Más allá de Pitágoras y Euclides: las más famosas demostraciones del Teorema de Pitágoras
Quizá ningún teorema de la amplia Matemática haya recibido tantas demostraciones diversas como el Teorema de Pitágoras. Bien puede decirse, por ello, que este teorema y la multitud de demostraciones del mismo que se han dado a lo largo de la historia constituyen una prueba fehaciente de que hay muchos caminos para alcanzar la verdad.
En la Edad Media a este Teorema se le consideraba la base de toda sólida formación matemática. En algunos centros docentes para obtener el grado de maestro, además de exigir un considerable conocimiento del Teorema, se obligaba a exhibir una nueva y original demostración del mismo, por eso el Teorema de Pitágoras alcanzó la honrosa designación de «Magister matheseos». Este hecho y la gran significación del teorema explica la razón de las innumerables demostraciones que los matemáticos y no matemáticos de todas las épocas y personajes tan diversos como filósofos, monjes, políticos, juristas, ingenieros y artistas, han encontrado del más famoso Teorema de la Geometría.
Se describirán de forma, cronológica, algunas de las más famosas demostraciones, que lo son, tanto porque se les ha podido atribuir a un personaje histórico concreto, matemático o no, como porque gozan de una gran claridad y sencillez.
Dadas dos figuras P y Q, se dice que:
- P y Q son «congruentes por adición» si pueden ser seccionadas en pares correspondientes de piezas congruentes.
- P y Q son «congruentes por sustracción» si añadiendo a las figuras P y Q pares correspondientes de piezas congruentes, se obtienen dos nuevas figuras que son congruentes por adición.
En general, como vamos a ver, muchas de las pruebas del Teorema de Pitágoras consisten en mostrar que “el cuadrado sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es congruente, por adición o sustracción, con los cuadrados construidos sobre los catetos”.
Las demostraciones de Thâbit Ibn Qurra (826-901)
La demostración de Thâbit Ibn Qurra es la respuesta a la carta de un amigo que, conociendo el caso particular para un triángulo rectángulo isósceles de la «prueba socrática» del teorema –el pasaje de Platón en El Menón sobre la duplicación del cuadrado–, le solicitaba que le comunicara la prueba del caso general. Thâbit Ibn Qurra atiende la petición y busca una nueva prueba, según él, en el espíritu de la «prueba socrática» particular, es decir, con el «método de reducción y composición», que «reduce a triángulos y recompone por yuxtaposición». Thâbit Ibn Qurra da dos demostraciones del tipo de congruencia por sustracción:
Leonardo da Vinci muestra también su ingenio con una prueba del Teorema de Pitágoras del tipo de congruencia por sustracción.
El esquema habitual de los cuadrados sobre los lados del triángulo rectángulo dado ABC es completado con los triángulos MBG y ENF equivalentes al dado. La recta LH común a las diagonales de los cuadrados sobre los catetos determina dos cuadriláteros LMGH, LACH, iguales. Asimismo la recta NB determina dos cuadriláteros BAEN, BCFN, iguales, y a su vez iguales a los resultantes de la división anterior, de donde resulta el Teorema al sustraer a cada uno de los pares de cuadriláteros dos triángulos rectángulos equivalentes al dado.
La demostración de Vieta es, sin duda, una de las más sencillas y originales.
A partir de la figura resulta:
DC = DA + AC = AB + AC, CF = AF – AC = AB – AC
DC ∙ CF = (AB+AC) ∙ (AB – AC) = AB2 – AC2.
Aplicando potencia respecto de la circunferencia (Euclides III.35) resulta:
DC ∙ CF = CB2,
de donde se obtiene: AB2 = AC2 + CB2.
La demostración de Perigal (hacia 1830)
Henry Perigal era un corredor de bolsa londinense y astrónomo aficionado que ideó hacia 1830 una sencilla prueba del Teorema de Pitágoras del tipo congruencia por adición, muy singular y elegante por su simetría, siendo publicada en su artículo «On geometric dissections and transformations» (Messenger of Mathematics, Vol. I, 1874, págs.103-105).
Perigal estaba tan entusiasmado con el hallazgo que hizo imprimir el anagrama de la figura en sus tarjetas de visita y repartió centenares de rompecabezas con las piezas que compuestas adecuadamente de dos maneras diferentes ilustraban el Teorema de Pitágoras. En el Este de Londres se le erigió un monumento con inscripciones que sintetizan su actuación matemática.
La demostración de Garfield (hacia 1876)
El veinteavo presidente de los Estados Unidos J.A.Garfield, que había desarrollado en su época de estudiante una gran habilidad y un gran interés por las Matemáticas, obtuvo una sencilla prueba del Teorema de Pitágoras, mientras era miembro de la Cámara de Representantes, cinco años antes de convertirse en presidente. Garfield encontró la prueba en una discusión matemática con algunos miembros del Congreso y enseguida se publicó en el New England Journal of Education
