, tras sus viajes, a través de su propia reflexión sobre la sabiduría milenaria de los pueblos de Oriente Próximo. De los egipcios aprendería que las formas de las figuras geométricas se ajustan a números y proporciones y de Mesopotamia que los movimientos de los astros están regidos por leyes numéricas. De su propia experimentación, Pitágoras deduce que la armonía musical también está regida por el número. De estos tres hechos, tras una audaz extrapolación, Pitágoras estableció que «el número es la esencia del universo» y que «el número es la raíz y fuente de la naturaleza eterna». Los pitagóricos perseguían penetrar en el secreto de la armonía de los números, ya que desvelado éste creían poder comprender la armonía del universo. Soñaban con poder captar la esencia del universo bajo la forma de números enteros, imaginándose estar tras las huellas del misterio último de las cosas. Es más, para los pitagóricos la Matemática era no sólo una realidad perfecta sino la auténtica realidad de la cual nuestro mundo cotidiano no es más que un reflejo imperfecto, una sombra en el sentido del Mito platónico de la caverna (La República, 514a, 519d).
Pero más allá de la Filosofía, la Mística y la Religión, Pitágoras y los pitagóricos aportaron un ingente caudal de conocimientos matemáticos, que serán objeto de estudio en los siguientes artículos, aunque, por fidelidad a la esencia de la doctrina donde surgieron, no se tratarán aisladamente sino dentro del panorama místico y filosófico que los alimenta.
Sobre Pitágoras escribe Proclo (412– 485) en su celebre “Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides”:
► «… Pitágoras transformó la doctrina filosófica que trata de la geometría en enseñanza liberal, examinó desde lo alto sus principios, investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas [poliedros]».
Esta cita de Proclo justifica la ubicación de Pitágoras en el umbral de la Matemática racional en Grecia como artífice supremo del «milagro griego en Matemáticas» (comentado ampliamente en un artículo anterior), dentro del cual la idea y la necesidad de la demostración es uno de los componentes capitales del acervo pitagórico, fundamento de la instrucción liberal que proclama Proclo respecto de Pitágoras, que nos indica que este sabio fue el primero en someter la Matemática a la exigencia de la rigurosa deducción lógica, que generación tras generación, se hizo cada vez más imperiosa. La evidencia sensible que concluía en una receta útil se manifiesta, para Pitágoras, insuficiente en el plano de las necesidades racionales, lo que obliga a trascender lo que hasta entonces era la práctica empírica sobre los casos particulares, desarrollando métodos deductivos para demostrar de forma general. Cierto que en muchas ocasiones una comprobación geométrico-empírica de carácter inductivo puede satisfacer el espíritu y producir resultados visualmente palmarios, como ocurre en la inmensa parafernalia de fórmulas aritméticas que los propios pitagóricos obtienen con su atomismo numérico-geométrico, pero hay problemas transcendentales de la Matemática, sobre todo aquellos en los que subyace la presencia del infinito, en los que sólo una rigurosa demostración, como acto intelectual puro, más allá de la intuición sensible, puede ser satisfactorio; por ejemplo, el estudio de la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado o un pentágono (que no es comprobable empíricamente), que tal vez fue la primera demostración verdaderamente matemática realizada por los pitagóricos. He aquí pues, en la demostración, la aportación fundamental del Pitagorismo a la Matemática, valorado siempre muy por encima de sus magníficas contribuciones particulares en ámbitos concretos de esta ciencia, siendo considerada, además, la demostración, como elemento esencial en el tránsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega.
La demostración va mucho más allá de la mera persuasión de la Dialéctica en la que los griegos eran grandes maestros, pues es posible con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero (de ahí los reproches de Sócrates hacia los sofistas). La demostración convence por la ilación argumental incontrovertible que alcanza algo legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la lógica. Por eso a partir de Pitágoras la Matemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva.
El Quadrivium pitagórico.
Mediante lo que se considera la primera aplicación histórica de la Matemática a la descripción de las leyes de la naturaleza, Pitágoras encuentra el fundamento matemático de la consonancia musical. La Aritmética y la Geometría se vinculan con la Música, que de esta forma se convierte en una rama de las Matemáticas. Para Pitágoras la congruencia de las consideraciones científicas sobre los números, las figuras y las notas musicales, es decir, la concordancia de las proporciones aritméticas, geométricas y musicales y su extrapolación al Cosmos determina que los astros emiten en sus movimientos unos tonos musicales armoniosos cuya combinación producía una prodigiosa melodía permanente: «La Música de las Esferas» (que tanta influencia tuvo en la poesía de Fray Luís de León y en la Cosmología de Kepler). El misticismo aritmético de la Década también había llevado a Pitágoras al establecimiento del primer sistema cosmológico no geocéntrico. Ambos elementos pitagóricos, la Música de las Esferas y su Cosmología incluyen también a la Astronomía en el ámbito matemático, el cual queda así completado en lo que con posterioridad (a partir de Boecio que acuñaría el término) se llamó las cuatro Artes del Cuadrivium pitagórico: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía, que junto con las tres Artes del Trivium, Gramática, Retórica y Dialéctica, constituyen las Siete Artes liberales del currículo medieval.
El Quadrivium queda establecido como núcleo de una educación liberal a partir del pitagórico Arquitas de Tarento, maestro de la Geometría de Platón, político y gran reformador.
Platón, en forma de diálogo entre Sócrates y Glaucón, bajo la influencia pitagórica, poco después del Mito de la Caverna, se refiere específicamente, una por una, a las cuatro ciencias del Cuadrivium en La República (525d/533a) como estudios imprescindibles en la propedéutica del filósofo, en la formación del gobernante y como elementos esenciales en la educación de los jóvenes:
► «… Convendrá imponer esta enseñanza por medio de una ley y convencer a los que deban ocupar los puestos de gobierno de la ciudad para que desarrollen su gusto por estas ciencias. … Con estas ciencias se purifica y reaviva el órgano del alma, cegado por las demás actividades. … Cuidemos de que aquellos a los que hemos de instruir no se apliquen a un estudio imperfecto de estas ciencias. … Por ellas puede elevarse la mejor parte del alma a la contemplación del mejor de los seres…. A ellas atribuimos la aprehensión de una parte del ser,…».
En un tono solemne y religioso y dándoles, con sentido pitagórico, un significado metafísico Platón va aludiendo con su clásico idealismo a las cuatro ciencias. He aquí, la visión platónica de este legado de Pitágoras:
- Aritmética: «… Es lo cierto que esa ciencia conduce el alma hacia lo alto y la obliga a razonar sobre los números, sin permitir de ningún modo que nadie presente un ejemplo de números corpóreos y tangibles. … Esa ciencia se nos presenta con visos de necesaria, puesto que parece forzar al alma a servirse de la inteligencia pura para alcanzar la verdad en sí».
- Geometría: «… La parte más elevada de esta ciencia nos conduce a una contemplación más factible de la idea de bien. … La Geometría nos obliga a contemplar la esencia. … Es una ciencia del conocimiento del ser, no de lo que está sujeto al cambio o desaparición. … Conducirá al alma hacia la verdad y dispondrá la mente del filósofo para que eleve su mirada hacia arriba».
- Música: «Así como los ojos han sido hechos para la Astronomía, los oídos lo fueron para el movimiento armónico, y que estas ciencias son hermanas al decir de los pitagóricos, …, que buscan los números en esos acordes que escuchan».
- Astronomía: «… Esta ciencia obliga al alma a mirar hacia arriba y la conduce de las cosas de aquí abajo a las del cielo». Debe ser estudiada como una rama de las Matemáticas «en términos de números puros y figuras perfectas… accesibles a la razón y al pensamiento, pero no a la vista»
Las cuatro Artes liberales del Quadrivium pitagórico de Fragmento del códice de Nicolo da Bologna: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía, se representan de manera alegórica en forma de figuras de mujeres llevando cada una de ellas atributos distintivos. La clasificación en los cuatro Mathemata proviene del mundo pitagórico siendo difundida en la Edad Media por Casiodoro, que en su obra De artibus ac disciplinis liberalium literarum sitúa el número de Artes Liberales en siete, como siete son los pilares de la sabiduría (según Proverbios, IX.1), y sobre todo por San Isidoro en Las Etimologías.
Las Artes liberales son un tópico habitual en la iconografía medieval, en particular en los programas de las grandes catedrales, siendo de las más significativas la de León en sus vidrieras, la de Siena en el púlpito y la de Chartres en las esculturas de las arquivoltas de la puerta derecha de la fachada oeste, en las que cada alegoría va acompañada del correspondiente sabio griego representativo de cada ciencia.
Se van a exponer a continuación las doctrinas científicas concretas desarrolladas por Pitágoras y los pitagóricos, cada una de ellas perteneciente a alguna de las ciencias del Cuadrivium pitagórico:
- La doctrina aritmética: incluye la Aritmología pitagórica con la descripción de los números místicos, la clasificación y denominaciones de los números, los números perfectos y amigos y los números poligonales. Es lo que se suele llamar el misticismo aritmético‑geométrico. Parte de este contenido esta incluido en el Libro VII de Los Elementos de Euclides
- La doctrina geométrica: atribuye a los pitagóricos infinidad de teoremas elementales sobre triángulos, polígonos, rectas paralelas, círculos, esferas, etc., resultados que conforman gran parte de los cuatro primeros libros de Los Elementos de Euclides. Los pitagóricos también estarían familiarizados con una teoría restringida de figuras semejantes (válida únicamente para el caso conmensurable) y es posible que conocieran (según la atribución de Proclo a Pitágoras) los poliedros regulares. Pues bien, con base en estos aspectos elementales de la Geometría, desarrollaremos, en artículos sucesivos, los cuatro temas más complejos siguientes: el Teorema llamado de Pitágoras, la divina proporción y el pentagrama místico, el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables y los sólidos pitagórico-platónicos.
- La Música: los descubrimientos de Pitágoras sobre música tienen la singularidad de su carácter experimental y se han incluido en el misticismo aritmético‑geométrico.
La Astronomía: se trata de la Cosmología pitagórica y la Música de las Esferas, temas que por su origen aritmológico y místico también se han
