El Teorema de Pitágoras como cuestión que más se recuerda de la Matemática escolar es un activo cultural de primer orden que pertenece a la base intelectual común de la humanidad.
En sentido cultural, Homero es a Grecia, lo que Shakespeare es a Inglaterra, Goethe es a Alemania, Cervantes es a España y el Teorema de Pitágoras es a las Matemáticas, algo universal que es independiente de los lenguajes específicos y trasciende las fronteras culturales.
El Teorema de Pitágoras es con razón un símbolo de todas las Matemáticas.
El Teorema de Pitágoras es tal vez la relación matemática más importante, más conocida, más admirada, más aludida, más popular, que más nombres y más pruebas ha recibido, y la que ocupa el primer plano en el recuerdo de los tiempos escolares. Todo ello hace justicia a su relevante valor práctico, teórico, histórico y didáctico. Al ser la fuente de muchas de las relaciones métricas que aparecen en la Geometría elemental, el Teorema de Pitágoras es el más útil y espléndido.
La magnífica grandeza del Teorema de Pitágoras inicia una decisiva inflexión intelectual entre la práctica empírica e inductiva y la argumentación deductivo-demostrativa, tanto en el devenir histórico cultural matemático –germen de la Matemática racional en Grecia– como en el espacio escolar de la Educación matemática –umbral de la Matemática deductiva elemental–.
En las Matemáticas de casi todas las civilizaciones históricas, las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo han sido siempre uno de los temas más relevantes objeto de estudio y especulación. La primera y más sobresaliente de estas relaciones es el teorema universalmente asociado, por tradición, con la figura de Pitágoras, en el que se establece:
►«El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos».
Este enunciado es considerado por muchos historiadores de la Matemática como el más deslumbrante, atractivo, famoso y útil teorema de la Geometría elemental, porque ha marcado un hito fundamental en la Historia de las Matemáticas. Además de Teorema de Pitágoras, se le ha llamado de muy diversas formas a lo largo de la Historia. Los griegos le llamaban Teorema de la mujer casada, en la Edad Media se le apodó Inventum hecatombe dignum y Magister matheseos y muy habitualmente se le ha llamado la proposición I.47, atendiendo al lugar que ocupa en Los Elementos de Euclides.
Ningún teorema matemático ha recibido tanta atención y curiosidad y tantas pruebas, ilustraciones y demostraciones de personajes muy diferentes y con intereses intelectuales muy diversos y heterogéneos. Es un teorema que ha causado una gran admiración a todo tipo de personas, matemáticos y no matemáticos, pero también una gran extrañeza y perplejidad a otras –Leonardo da Vinci, Hobbes, Schopenhauer, Einstein,…– porque, a diferencia de otros teoremas, aparentemente no existe ninguna razón intuitiva para que los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo –la hipotenusa y los catetos– deban tener un vínculo tan estrecho entre sí.
La verosimilitud del Teorema de Pitágoras no depende de un dibujo bien ilustrado, sino que obedece por completo a un ejercicio intelectual puro alejado de lo sensorial –la deducción lógica y matemática–. Por eso, para muchos historiadores de la Ciencia, el Teorema de Pitágoras tiene un valor simbólico iniciático como elemento cultural responsable de la aparición de la Geometría racional en la Escuela pitagórica y por tanto forma parte ineludible de la semilla básica de la propia naturaleza de la Matemática desde su origen, como ciencia especulativa y deductiva en los albores de la civilización helénica.
La emergencia de este teorema en el horizonte histórico cultural pero también en el horizonte escolar señala el primer salto intelectual entre los confines de la especulación empírica y los dominios del razonamiento deductivo. Así es, puesto que el Teorema de Pitágoras pudo estar en el origen de la idea de “demostración” –que caracteriza a la Matemática como ciencia deductiva, con respecto a las demás ciencias– ya que la prueba pitagórica del Teorema de Pitágoras tal vez sea la primera demostración verdaderamente matemática de la Historia–. Y también el Teorema de Pitágoras está situado en el umbral que inicia una pauta deductiva en el desarrollo de la Matemática escolar elemental.
Insistimos en que la magnífica grandeza del Teorema de Pitágoras inicia una decisiva inflexión intelectual entre la práctica empírica e inductiva y la argumentación deductivo-demostrativa, tanto en el devenir histórico cultural matemático –germen de la Matemática racional en Grecia– como en el espacio escolar de la Educación matemática –umbral de la Matemática deductiva elemental–.
El Teorema de Pitágoras aparece por doquier en la Matemática. Es la base de multitud de teoremas geométricos, de los estudios sobre polígonos y poliedros, de la Geometría Analítica y de la Trigonometría –la fórmula cos2a+sen2a=1 es un caso particular del Teorema de Pitágoras y el Teorema del coseno es una generalización del mismo–. La ecuación pitagórica x2+y2=z2 es la ecuación de la circunferencia y la raíz histórica del Análisis indeterminado de Diofanto y Fermat.
El Teorema de Pitágoras también resultó ser el germen de la dramática aparición de la inconmensurabilidad en la Escuela Pitagórica, de gran trascendencia en la estructuración y sistematización euclídea de la Geometría griega. De hecho el Teorema de Pitágoras es fundamental en la aparición y desarrollo de las raíces cuadradas de números, de importancia vital en el cálculo de diagonales de cuadrados y rectángulos.
Así pues, por todo lo dicho y por lo que diremos acerca del Teorema de Pitágoras, estamos ante un auténtico paradigma para la Matemática y sobre todo para la Educación matemática. Por esto y por la universalidad que le caracteriza, el Teorema de Pitágoras pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos.
A lo largo de próximos artículos, se pasará revista a los saberes geométricos y aritméticos vinculados al llamado Teorema de Pitágoras que desarrollaron casi todas las civilizaciones orientales prehelénicas –Babilonia, Egipto, India y China– para entrar después en el mundo griego a través de Pitágoras, cruzarlo por la Academia de Platón y recalar en Euclides, cuyas demostraciones paradigmáticas revisten una singular y trascendental importancia histórica.
Se estudiarán muchas otras pruebas de los más diversos personajes, que por su riqueza conceptual merecen ser destacadas como auténticas joyas de sabiduría geométrica en las que el afamado teorema logra magnificar su frescura y su belleza. Después se abundará en diversas generalizaciones y numerosas curiosidades vinculadas al más célebre y popular teorema de la geometría.
Las facetas y vertientes históricas se conjugan con las propiamente geométricas, didácticas, recreativas y curiosas, en un trabajo interdisciplinar de compilación y codificación exhaustiva de los aspectos matemático-culturales vinculados al más fascinante teorema geométrico.
A lo largo del trabajo realizado se estudiarán las cuestiones matemáticas implicadas con todo lujo de detalles, muchos de ellos, por supuesto de tipo técnico matemático, sobre los problemas geométricos involucrados, pero se abundará también en multitud de aspectos históricos, filosóficos, artísticos, literarios, recreativos,…, y en general de múltiple cariz cultural sobre los que los problemas matemáticos intervienen y a su vez son influidos. Y se hace desde sus orígenes en las civilizaciones orientales y en el mundo helénico y a lo largo de toda la Historia, hasta la actualidad.
Los argumentos que se despliegan en estos artículos se sustentan de forma esencial en numerosos fragmentos de textos originales de los matemáticos artífices de las teorías, así como de filósofos y escritores, que se han manifestado sobre ellas. También se apoyan en las opiniones y reflexiones que sobre las Matemáticas han vertido numerosos pedagogos, historiadores y filósofos de la Ciencia y de la Matemática.
A lo largo de los documentos se insertan numerosas y originales ilustraciones que siempre tienen una relación contextual con el tema. Son piezas artísticas de una gran belleza en las que las cuestiones pitagóricas (o geométricas, en general) son los protagonistas. Algunas de estas ilustraciones son portadas o páginas significativas de famosas ediciones de obras matemáticas, auténticas joyas matemáticas iconográficas, a las que acompañan breves explicaciones sobre la evolución de la edición matemática y un sucinto estudio de la importancia de la obra en la Historia de las Matemáticas, en relación con el tema concreto que se está estudiando. Toda esta iconografía en la Matemática y Matemática en la iconografía sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica y es una palmaria manifestación de los vínculos estrechos que han mantenido a lo largo de la Historia de la Cultura las Ciencias Matemáticas con La Filosofía y las Artes.
A través de estos estudios comprobamos de forma fehaciente que la Historia de las Matemáticas es una fuente inagotable de material didáctico, de ideas y problemas interesantes y también, en un alto grado, de diversión y recreo intelectual, en suma de perfeccionamiento personal, científico y profesional. Además, la Historia de las Matemáticas como lugar de encuentro entre las ciencias y las humanidades es una magnífica herramienta de enriquecimiento cultural.
☻ 10 Citas memorables sobre el Teorema de Pitágoras
► «La Geometría tiene dos grandes tesoros, uno es el Teorema de Pitágoras y otro la división de un segmento en media y extrema razón. Si el primero es una joya de oro, el segundo viene a ser una piedra preciosa».
▬ Kepler. Mysterium Cosmographicum, 1596.
► «Este Teorema constituyó el origen de la Geometría racional en la Escuela Pitagórica y las deducciones que poco a poco fue realizando la Escuela, tuvieron por objeto lograr una demostración general del teorema, advertida su verdad en casos particulares».
▬ H.G.Zeuthen. (Théorème de Pythagore, origine de la Géométrie scientifique, II Congreso internacional de Ginebra,1904).
► «A los 12 años un tío mío me había contado el Teorema de Pitágoras antes de que la Santa Geometría cayera en mis manos. […] Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento».
▬ Sketch autobiógráfico sobre A. Einstein en Philosopher-Scientist. P.A.Schilpp, 1951.
► «Cientos de pruebas ha sugerido la proposición pitagórica. […] Una de las primeras es la de Los Elementos de Euclides que ha soportado la prueba del tiempo mejor que cualquier otra».
▬ D.Smith. History of Mathematics. Dover. New York, 1958. Vol. 2, pág. 289.
► «La demostración guió a los pitagóricos. Desde entonces el método y la actitud del pensamiento son búsqueda de lo necesario y de lo universal, y el Teorema de Pitágoras, en primer lugar, sirve en esto de completa ilustración».
▬ A.Rey. El apogeo de la ciencia técnica griega (UTEHA, México, 1962. Vol.1. pág. 11).
► «La universalidad del teorema de Pitágoras y la invención de la demostración geométrica son las hadas que vemos en torno a la cuna de la Geometría griega, del milagro griego en matemática y del espíritu científico que ha llegado hasta nosotros».
A.Rey. El apogeo de la ciencia técnica griega. UTEHA, México, 1962. Vol.1. pág.13.
► «Este teorema con la multitud de demostraciones del mismo ilustra de forma sorprendente el hecho de que hay muchas formas de alcanzar la misma verdad».
▬ E.S.Lomis. The Pythagorean Proposition. NCTM, 1968. pág. 3.
► «El Teorema de Pitágoras ha tenido ocupados a los matemáticos desde la época clásica hasta el presente. […] Sus múltiples demostraciones ilustran la agilidad de los matemáticos al atacar el mismo problema desde ángulos diferentes. […] Con independencia de la frecuencia con que se demuestre, el Teorema de Pitágoras logra siempre retener su belleza, su frescura y su eterno sentido de admiración».
▬ W.Dunham. El Universo de las Matemáticas. Pirámide. Madrid, 1995. Cap.H. págs.136, 153.
► «El Teorema de Pitágoras es un activo cultural de primer orden que pertenece a la base intelectual común de la humanidad. […] Es con razón un símbolo de todas las Matemáticas».
▬ B.ARTMANN. Euclid–The Creation of Mathematics. Springer. New York, 1996, pág. 57
► «En la demostración de Euclides del Teorema de Pitágoras están mezcladas de tal modo la intuición y la lógica, que cada paso lógico está evidenciado intuitivamente».
▬ Felix Klein. Feliz Klein. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Vol. II. Geometría Biblioteca Matemática. Dtor: J.Rey Pastor. Madrid, 1931. pág.319.
▬ Felix Klein. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Vol. II. Geometría Biblioteca Matemática. Dtor: J.Rey Pastor. Madrid, 1931. pág. 319.
