El Teorema de Pitágoras en el mundo griego (1)

Las demostraciones de Pitágoras

Según el filósofo neoplatónico Proclo (siglo V d.C.), en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides, Pitágoras marca un hito en la historia de la Matemática, porque transformó el saber geométrico en disciplina puramente teórica, investigando los teoremas de manera inmaterial y abstracta, es decir sin instrumentos ni mediciones materiales, sin referencia a materiales concretos y sólo por medio de la intuición de ideas y del discurso mental, dando el gran salto cualitativo, que supone el verdadero nacimiento en Grecia de las Matemáticas como ciencia especulativa y deductiva, más allá de la práctica empírica e inductiva de las civilizaciones del próximo, medio y lejano oriente.

Con Pitágoras podemos hablar del “Milagro griego en Matemáticas” como parte del milagro que supuso la inflexión radical que realizaron los griegos en el ámbito general de la Cultura y el Pensamiento.

En concreto, respecto del Teorema atribuido por tradición a Pitágoras, digamos que éste realiza la primera demostración del mismo. Entre la ley general que establece el Teorema y los casos específicos de la Geometría babilónica, egipcia, hindú o china, hay el abismo que media entre un instrumento primitivo que no se pregunta cómo funciona y un mecanismo universalmente aplicable. El aporte esencialmente original es que el Teorema da una verdad general y universal independiente de los particulares valores de los lados del triángulo rectángulo.

La prueba pitagórica del llamado Teorema de Pitágoras pudo ser tal vez, la primera demostración verdaderamente matemática de la Historia. He aquí pues, en la demostración, la aportación fundamental del Pitagorismo a la Matemática, valorado siempre muy por encima de sus magníficas y múltiples contribuciones particulares en ámbitos concretos de esta ciencia, siendo considerada, además, la demostración, como elemento esencial en “el tránsito del mito al logos”, que tiene lugar en la cultura griega. La demostración va mucho más allá de la mera persuasión de la Retórica en la que los griegos eran grandes maestros, pues es posible con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero –de ahí los reproches de Sócrates hacia los sofistas–. La demostración convence por la ilación argumental incontrovertible que alcanza algo legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la lógica. Por eso a partir de Pitágoras la Matemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva.

Diógenes Laercio en su Vida de los más ilustres filósofos griegos recoge (Pitágoras VIII.7) da una referencia de un tal Apolodoro «El Calculador» sobre Pitágoras, en la que asegura que este filósofo sacrificó una hecatombe –cien bueyes–, habiendo hallado que en un triángulo rectángulo

► «La potestad de la línea hipotenusa es igual a la potestad de las dos líneas [los catetos] que lo componen».

Continua diciendo que Apolodoro compuso un epigrama en verso:

►«Pitágoras hallada / aquella nobilísima figura /bueyes mató por ello en sacrificio».

También Vitrubio escribe en el Los diez libros de la Arquitectura (Libro IX, Cap.2):

►«Pitágoras halló y demostró teóricamente la forma de la escuadra, consiguiéndose por su raciocinio y método una escuadra perfecta: cosa que los artífices, después de mucho trabajo, apenas pueden lograr. Porque si se toman tres reglas, una larga de tres pies, otra de cuatro, y la tercera de cinco, adaptándolas de forma que se toquen unas a otras por sus extremidades en figura de triángulo, se tendrá una escuadra perfecta. […] Cuando Pitágoras halló esto, no dudando que las musas le habían iluminado en su invención, dicen que las hizo sacrificios en acción de gracias».

Asimismo, Proclo, en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides da cuenta de la invención pitagórica y del sacrificio ofrecido:

► «Si escuchamos a los que gustan recordar a los antiguos, encontraremos que ellos atribuyen este teorema a Pitágoras y dicen que sacrificó un buey cuando lo descubrió».

Según relatos de diversos escritores –Diógenes Laercio, Vitrubio, Plutarco, Ateneo, Proclo y otros– Pitágoras se dio cuenta del alcance de la demostración del teorema al que la historia bautizaría con su nombre y entusiasmado por el hallazgo ordenó una hecatombe –el sacrificio de cien bueyes a los dioses– como muestra de alegría y gratitud.

Pero según Los Versos Dorados (VD), síntesis de la enseñanza pitagórica, la metempsicosis o transmigración de las almas era una de las creencias más arraigadas en la comunidad pitagórica. De acuerdo con ella, la esencia del hombre, el alma, es inmortal (VD, 63), aunque temporalmente viva prisionera en un cuerpo perecedero, y a través de consecutivos procesos de purificación (VD, 66, 67), vaya transmigrando de cuerpo en cuerpo –de hombre o de animal– hasta desprenderse totalmente de toda impureza carnal (VD, 70) y escapar del ciclo de reencarnaciones para alcanzar la beatitud final fundiéndose con el alma universal, eterna y divina, a la que por su propia naturaleza pertenece (VD, 71). Ahora bien, el proceso de purificación y salvación del alma puede acelerarse mediante el uso de los poderes de la razón y la observación para la obtención del conocimiento (VD, 68, 69), es decir, mediante la Filosofía.

Esta doctrina pitagórica exigía un escrupuloso respeto a la vida animal lo que obligaba a abstenerse de comer carne y hacer sacrificios. Por tanto las anécdotas sobre presuntos sacrificios deben de ser apócrifas, ya que contradicen la filosofía religiosa pitagórica sobre la transmigración de las almas, pero han contribuido a magnificar el halo legendario, casi hagiográfico, que envuelve al personaje de Pitágoras, y, además, determinaron que en la Edad Media al Teorema de Pitágoras se le llamara «Inventum hecatombe dignum».

Ha habido muchas conjeturas en torno a la naturaleza de las presuntas pruebas de Pitágoras del Teorema asociado con su nombre. La tradición establece que Pitágoras habría dado una prueba empírica del Teorema del tipo disección con base en las figuras siguientes:

Consideremos los dos cuadrados iguales de la derecha de la figura. El primero de ellos se disecciona en seis piezas: los dos cuadrados sobre los catetos y cuatro triángulos rectángulos congruentes con el triángulo dado. El segundo cuadrado se disecciona en cinco piezas: el cuadrado sobre la hipotenusa y otra vez cuatro triángulos rectángulos congruentes con el triángulo dado. Si ahora sustraemos a los dos cuadrados considerados los aludidos cuatro triángulos rectángulos congruentes con el triángulo dado, resulta que el cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre los catetos.

La prueba descrita requiere la comprobación de que la pieza central de la segunda disección es realmente un cuadrado de lado la hipotenusa del triángulo rectángulo dado, lo cual depende del hecho de que

►«La suma de los ángulos de un triángulo rectángulo es igual a dos ángulos rectos» (Euclides, I.32),

proposición que para un triángulo general se atribuye a Pitágoras o a los Pitagóricos. Puesto que a su vez una prueba general de este resultado geométrico requiere un conocimiento de algunas propiedades del paralelismo, se imputa a los primeros pitagóricos el desarrollo, al menos preliminar, de esa teoría.

Muchos historiadores admiten que la demostración de Pitágoras se basaría en su propia Teoría de las Proporciones –imperfecta por aplicarse sólo a cantidades conmensurables–, de modo que la prueba de Pitágoras podría haber sido alguna de las dos siguientes:

Sea ABC un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en A, y sea AD perpendicular al lado BC. Según Euclides VI.8 los triángulos DBA y DAC son ambos semejantes con el triángulo ABC y semejantes entre sí.

• Prueba 1. De la semejanza de los triángulos ABC, DBA y DAC resulta:
• BA/BD = BC/BA, AC/CD = BC/AC (Euclides VI.4).

De aquí se obtienen las expresiones del llamado «Teorema del cateto»:

• BA² = BD·BC,   AC² = CD·BC,

de donde al sumar las dos expresiones, se obtiene:

• BA² + AC² = (BD+CD)·BC = BC·BC = BC²,

es decir:

• BA² + AC² = BC².

En esta demostración del Teorema de Pitágoras –basada en el Teorema del cateto–, se descompone, de forma implícita, el cuadrado sobre la hipotenusa, AC, en dos rectángulos, ADJK y DCIJ, cada uno de ellos con el mismo área que cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos –el rectángulo ADJK de área como el cuadrado ABEF sobre el cateto AB –ya que BA²=BD·BK, y el rectángulo DCIJ de área como el cuadrado BCHG sobre el cateto BC –ya que AC² = CD·CI–.

Debemos observar que la figura exhibida forma parte de la figura que utiliza Euclides en su demostración del Teorema de Pitágoras en la Proposición I.47 de Los Elementos de Euclides, y además, puntualizar que variantes de esta prueba se encuentran en el hindú Bhaskara, en Leonardo de Pisa (Fibonacci) y en Wallis.

• Prueba 2. De la semejanza de los triángulos ABC, DBA y DAC resulta, según Euclides VI.19 («la razón entre las áreas de los triángulos semejantes será igual al cuadrado de la razón de semejanza»):

DBA/AB² = DAC/AC² = ABC/BC²

pero de las propiedades de la suma de proporciones (Euclides 5.12) resulta:

ABC/BC² = DBA/AB² = DAC/AC² = (DBA+DAC)/(AB²+AC²) = ABC/(AB²+AC²)

por tanto se tiene:

AB²+AC² = BC².

Como vemos, estas pruebas del Teorema de Pitágoras mantienen su plena vigencia en los libros de texto de matemáticas escolares elementales.

Los pitagóricos buscaron ávidamente el camino para obtener ternas de números a, b, c, cumpliendo a²+b²=c², encontrando una ley de formación que se puede expresar en la forma:

En las «Ternas pitagóricas de Pitágoras» la hipotenusa y el cateto mayor se diferencian en una unidad. Además, para m=3 resulta el «Triángulo egipcio», mientras que para m=5 resulta el origen del «Triángulo indio».

Sobre la importancia histórica del Teorema de Pitágoras como origen de la aparición del fenómeno de la demostración que en el mundo griego dará carta de naturaleza a la Geometría racional, y por ende al verdadero nacimiento en Grecia de las Matemáticas como ciencia especulativa y deductiva, transcribimos unas significativas citas de dos importantes historiadores de la Matemática:

Abel Rey (El apogeo de la ciencia técnica griega, UTEHA, México, 1962. Vol.1. Págs.11, 13):

► «La demostración guió a los pitagóricos. Desde entonces el método y la actitud del pensamiento son búsqueda de lo necesario y de lo universal, y el Teorema de Pitágoras, en primer lugar, sirve en esto de completa ilustración.»

► «La universalidad del teorema de Pitágoras y la invención de la demostración geométrica son las hadas que vemos en torno a la cuna de la Geometría griega, del milagro griego en matemática y del espíritu científico que ha llegado hasta nosotros.»

H.G.Zeuthen. (Théorème de Pythagore, origine de la Géométrie scientifique, II Congreso internacional de Ginebra, 1904).

►«El Teorema de Pitágoras constituyó el origen de la Geometría racional en la Escuela Pitagórica y las deducciones que paulatinamente fue realizando la Escuela, tuvieron por objeto lograr una demostración general del teorema, advertida su verdad en casos particulares».

Entre la dimensión de lo sensible – construcción con guijarros del Triángulo egipcio – y la esfera de lo intelectual – demostración del Teorema de Pitágoras – los pitagóricos desarrollan, como miembros de una comunidad de carácter científico, filosófico, místico y religioso, actividades que persiguen desarrollar la racionalidad hasta alcanzar en el ámbito matemático el núcleo de la demostración.

      PITÁGORAS Y SU TEOREMA EN LOS SELLOS DE CORREOS

 Resulta maravilloso contemplar, como la imagen pitagórica del Teorema de Pitágoras aparece en una bellísima imagen que representa a la Geometría, en el Quadrivium de las Artes Liberales de la Catedral de Colonia