Curiosidades y experiencias sobre el Teorema de Pitágoras
● Las ternas pitagóricas y la construcción de triángulos pitagóricos
Una terna pitagórica son tres números naturales (a, b, c) que satisfacen la relación a² + b² = c². Por ejemplo, (3, 4, 5) es una terna pitagórica. Al correspondiente triángulo rectángulo de catetos a, b, y de hipotenusa c, se le llama “triángulo pitagórico”.
Como ya se vio en el capítulo dedicado al Teorema de Pitágoras en las civilizaciones prehelénicas, el estudio de las ternas pitagóricas se inició con mucha anterioridad a Pitágoras (siglo VI a.C.), en las civilizaciones babilónica, egipcia, india y china.
Existe una diversidad de proposiciones matemáticas sobre las ternas pitagóricas que aparecen en multitud de libros de Matemática Recreativa. Son preciosos teoremas y resultados curiosos de una belleza primorosa que nos dan una excelente razón para estudiar las ternas pitagóricas. Se trata de un motivo casi similar por el que nos acercamos a contemplar un cuadro de Leonardo o de Velázquez, o ponemos toda nuestra atención en una sinfonía de Beethoven o de Berlioz.
No es tan extraño lo que apuntamos, al fin y al cabo, Pitágoras demostró en los albores de la Matemática racional “el fundamento aritmético de la armonía musical”; Leonado escribió en el frontispicio de su “Tratado de Pintura”: «No lea mis Principios de Pintura quien no sea matemático»; y se dice que en la biblioteca de Velázquez la mayor parte de sus libros trataban de “La Geometría de la Proporción”.
★ Cada terna pitagórica primitiva (x, y, z) puede construirse a partir de dos números enteros positivos p y q coprimos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma:
► (2pq, p² – q², p² + q²).
El resto de ternas pitagóricas se obtienen a partir de alguna de las primitivas multiplicando todos los elementos de la misma por un número.
Las ternas pitagóricas primitivas x, y, z, que podemos obtener con p menor o igual que 6 son las siguientes:
Ternas pitagóricas de cifras persistentes
Entre la multiplicidad de tipos de ternas pitagóricas, tenemos las originales “Ternas pitagóricas de cifras persistentes”, que se obtienen a partir de la expresión general pitagórica:
Así por ejemplo, para n=1, surge el primer caso del grupo de “Ternas pitagóricas de cifras persistentes”:
☻ 100² + 24992 = 25012
Otros cuatro casos podemos ver en la figura adjunta:
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Curiosidades y experiencias sobre el Teorema de Pitágoras
Hoy como siempre, el Teorema de Pitágoras sigue teniendo ocupados a los matemáticos y todo tipo de público, y aparece en numerosas celebraciones y aniversarios académicos y oficiales.
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Póster de la celebración en España del Año 2000 Mundial de las Matemáticas que incluye un fragmento con el anagrama euclídeo de una demostración del Teorema de Pitágoras en una edición medieval en griego de los “Los Elementos” de Euclides.
El Teorema de Pitágoras como parte esencial de los bellísimos tesoros matemáticos de la tradición pitagórica es una de las joyas geométricas a las que alude Kepler en su obra “Mysterium Cosmographicum” de 1596.
Cuadrados mágicos pitagóricos
LA PRUEBA DINÁMICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS DE H. EVES
Prueba dinámica del Teorema de Pitágoras a modo de «dibujos animados» en la que el cuadrado sobre la hipotenusa se transforma continuamente hasta convertirse en los dos cuadrados sobre los catetos.
(H.Eves, Great Moments in Mathematics. The mathematical. association of America, 1977. Vol. 1, cap.4. p.32)
LA PRUEBA DINÁMICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS DE H.V. BARAVALLE
En el artículo de H.Baravalle, A model for demostrating the Pytahgorean Theorem (Scripta Mathematica. Vol.16, pp.203–207. Yeshiva University, New York, 1950), se exhibe una prueba dinámica del Teorema de Pitágoras, con más fases que la de H.Eves, en la que el cuadrado sobre la hipotenusa se va transformando de forma continua hasta convertirse en los dos cuadrados sobre los catetos.
Partiendo de la fase 1, del cuadrado sobre la hipotenusa, marcado en negro, se va sustrayendo, en la fase 2, de la parte inferior del cuadrado, triángulos semejantes al dado de tamaño continuamente creciente, que se van añadiendo a la parte superior del cuadrado, hasta alcanzar, en la fase 3, el tamaño del triángulo dado. En la fase 4, el área en negro se va desplazando de forma continua hacia arriba hasta que en la fase 5 alcanza la posición más alta. En la fase 6 una porción rectangular del área negra se corta en dos triángulos que son añadidos uno a cada lado. La igualdad de las áreas en negro de las fases 5 y 6 se muestra en la figura del margen, donde ambas áreas se han dibujado superpuestas, habiéndose señalado en negro las partes comunes y sombreadas las partes que se sustraen y se añaden. En la fase 7 estas partes sustraídas y añadidas, crecen de forma continua, hasta que en la fase 8, el área negra se transforma finalmente en los cuadrados sobre los catetos del triángulo rectángulo.
FRACTALES PITAGÓRICOS
Dos tipos de fractales pitagóricos, uno simétrico y otro asimétrico
- 10 Citas memorables sobre el Teorema de Pitágoras
- Plutarco. Sobre Isis y Osiris, VIII, 4.
«Los egipcios se imaginaban el mundo la forma del más bello de los triángulos. Este triángulo, símbolo de la fecundidad, tiene su lado vertical compuesto de tres, la base de cuatro y la hipotenusa de cinco partes. El lado vertical simbolizaba al macho, la base a la hembra, y la hipotenusa a la primogenitura de los dos».
- Proclo. Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides.
«Mientras admiro a los que han observado la verdad de este teorema, ensalzo más todavía al escritor de “Los Elementos”, no sólo porque consiguió una demostración mucho más lúcida, sino también porque obtuvo un teorema mucho más general, mediante los irrefutables argumentos del Libro VI»
- De la vida de T.Hobbes en Brief Lives de J.Aubrey, 1694:
«Hasta los 40 años no se interesó por la Geometría, hecho que ocurrió por accidente al hojear casualmente en una biblioteca un libro de “Los Elementos” de Euclides, abierto por la Proposición I.47».
- Sketch autobiográfico sobre A.Einstein en Philosopher-Scientist. P.A.Schilpp, 1951:
«A los 12 años un tío mío me había contado el Teorema de Pitágoras antes de que la Santa Geometría cayera en mis manos. […] Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento».
- David Smith. History of Mathematics. Dover. New York, 1958. Vol.2 pág.289.
«Cientos de pruebas ha sugerido la proposición pitagórica. […] Una de las primeras es la de Los Elementos de Euclides que ha soportado la prueba del tiempo mejor que cualquier otra».
- Abel Rey. El apogeo de la ciencia técnica griega. UTEHA, México, 1962. Vol.1. pág.13.
«La universalidad del teorema de Pitágoras y la invención de la demostración geométrica son las hadas que vemos en torno a la cuna de la Geometría griega, del milagro griego en matemática y del espíritu científico que ha llegado hasta nosotros.
- E.S. Loomis. The Pythagorean Proposition. NCTM, 1968. pág. 3.
«Este teorema con la multitud de demostraciones del mismo ilustra de forma sorprendente el hecho de que hay muchas formas de alcanzar la misma verdad».
- W.Dunham. Viaje a través de los genios. Pirámide, Madrid, 1992. pág.76.
«Gran parte de lo que precede en “Los Elementos” de Euclides [a la Proposición I.47] apuntaba al gran Teorema de Pitágoras, que sirve de adecuado clímax al Libro» I.
- W. Dunham. El Universo de las Matemáticas. Pirámide. Madrid, 1995. Cap.H. pág.136.
«El Teorema de Pitágoras ha tenido ocupados a los matemáticos desde la época clásica hasta el presente. […] Sus múltiples demostraciones ilustran la agilidad de los matemáticos al atacar el mismo problema desde ángulos diferentes».
- Felix Klein. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Vol. II. Geometría Biblioteca Matemática. Dtor: J.Rey Pastor. Madrid, 1931. pág.319.
«En la demostración de Euclides del Teorema de Pitágoras están mezcladas de tal modo la intuición y la lógica, que cada paso lógico está evidenciado intuitivamente».
El Teorema de Pitágoras en la actualidad
Después de más de 25 siglos de los tiempos que dieron luz a los aspectos demostrativos del Teorema de Pitágoras, su presencia sigue vigente, con toda su fortaleza, tanto en el espacio matemático como en el académico y educativo. La razón evidente de una vigencia tan prolongada, y que parece extenderse a toda la posteridad, es que se trata de un resultado básico fundamental con multitud de aplicaciones en numerosos ámbitos, ya que el Teorema no solo sirve de apoyo para resolver problemas de teoría geométrica, sino tan bien para tomar decisiones sobre cuestiones prácticas, estéticas y decorativas.
El Teorema de Pitágoras ha tenido gran influencia sobre la las técnicas geométricas necesarias para la cartografía, la navegación y la topografía. Y ha sido decisivo en la trascendental relación entre la geometría y la trigonometría. Aunque muchos de los triángulos que nos encontramos en la vida ordinaria no son rectángulos, no obstante cualquier triángulo puede dividirse en dos triángulos rectángulos, y cualquier forma poligonal se puede dividir en triángulos. Por tanto los triángulos rectángulos (El Teorema de Pitágoras) son la clave, y prueban que hay una relación útil entre la forma de un triángulo y la longitud de sus lados. La materia que se desarrolló a partir de esta visión es la trigonometría, que significa «medición de triángulos».
El Teorema de Pitágoras es fundamental para el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes de figuras:
El teorema de Pitágoras fue también esencial para la introducción de la geometría analítica, una manera de representar figuras geométricas en términos numéricos, mediante un sistema de rectas conocidas como ejes, que se etiquetan con números. Efectivamente, El Teorema de Pitágoras también aparece en la geometría analítica, en cuanto introducimos coordenadas en el plano y en espacio para definir la distancia entre dos puntos:
El teorema de Pitágoras es importante por sí mismo, pero despliega incluso más influencia a través de sus generalizaciones. La prueba del teorema de Pitágoras en los “Elementos” de Euclides sitúa al teorema como columna vertebral de la geometría. Pero en una progresión sorprendente de eventos, podemos indicar que inicialmente el teorema de Pitágoras, hace más de 3.500 años, cumplió con la misión de medir la tierra de los campesinos. Su extensión a triángulos no rectángulos y a triángulos en la esfera permitió hacer mapas de los continentes y medir nuestro planeta. Y en una magna generalización ha permitido medir la forma del universo.
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
TESORO Y SÍMBOLO DE TODA LA GEOMETRÍA
EL TEOREMA LLAMADO DE PITÁGORAS
Una historia geométrica de 4000 años
El Teorema de Pitágoras es la relación matemática que ocupa el primer lugar en el recuerdo de los tiempos escolares, la más importante, útil y popular en casi todas las civilizaciones; la que más nombres y pruebas ha recibido de numerosos personajes. Al ser la fuente de multitud de relaciones métricas de la geometría, el Teorema de Pitágoras, como principal tesoro de la tradición pitagórica, tiene un extenso valor práctico, teórico y didáctico. En un acto de altísima exaltación personal, nos atreveríamos a pronunciar que “a partir de la demostración pitagórica y sobre todo la de Euclides, nacieron las matemáticas tal y como las conocemos hoy”, al considerarlas como algo más que cálculos y plantear que los teoremas sean resultados universalmente válidos y eternos.
El Teorema de Pitágoras aparece por doquier en la Matemática en los lugares más insospechados. Es la base de multitud de teoremas geométricos, de los estudios sobre polígonos y poliedros, de la geometría analítica, de la trigonometría, de técnicas elementales para medir distancias tan útiles en todas las ciencias e ingenierías,…
La noble grandeza del Teorema de Pitágoras señala una inflexión intelectual entre la práctica empírica e inductiva y la argumentación deductivo-demostrativa, que caracteriza a la Matemática con respecto a las demás ciencias, tanto en el marco histórico-cultural como en el espacio escolar de la Educación matemática. Como origen de la geometría racional, fundamento de multitud de teoremas geométricos, causa primera del descubrimiento de la inconmensurabilidad, umbral entre la matemática empírica y la matemática deductiva, paradigma de la matemática y de la educación matemática, el más fascinante, popular, útil y célebre teorema geométrico, pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos.
