LA DEMOSTRACIÓN
Y EL MILAGRO GRIEGO EN MATEMÁTICAS
La prueba pitagórica del llamado Teorema de Pitágoras pudo ser tal vez, la primera demostración verdaderamente matemática de la Historia. He aquí pues, en la demostración, la aportación fundamental del Pitagorismo a la Matemática, valorado siempre muy por encima de sus magníficas contribuciones particulares en ámbitos concretos de esta ciencia, siendo considerada, además, la demostración, como elemento esencial en el tránsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega. La demostración va mucho más allá de la mera persuasión de la Retórica en la que los griegos eran grandes maestros, pues es posible con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero –de ahí los reproches de Sócrates hacia los sofistas–. La demostración convence por la ilación argumental incontrovertible que alcanza algo legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la lógica. Por eso a partir de Pitágoras la Matemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva.
El filósofo neo‑platonico Proclo (siglo V d.C.) en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides da unas valiosísimas referencias biográficas y bibliográficas, que constituyen un resumen sumario de la historia de las Matemáticas griegas desde los orígenes hasta Euclides, y que tiene la excepcional importancia de ser uno de los escasos documentos escritos sobre los primeros matemáticos griegos. Sobre Pitágoras escribe:
► «Pitágoras transformó la doctrina de Tales en enseñanza liberal, examinó desde lo alto los principios de la Geometría, investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas [poliedros]».
Según Proclo, Pitágoras marca un hito en la historia de la Matemática, porque transformó el saber geométrico en disciplina puramente teórica, investigando los teoremas de manera inmaterial y abstracta, es decir sin instrumentos ni mediciones materiales, sin referencia a materiales concretos y sólo por medio de la intuición de ideas y del discurso mental, dando el gran salto cualitativo, que supone el verdadero nacimiento en Grecia de las Matemáticas como ciencia especulativa y deductiva, más allá de la práctica empírica e inductiva de las civilizaciones del próximo, medio y lejano oriente. Con Pitágoras podemos hablar del Milagro griego en Matemáticas como parte del milagro que supuso la inflexión radical que realizaron los griegos en el ámbito general de la Cultura y el Pensamiento.
En concreto respecto del Teorema atribuido por tradición a Pitágoras, digamos que éste realiza la primera demostración del mismo. Entre la ley general que establece el Teorema y los casos específicos de la Geometría babilónica, egipcia, hindú o china, hay el abismo que media entre un instrumento primitivo que no se pregunta cómo funciona y un mecanismo universalmente aplicable. El aporte esencialmente original es que el Teorema da una verdad general y universal independiente de los particulares valores de los lados del triángulo rectángulo.
Sobre la importancia histórica del Teorema de Pitágoras, como origen de la aparición del fenómeno de la demostración, que en el mundo griego dará carta de naturaleza a la Geometría racional, y por ende al verdadero nacimiento en Grecia de las Matemáticas como ciencia especulativa y deductiva, transcribimos unas significativas citas de dos importantes historiadores de la Matemática:
Abel Rey (El apogeo de la ciencia técnica griega, UTEHA, México, 1962. Vol.1. pags.11, 13):
► «La demostración guió a los pitagóricos. Desde entonces el método y la actitud del pensamiento son búsqueda de lo necesario y de lo universal, y el Teorema de Pitágoras, en primer lugar, sirve en esto de completa ilustración.»
► «La universalidad del teorema de Pitágoras y la invención de la demostración geométrica son las hadas que vemos en torno a la cuna de la Geometría griega, del milagro griego en matemática y del espíritu científico que ha llegado hasta nosotros.»
H.G.Zeuthen. (Théorème de Pythagore, origine de la Géométrie scientifique, II Congreso internacional de Ginebra, 1904) :
► «El Teorema de Pitágoras constituyó el origen de la Geometría racional en la Escuela Pitagórica y las deducciones que paulatinamente fue realizando la Escuela, tuvieron por objeto lograr una demostración general del teorema, advertida su verdad en casos particulares. »
Pitágoras desarrolló en su comunidad dos modos de enseñanza, que darían lugar según Jámblico (Vida Pitagórica, XVIII. 80-87) a dos tipos de miembros en la primitiva comunidad pitagórica:
- Los Matemáticos («conocedores»), jóvenes especialmente dotados para el pensamiento especulativo abstracto generador del conocimiento científico y matemático, y creadores de ideas, conceptos y demostraciones.
- Los Acusmáticos («auditores»), hombres más maduros y más simples, pero igualmente valiosos y virtuosos, que reconocían la verdad de forma intuitiva a través de los sentidos, los dogmas y las creencias, y basaban su sabiduría en principios indemostrables, sentencias y aforismos.
Porfirio es más explícito cuando define los dos tipos de pitagóricos –Matemáticos y Acusmáticos– independientes de su edad (Vida de Pitágoras, 37):
►«Matemáticos eran los que él [Pitágoras] había adiestrado en las partes más profundas y eran instruidos con rigor acerca del fundamento de la ciencia. Los Acusmáticos, en cambio, atendían sólo a instrucciones compendiadas de los escritos, sin una descripción rigurosa.».
Pitágoras y los pitagóricos matemáticos fueron los primeros en someter la Matemática a la exigencia de la rigurosa deducción lógica. La evidencia sensible que concluía para los acusmáticos en una receta útil se manifiesta, para los matemáticos, insuficiente en el plano de las necesidades racionales, lo que obliga a trascender lo que hasta entonces era la práctica empírica sobre los casos particulares y desarrollar métodos deductivos para demostrar de forma general. Cierto que en muchas ocasiones la comprobación geométrico-empírica de carácter inductivo de los acusmáticos puede satisfacer el espíritu y producir resultados visualmente palmarios, como ocurre en la inmensa parafernalia de fórmulas aritméticas que los propios pitagóricos obtienen con el atomismo numérico-geométrico de los números poligonales, pero hay problemas de la Matemática como el propio Teorema de Pitágoras en los que sólo una rigurosa demostración, como acto intelectual puro, más allá de la intuición sensible, puede resultar satisfactorio
Como se ha venido mencionando, la relación entre los lados de un triángulo rectángulo ha sido siempre un tema de interés esencial para las matemáticas de casi todas civilizaciones. La primera y más sobresaliente de estas relaciones es el TEOREMA universalmente asociado, por tradición, con el nombre de PITÁGORAS, que enunciado en términos estrictamente geométricos es:
- «El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos».
A veces conviene exhibir una manifiesta y ostensible “prueba visual” del Teorema de Pitágoras (tal y como se ha enunciado) como la siguiente:
Hay que tener muy presente que la “prueba visual” (entre comillas) no es una demostración, pero es un elemento que guía sobremanera a la intuición matemática, primero hacia la verdad y después hacia la demostración apodíctica.
Entre la dimensión de lo sensible –construcción con guijarros del Triángulo egipcio– y la esfera de lo intelectual –demostración del Teorema de Pitágoras– los pitagóricos desarrollan, como miembros de una comunidad de carácter científico, filosófico, místico y religioso, actividades que persiguen el conocimiento del Cosmos como universo ordenado por el maravilloso poder de la armonía matemática y musical.
En su interesante obra, Great Moments in Mathematics, H.Eves (The mathematical association of America, 1977. Cap.4, pp.39–40) escribe:
► «En 1971 Nicaragua emite una serie de sellos en homenaje a las “diez fórmulas matemáticas más importantes”. Cada sello lleva una fórmula particular acompañada de una apropiada ilustración y en su reverso aparece un breve texto en español que comenta la importancia de la fórmula. Uno de los sellos de la serie honra la relación pitagórica. Debe ser muy grato para los científicos y los matemáticos ver esas fórmulas tan ponderadas, ya que ellas han contribuido al desarrollo humano mucho más que los generales y reyes tan frecuentemente estampados en los sellos».
