El Teorema de Pitágoras en las civilizaciones prehelénicas
Una tradición muy persistente, que toma como base documental a Plutarco, Diógenes Laercio y Proclo, atribuye el Teorema de Pitágoras al propio Pitágoras. Pero el examen arqueológico realizado en el pasado siglo de las tablillas de arcilla encontradas en Mesopotamia, pertenecientes a las civilizaciones que se desarrollaron entre los ríos Tigris y Éufrates, en el segundo milenio antes de J.C., ha revelado que los antiguos babilonios conocían aspectos del Teorema, más de mil años antes que el propio Pitágoras. Algo similar se puede afirmar respecto de las culturas que aparecieron a lo largo del río Nilo, así como de la antigua civilización hindú y de las antiguas civilizaciones chinas que surgieron en las cuencas de los ríos Yangtze y Amarillo. Pero parece ser que no lo conocían las grandes civilizaciones precolombinas de América, ni tampoco las del continente africano, exceptuando la egipcia.
Las referencias prehelénicas al Teorema no contienen, sin embargo, pruebas demostrativas del mismo, mientras que es generalizada la creencia de que fue Pitágoras el primero en proporcionarnos una demostración lógica del Teorema, lo que hará justo que éste haya pasado a la historia con su nombre.
El análisis histórico de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo se puede dividir en tres estadios de desarrollo. En el estadio inicial, puramente aritmético y empírico‑práctico se obtienen resultados numéricos concretos para los lados del triángulo. En el estadio siguiente aritmético‑geométrico, se obtienen leyes generales de formación de los lados. Finalmente se penetra en la profundidad del pensamiento matemático investigando las demostraciones de los resultados generales de los estadios precedentes. Las dos primeras etapas corresponden a las civilizaciones orientales aludidas, mientras que a la tercera etapa sólo contribuyeron los griegos, particularmente Pitágoras y Euclides.
El Teorema de Pitágoras en Babilonia
Mucho antes de que Pitágoras enunciara la ley general a la que la Historia ha bautizado con su nombre, la Babilonia de la dinastía de Hammurabi sabía cómo calcular ternas de números pitagóricos.
La Arqueología ha recuperado cerca de medio millón de tablillas de arcilla con textos cuneiformes, de las cuales casi trescientas tienen contenido matemático. Entre ellas sobresalen la tablilla YALE o YBC 7289, conservada en la Universidad de Yale y la PLIMPTON 322 en la Universidad de Columbia.
La tablilla YALE está fechada hacia 1600 a.C. Figura en ella un cuadrado, los triángulos rectángulos resultantes de trazar las diagonales y varios números en caracteres cuneiformes escritos en el sistema de numeración sexagesimal babilónico, basado en las potencias de 60. La relación con el Teorema de Pitágoras se observa al traducir estos números a nuestro sistema decimal.
En la diagonal horizontal aparece un número que al transcribirlo en caracteres modernos se expresaría en la forma: 1; 24, 51,10, donde el punto y coma representa la separación entre la parte entera y la fraccionaria –como nuestra coma o nuestro punto decimal– y las comas se utilizan para separar las sucesivas posiciones sexagesimales. Es decir, que para pasar a nuestro sistema decimal se haría:
.
Es realmente sorprendente que resulte el valor de con una aproximación bastante superior a la que obtendrían los griegos muy posteriormente.
En la parte superior de la tablilla YALE aparece el número 30; mientras que en la parte inferior aparece 42; 25,35, que pasados a decimales resultan ser los números 30 y 42,426389, respectivamente. Dado que la diagonal de un cuadrado se obtiene –aplicando el Teorema de Pitágoras– multiplicando el lado por, y se comprueba que:
42; 25,35 » 30 ·,
es decir:
42,426389 » 30 · 1,41421.
Las relaciones aritméticas entre los números que aparecen en la tablilla YALE resultan ser un caso particular de una implícita aplicación primitiva y empírica del Teorema de Pitágoras.
La tablilla PLIMPTON es el documento matemático más importante de Babilonia. Está fechada entre 1900 y 1600 antes de J.C. y ha sido descrita por varios historiadores, siendo muy significativa la interpretación que dieron en 1945 Neugebauer y Sachs en Mathematical Cuneiform Texts.
La tablilla PLIMPTON parece un simple registro de cuentas de operaciones comerciales, pero los intérpretes han querido ver una descripción empírica de números pitagóricos e incluso de primitivas tablas trigonométricas.
La tablilla consta de cuatro columnas de números distribuidos en 15 filas horizontales. En la primera tabla se reproducen las tres últimas columnas en nuestro sistema decimal, habiéndose corregido algunos errores aritméticos según las orientaciones de Neugebauer. La columna del extremo derecho contiene los números del 1 al 15 y representa meramente el número de orden de cada línea de números.
La parte de la tablilla que se conserva está algo dañada, de forma que no permite leer algunos números, sobre todo en la primera columna, pero una vez descubierta la ley de formación de la tabla, ha sido posible reconstruir los números que faltaban.
Las columnas segunda y tercera representan el cateto menor b y la hipotenusa c de triángulos rectángulos de lados enteros, o la altura b y la diagonal c de un rectángulo
De las diversas investigaciones parece deducirse que los escribas que construyeron la tablilla debieron comenzar por tomar dos enteros sexagesimales regulares –enteros cuyos únicos divisores primos son 2, 3 y 5, es decir, los divisores primos de 60–, u, v, con u>v, y formar con ellos la terna de números:
a = 2uv, b = u2 – v2, c = u2 + v2,
que como se comprueba fácilmente forman una terna pitagórica, es decir: a2+b2=c2.
Así se obtendría la segunda tabla que contiene valores de a, b, c, que corresponden a valores de v menores que 60 y a valores de u tales que 1<u/v<1+, es decir, a triángulos rectángulos con catetos b<a.
Por ejemplo, los números que aparecen en la primera fila de la tabla se obtienen a partir de u=12, v=5, a los que corresponden los valores a=120, b=119, c=169, siendo los valores de b y c los que aparecen en segundo y tercer lugar, respectivamente, en la primera fila de la tablilla PLIMPTON.
La tablilla contiene 15 de las 38 ternas pitagóricas que existen en las condiciones definidas y están ordenadas de forma decreciente de la razón c/a, lo cual ha permitido conjeturar que la primera columna de la tablilla sería una tabla de valores de los cuadrados de la secante del ángulo B o una tabla de valores de los cuadrados de la tangente del ángulo B. Al ser 1 + tg2B = sec2B y comenzar todos los números de la columna inicial por el dígito 1, al estar la tablilla parcialmente deteriorada por la izquierda, no es posible determinar cual de las dos hipótesis, la de la secante o la de la tangente, es la cierta.
EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y LAS TERNAS PITAGÓRICAS
EN EL SISTEMA NUMÉRICO SEXAGESIMAL BABILÓNICO
Las más antiguas manifestaciones de cuestiones matemáticas vinculadas al Teorema de Pitágoras proceden de la cultura mesopotámica anterior a 1500 a.C.
Junto a documentos en arcilla que contienen ejercicios sobre casos específicos de ternas pitagóricas, han sido encontradas diversas tablillas con ilustraciones del Teorema de Pitágoras en el caso concreto del triángulo rectángulo isósceles.
La cultura babilónica poseía un sistema de numeración posicional sexagesimal, antecedente del actual sistema posicional decimal de origen indo-arábigo. Para ponderar el valor del sistema numeral posicional, recordemos lo inmanejable que era para escribir números grandes y para realizar operaciones aritméticas el sistema de numeración romano y todavía más el griego, que utilizaban letras del alfabeto para representar los números. El hecho de que con sólo diez símbolos, independientes de cualquier lenguaje concreto, puedan escribirse todos los números y puedan realizarse de manera tan sencilla todas las operaciones aritméticas, convierte al sistema posicional en uno de los instrumentos más potentes y valiosos de la Ciencia y por ende en uno de los logros más sublimes del espíritu humano, comparable a la escritura.
El Teorema de Pitágoras en Egipto
Los famosos papiros de Rhind y de Moscú, a pesar de su alto valor matemático, no mencionan el Teorema de Pitágoras ni las ternas pitagóricas. No obstante, los egipcios conocían y utilizaban el hecho de que el triángulo de lados 3, 4 y 5 (o proporcionales a estos números), llamado «Triángulo egipcio», es rectángulo, para trazar una línea perpendicular a otra, a modo de «escuadra de carpintero», que era una práctica habitual de los agrimensores oficiales para recuperar las fronteras de los lindes de las tierras, tras los periódicos corrimientos de tierras producidos por las crecidas del río Nilo.
Todas las pirámides de Egipto, excepto la de Keops, incorporan, de alguna manera, este triángulo rectángulo en su construcción, el cual añade a su sencillez –que permite una comprobación visual instantánea del Teorema– el hecho de ser el único cuyos lados son enteros consecutivos, teniendo los obtenidos por proporcionalidad los lados en progresión aritmética.
Según el Padre Sigüenza, cronista y Prior del Monasterio de El Escorial (Historia de la Orden de San Jerónimo, Madrid, 1909, pág. 582):
► «Los AEGEPTI SACERD son los filósofos de Egipto, los primeros en utilizar los métodos geométricos para medir bien las tierras que riega el Nilo. La Geometría tuvo, pues, en Egipto su principio, porque como el Nilo baña e inunda las tierras con sus crecientes y turba la división de las posesiones y heredades, encargaron a los sacerdotes que se las tornasen a partir de la Geometría, mostrándoles con la razón matemática que no padecían ningún agravio. La Geometría sería así admirada como ciencia justa».
También San Isidoro sostiene, en el Libro III de Las Etimologías, los mismos argumentos acerca del origen de Geometría como instrumento de restitución de la propiedad de la tierra tras las periódicas inundaciones producidas por el desbordamiento del río Nilo (Isidoro de Sevilla, Etimologiarium III, de Mathematica, Universidad de León, Cátedra de San Isidoro de la Real Colegiata de León, III.10, pág.25):
► «Se cuenta que la ciencia geométrica fue iniciada por los egipcios, ya que, al desbordarse el Nilo y borrarse con el limo los lindes de los campos, se comenzó -y esto dio nombre a esta disciplina- a delimitar mediante líneas y medidas las tierras que debían dividirse. Más tarde esta ciencia llegó a una altura tal, que comenzaron a medirse también los espacios marinos, los del cielo y el firmamento: una vez conocidas las dimensiones de la tierra, los hombres, arrastrados por su afán de estudio, emprendieron la investigación de los ámbitos del cielo […]. Pero como esta ciencia tuvo su inicio en la medición de la tierra, conservó por ello el nombre de lo que fue su origen. De ahí su denominación de Geometría, derivada de “tierra” y de “medida”.»
Con anterioridad, Proclo en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides, escribe:
►« […] Muchos autores creen que la Geometría que nació de la medida de los campos, la inventaron los egipcios porque necesitaban medirlos, ya que los desbordamientos del Nilo borraban los límites de las propiedades […].»
La mención explícita de la relación pitagórica aparece en Egipto,en un papiro de la XII dinastía –hacia el 2000 a.C.– encontrado en Kahun.
Se tratan de cuatro casos numéricos concretos proporcionales a los del Triángulo egipcio:
–1² + (3/4)² = (1¼)², 8² + 6² = 10², 2² + (1½)² = (5/4)², 16² + 12² = 20².
