El Teorema de Pitágoras en el mundo griego (2)
El Teorema de Pitágoras en Los Elementos de Euclides (1)
Euclides enuncia y demuestra el Teorema de Pitágoras en la Proposición I.47 de Los Elementos. La demostración de Euclides del Teorema de Pitágoras es una prueba muy elegante, que precisa un bagaje considerable de conocimientos geométricos, desarrollados por Euclides en las proposiciones anteriores de Los Elementos. La diferencia con la prueba de Pitágoras estriba en que Euclides utiliza las relaciones entre paralelogramos y triángulos con la misma base y situados entre las mismas paralelas, en vez de proporciones que ya no podían ser utilizadas, en forma pitagórica, después del descubrimiento de las magnitudes inconmensurables.
► «La meta ideal que procura alcanzar Euclides es deducir de un modo rigurosamente lógico todas las propiedades geométricas de ciertas premisas establecidas al principio. En la importancia de este intento reside la clave de la significación histórica de “Los Elementos” de Euclides».
— FELIX KLEIN. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Vol. II. Geometría. Biblioteca Matemática. Dr: J.Rey Pastor. Madrid, 1931. Pág.260.
► «Gran parte de lo que precede en “Los Elementos de Euclides” [a la Proposición I.47] apuntaba al gran “Teorema de Pitágoras”, que sirve de adecuado clímax al Libro I…. Su belleza radica en la economía de sus presupuestos. La sutileza de la demostración de Euclides es un ejemplo de la mejor Geometría».
— W.DUNHAM. Viaje a través de los genios. Pág. 76. Pirámide, Madrid, 1992.
Conocido el TEOREMA DE PITÁGORAS, para casos particulares, por la primigenia cultura matemática egipcia y babilónica y su demostración por el mundo pitagórico, digno es de ponderar la genial originalidad de la demostración de Euclides, sobre todo por la exigua economía instrumental utilizada: los postulados, las nociones comunes y las primeras proposiciones de sus “Elementos”:
►«PROPOSICIÓN I.47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es equivalente a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto [TEOREMA DE PITÁGORAS]».
Se observa que la proposición euclídea no trata de la habitual ecuación algebraica escolar: x²+y²=z², sino sobre una figura geométrica referida a cuadrados construidos sobre los tres lados de un triángulo rectángulo, en la que Euclides se propone demostrar que las áreas combinadas de los cuadrados menores construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado mayor construido sobre la hipotenusa.
Parece que Euclides está ansioso de situar lo más pronto posible el Teorema de Pitágoras en Los Elementos, ante la perentoria necesidad de utilizarlo ulteriormente con asiduidad, pero ante la imposibilidad de aplicar de forma tan temprana la Teoría de la Proporción de Eudoxo que será desarrollada en los Libros V y VI, basándose en las proposiciones descritas (I.36, I.41), realiza, con una estética inefable y con un ingenio sublime, la siguiente demostración:
El primer Libro I de Los Elementos de Euclides termina con el teorema más importantes de la Geometría elemental: El Teorema de Pitágoras (la Proposición I.47), donde alcanza una verdadera apoteosis geométrica la forma magistral y sumamente bella con que Euclides realiza la proeza de demostrar el Teorema, con una lógica intachable y una modesta economía de elementos geométricos construidos de forma muy cuidadosa en las proposiciones anteriores.
Al no poder utilizar las proporciones –por el fantasma de la presencia inexorable de las magnitudes inconmensurables– que suponen la aplicación de la semejanza –que no aparecerá en Los Elementos hasta el Libro VI–, Euclides agudiza el ingenio y obtiene el magnífico resultado aplicando elementos muy simples de Geometría. Entre ellos:
- La construcción de cuadrados sobre segmentos (I.46).
- Ángulos adyacentes que suman dos rectos (I.14).
- El primer teorema de congruencia de triángulos (I.4).
- La relación entre triángulos y paralelogramos que tienen la misma base y situados entre las mismas paralelas (I.36, I.41),
- Algún que otro postulado y axioma.
Como muy acertadamente señala W. Dunham en su obra: Viaje a través de los genios (Pirámide. Madrid, 1992, pág. 76):
« […] Gran parte de lo que precede [en Los Elementos de Euclides a la Proposición I.47] estaba apuntando al gran Teorema de Pitágoras, que sirve de adecuado clímax al Libro I.»
Los Elementos de Euclides es, sin duda alguna, el libro científico más traducido y divulgado a lo largo de la Historia de la Cultura y el Pensamiento científico. Es el texto que más veces se ha editado, después de La Biblia, siendo, además, la obra más influyente de toda la literatura matemática.
- El Teorema de Pitágoras en griego. Manuscrito de Los Elementosde Euclidesdel siglo XII. Biblioteca Nacional de París.
- Teorema de Pitágoras en chino. Manuscrito del siglo XVII.
- El Teorema de Pitágoras en latín. Traducción de Los Elementosde Euclidesal latín de fecha incierta. La primera traducción medieval al latín procede del árabe y es atribuida al filósofo escolástico Adelardo de Bath (1090- 1160). En ella las proposiciones se exponen someramente mediante diversas figuras y diagramas, y los únicos comentarios a las demostraciones se encuentran en el Libro I del manuscrito, quizá reafirmando la idea de que las enseñanzas medievales de Matemáticas se limitaban a los conocimientos más sencillos de los primeros libros de Los Elementos.
- Teorema de Pitágoras en árabe. Página de un Comentario de 1250 sobre Euclides
Proclo de Licia, en su importante y famoso “Comentario al libro I de Los Elementos de Euclides, escribe sobre Euclides y Los Elementos”:
► «Euclides, el autor de los Elementos, ordenó diversos trabajos de Eudoxo, mejoró los de Teeteto y produjo también demostraciones irrefutables para aquello que sus predecesores no habían probado de manera rigurosa».
► «Euclides era platónico en cuanto a su opinión y la filosofía del maestro le era muy familiar».
► «Son singularmente admirables sus Elementos de Geometría por el orden que reina en ellos, la selección de los teoremas y problemas tomados como elementos, pues no insertó en modo alguno todos los que podía dar, sino únicamente aquellos que son susceptibles de desempeñar el papel de elementos, y también la variedad de los razonamientos desarrollados de todas las maneras y que conducen a la convicción, ya partiendo de las causas, ya remontándose a los hechos, pero que son siempre irrefutables, exactos y del más científico carácter».
► «Los Elementos son una guía segura y completa para la consideración científica de los objetos de la Geometría».
► «Euclides dio los procedimientos que emplea la perspicaz inteligencia y por los cuales es posible ejercitar a los principiantes en el estudio de la Geometría para que reconozcan los paralogismos y eviten los errores»
