Aplicaciones y generalizaciones del Teorema de Pitágoras
Casi al final del libro VI de Los Elementos de Euclides aparece una interesante generalización del Teorema de Pitágoras que sustituye los cuadrados sobre los lados (hipotenusa y catetos) por figuras semejantes y semejantemente situadas sobre los lados del triángulo rectángulo.
- La Proposición VI.31 de Los Elementosde Euclides
► «En los triángulos rectángulos, la figura construida a partir del lado que subtiende el ángulo recto es equivalente a las figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de los lados que comprenden el ángulo recto».
En particular, la Proposición VI.31 se puede aplicar a figuras poligonales regulares y a círculos en las que el área es una función del cuadrado del lado. De modo que podríamos enunciar los siguientes teoremas:
- a. El área de un polígono regular construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los polígonos regulares semejantes construidos sobre los catetos del triángulo.
- El área de un círculo (o semicírculo) construido sobre la hipotenusa (tomada como diámetro) de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los círculos (o semicírculos) construidos sobre los catetos.
La Proposición VI.31 de Los Elementos de Euclides resuelve también el problema siguiente:
- Dados dos polígonos regulares P y Q, ambos de n lados, calcular el lado del polígono regular de n lados, que tenga por área la suma de las áreas de los polígonos P y Q.
Las lúnulas de Hipócrates
Hipócrates de Quíos (hacia el 450 a.C.) consigue la primera cuadratura rigurosa de una figura curvilínea en la Historia de la Matemática, y en su trabajo juega un papel fundamental el Teorema de Pitágoras o la generalización de la Proposición VI.31 de Los Elementos de Euclides.
Hipócrates sitúa su actuación sobre cuadraturas de lúnulas –figuras planas curvilíneas cerradas limitadas por arcos de círculo de radios diferentes, ambos de la misma parte de una cuerda común– en el marco del famoso problema de la cuadratura del círculo que consiste en encontrar un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado. Hipócrates obtiene la cuadratura de lúnulas en tres casos sencillos muy ilustrativos, correspondientes a cada uno de los tipos en que se dividen las lúnulas, según que el arco exterior sea mayor, igual o menor que una semicircunferencia.
Proclo en su Comentario al Libro I de los Elementos de Euclides, siguiendo al historiador de la Matemática del Liceo aristotélico, Eudemo de Rodas (hacia el 335 a.C.), informa que Hipócrates escribió unos Elementos de Geometría –la primera concatenación lógica de las proposiciones en un corpus racional– ahora perdidos, donde habría tratado, quizá a propósito del intento de resolver el problema de la cuadratura del círculo, la cuadratura de las lúnulas y en donde aparecería el famoso teorema (Euclides, XII.2):
► «Los círculos están entre sí como los cuadrados de sus diámetros»
Teorema que generalizando permite enunciar para segmentos semejantes de círculos (que subtienden ángulos iguales) de círculo:
► «Segmentos semejantes de círculo están entre sí en la misma razón que los cuadrados construidos sobre sus bases [cuerdas]».
Estos resultados serán considerados reiteradamente por Eudoxo, Euclides y Arquímedes en sus cuadraturas y cubaturas, y su importancia histórica es muy considerable, ya que le permitieron a Hipócrates probar que ciertas áreas limitadas por líneas curvas –ciertas lúnulas–, son conmensurables con áreas limitadas por líneas rectas, es decir, realizar la cuadratura de lúnulas.
Al utilizar crecientemente lúnulas de mayor tamaño, Hipócrates intentaría vanamente resolver el quimérico problema de la cuadratura del círculo. No sabemos si Hipócrates estaba convencido de haber resuelto el problema; es posible que así sea, porque recibiría la dura acusación de Aristóteles de haber incurrido en paralogismos.
Veamos el caso más simple de cuadratura de una lúnula, en la que el arco exterior es una semicircunferencia y tiene de cuerda el lado de un cuadrado inscrito en la semicircunferencia a la que pertenece el arco interior de la lúnula.
Veamos otra forma alternativa, más sencilla, de cuadrar la misma lúnula de Hipócrates a base de utilizar la Proposición VI.31 de Los Elementos de Euclides:
- El Triángulo de Kepler: ElTeorema de Pitágoras y la Divina Proporción
«La Geometría tiene dos grandes tesoros, uno es el Teorema de Pitágoras y otro la división de un segmento en media y extrema razón [la Divina Proporción y el número áureo]. Si el primero es una joya de oro, el segundo viene a ser una piedra preciosa».
— Johannes KEPLER. Mysterium Cosmographicum, 1596.
He aquí una de las citas más conocidas de toda la Historia de las Matemáticas, que combina dos de los conceptos clave, más trascendentales, significativos, útiles e importantes de toda la grandiosa y extraordinaria Geometría, el Teorema de Pitágoras y el Número Áureo (o Divina Proporción), capítulos geométricos que fascinaron profundamente a Kepler, por la forma extraordinariamente original como se vinculan en el triángulo rectángulo:
► «El Triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo con lados en progresión geométrica. La relación entre lados de un triángulo de Kepler, está vinculada al número áureo».
► «El Triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo formado por tres cuadrados con áreas en progresión geométrica de acuerdo al número áureo».
Aunque Euclides realiza una construcción equivalente a la Sección Áurea en la Proposición II.11 de “Los Elementos”, introduce la noción en la Definición VI.3:
►«Se dice que un segmento AB está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor BC como la parte mayor es a la menor AB».
Desde los tiempos de Luca Pacioli (1445–1517) se la denomina «La Divina Proporción» y Leonardo da Vinci y Kepler la llaman «La Sección Áurea».
Tomando AB=1, BC=x, la razón áurea se escribirá: (x+1)/x = x/1. Al número x se le llama el «número de oro». Tradicionalmente se le representa por la letra griega φ. Así pues, φ es la solución de la ecuación: φ² – φ –1=0, cuya raíz positiva es: φ = (1+√5)/2;
- Y se puede escribir: 1: √ φ: φ, en progresión geométrica.
El hecho de que un triángulo de lados 1, √φ, φ, {\displaystyle 1}{\displaystyle \varphi }sea rectángulo, surge simplemente al reescribir el polinomio cuadrático de definición del número áureo φ:
{\displaystyle φ² = φ +1, en la forma del Teorema de Pitágoras: (φ)² = (√φ) ² + (1)².
Interesa mucho insistir sobre la cita de Kepler, con la que se inicia este apartado, porque es solo una síntesis muy sucinta de lo que sobre “la joya de oro” (el Teorema de Pitágoras) y sobre “la piedra preciosa” (la Divina Proporción) dijo el gran genio de la Astronomía moderna. Veamos sus palabras textuales:
► «Hay dos tesoros en la Geometría, uno es la razón de la hipotenusa al lado en el rectángulo, el otro es la sección de la recta en razón extrema y media, de los cuales, de aquél se deriva la construcción del Cubo, de la Pirámide y del Octaedro, y de éste la construcción del Dodecaedro y del Icosaedro. De aquí que sea tan fácil y regular la inscripción de la Pirámide en el Cubo, del Octaedro en ambos, al igual que la del Dodecaedro en el Icosaedro».
— Johannes KEPLER (1571–1630), astrónomo y matemático alemán.
— El Secreto del universo. Alianza Universidad. Madrid, 1992, pág.134.
►«Que hay dos tesoros en la geometría. Son dos teoremas de infinita utilidad y por ello de gran valor, pero hay entre ellos una gran diferencia. Pues el primero, que los cuadrados de los lados del rectángulo son iguales al cuadrado de la hipotenusa, con razón, digo, lo puedes comparar a una masa de Oro; el otro, sobre la división proporcional, puedes llamarlo una Joya. Pues en sí mismo sin duda es magnífico, pero sin el teorema anterior nada puede; él es por tanto el que hace progresar a la ciencia, una vez que el primero nos ha abandonado después de habernos hecho avanzar, es decir nos lleva a la demostración y descubrimiento del lado del decágono y de las magnitudes emparentadas».
— Johannes KEPLER (1571-1630), astrónomo y matemático alemán.
— El Secreto del universo. Alianza Universidad. Madrid, 1992, pág.142.
- ElTeorema de Pitágoras, la raíz de 2 y el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables
La grandeza sublime del Teorema de Pitágoras fue un caballo de Troya para la Geometría griega, porque llevaba en sí mismo el germen de la profunda crisis de la hermandad pitagórica donde se demostró. Los Diálogos de Platón nos informan que la comunidad matemática griega se vio gravemente sofocada por un descubrimiento que prácticamente demolía la base de la fe pitagórica en los números enteros. Los Pitagóricos, que, como filósofos presocráticos, habían considerado como núcleo dogmático de su Filosofía que «los números son la esencia del universo», que en esencia «todo es número», al igual que el agua lo era para Tales, el aire para Anaxímenes y el fuego para Heráclito, encuentran que las consecuencias de su Teorema atentan contra los fundamentos de su doctrina, que les había llevado a establecer un paralelismo entre el concepto numérico y la representación geométrica. En efecto, el cuadrado que es una de las figuras geométricas más simples, proporciona un terrible ente geométrico, en el que hay un segmento, la diagonal, que no es conmensurable con otro segmento, el lado: no hay un submúltiplo de ambos, la diagonal y el lado, que pueda tomarse como unidad, para medir a ambos segmentos.
- ElTeorema de Pitágoras, las raíces cuadradas y la Espiral de Teodoro
Durante bastante tiempo fue el único número irracional conocido. En el célebre diálogo Teeteto, hacia el año 425 a.C., Platón expone que su maestro de Geometría, Teodoro de Cirene, fue el primero en demostrar el carácter irracional de las siguientes raíces cuadradas. En concreto Teodoro consideró las siguientes longitudes:
El Teorema de Pitágoras permite dibujar todas las raíces cuadradas de los números naturales, en una espiral formada por triángulos rectángulos. Aunque no se sabe con toda certeza si fue Teodoro de Cirene quien dibujó por primera vez esta espiral, ésta ha pasado a la historia con su nombre, como reconocimiento a su labor matemática en la demostración de la irracionalidad de los segmentos de las raíces cuadradas citadas. En la actualidad la construcción no se conoce de otra forma: es la “La espiral de Teodoro”.
En la figura de la Espiral de Teodoro,es la diagonal del cuadrado de lado 1, mientras que es tanto la diagonal del rectángulo de lados 1 ycomo la hipotenusa del triángulo rectángulo con esos mismos datos (1 y) como catetos. La es la hipotenusa de los catetos 1 y , y es la hipotenusa de los catetos 1 y. Y así, sucesivamente surge la serie de números de forma concatenada.
