Los números poligonales
La aritmo-geometría pitagórica se prestaba por sí misma a una representación geométrica de las magnitudes. Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en la arena y los clasificaban según las formas poligonales de estas distribuciones de puntos.
La asociación del número con la imagen geométrica permitió a los pitagóricos la representación visual de los números combinando las dos esencias con que tiene que ver la Matemática: el número y la forma, confiriendo a los números propiedades y relaciones entre ellos que son completamente independientes de todo simbolismo introducido para representarlos, otorgándoles de este modo un carácter universal e inmutable.
La consideración de los números poligonales y su representación geométrico-visual permitía, por una parte, constatar que ciertos números tienen características diferentes que otros a tenor de las diferentes configuraciones geométricas a que dan lugar, y por otra, el descubrimiento de forma geométrico-empírica, casi corpórea, de importantes propiedades de los números y la obtención de interesantes relaciones entre ellos. La polifiguración numérica llevaba a extender conceptos de la Aritmética como generalización de la experiencia práctica, desarrollando un atomismo numérico bellamente ilustrado en una geometría de números figurados. Estos, que son las primeras y las más simples estructuras de la Geometría numérica están en el corazón de las Matemáticas y constituyen la matriz del desarrollo ulterior de la Teoría de Números.
Los números poligonales aparecieron en los albores de la Escuela Pitagórica como un elemento esencial de su misticismo numérico: «no sólo las cosas son en esencia números sino que los números son concebidos como cosas», de modo que las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos, triángulos y cuadrados.
El tema se convirtió en uno de los tópicos pitagóricos más habituales tratado por Filipo (en La Academia platónica), así como por Hipsicles (autor de un apócrifo Libro XIV de “Los Elementos” de Euclides), quien durante un tiempo fue honrado, al ser llamados los números poligonales como Números de Hipsicles.
Teón de Esmirna realizó una descripción bastante desarrollada de los números poligonales, que incluye algunos teoremas generales en su obra “Cuestiones útiles en Matemáticas para la lectura de Platón”. Nicómaco hizo un estudio sistemático de los primeros números poligonales en el Libro II de su “Introducción a la Aritmética”, pero el texto más acabado se debe a Diofanto de Alejandría en su tratado sobre los números poligonales, que aparece como apéndice de su famosa obra La Aritmética, y en el que el tema adquiere carácter verdaderamente científico de modo que la simple generalización empírica pitagórica de la verificación aritmético–visual es reemplazada por proposiciones rigurosamente demostradas casi al estilo euclídeo.
La obra de Diofanto sobre números poligonales empieza con una serie de teoremas sobre progresiones aritméticas (conocidas desde la Matemática egipcia ya que aparecen en los problemas 40 y 64 del Papiro de Rhind) que aplicará a la obtención sistemática de los números poligonales y de las propiedades que verifican.
Un número figurado es una combinación geométrica regular de puntos igualmente espaciados. Cuando la combinación forma un polígono regular, el número se llama número poligonal, llamándose triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc., para los polígonos regulares correspondientes.
Los números poligonales se van formando como suma de los términos de ciertas series:
● Los números triangulares se forman a partir de los números de la serie natural:
1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, … 1, 3, 6, 10, 15, …
● Los números cuadrados se forman a partir de los números de la serie impar:
1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, 1+3+5+7+9, … 1, 4, 9, 16, 25, …
● Los números pentagonales se forman a partir de la serie: 1, 4, 7, 10, 13, …
1, 1+4, 1+4+7, 1+4+7+10, 1+4+7+10+13, … 1, 5, 12, 22, 35
● Los números hexagonales se forman a partir de la serie: 1, 5, 9, 13, 17, …
1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13, 1+5+9+13+17, … 1, 6, 11, 16, 21, …
Así consecutivamente se van formando los sucesivos números poligonales, los primeros de los cuales situamos en la tabla 1 siguiente:
Una primera observación, a la vista de la tabla 1 en vertical, es un resultado establecido por Nicómaco:
● Para cada orden, la sucesión de números poligonales del mismo tipo forman una progresión aritmética cuya razón es el número triangular de orden previo:
• 3, 4, 5, 6, … progresión aritmética de razón 1.
• 6, 9, 12, 15, … progresión aritmética de razón 3.
• 10, 16,22, 28, … progresión aritmética de razón 6.
• ····
Observamos que los números poligonales se van formando continuamente como suma de los términos de progresiones aritméticas cuyo primer término es uno y las razones sucesivas uno, dos, tres, cuatro, …, de manera que fácilmente se pueden hallar las leyes de formación.
Llamando Pr(n) al n–ésimo número r–gonal (r³3), el n–ésimo número de la serie que lo engendra será:
1+(n–1) · (r–2), de modo que
La expresión de los diez primeros números poligonales queda resumida en la tabla 2 siguiente:
A partir de las distribuciones geométricas de puntos que hicieron los pitagóricos con los números poligonales, aparecían, como evidencia visual, numerosas propiedades de los números enteros, al considerar la relación entre órdenes consecutivos de números de un determinado tipo y relaciones entre números poligonales de tipos diferentes. Todas estas propiedades resultan, para nosotros, de simples comprobaciones aritméticas.
Así por ejemplo, sea T(n) el n–ésimo número triangular, cuya ley de formación es T(n) = [n·(n+1)]/2.
La propia percepción de las figuras indica que:
T(n) = T(n–1)+n, T(1)=1,
que da una definición recursiva (diríamos hoy) de números triangulares, que permite la obtención de cada uno de ellos en términos de los de orden inferior, siendo su equivalente aritmético la expresión:
Es más, la propia ley de formación que permite la computación directa (no recursiva) de los números triangulares, puede obtenerse de consideraciones geométricas sobre números oblongos O(n) = n·(n+1):
La suma de dos números triangulares iguales nos da un número poligonal oblongo cuyo valor en puntos es el producto de los puntos en cada lado, de modo que:
T(n) + T(n) = n·(n+1), de donde resulta la propia fórmula para el cálculo de T(n).
Más interesante es todavía la formación de los números cuadrados y su relación con los números triangulares
El paso de una figura a la siguiente se realiza siempre de la misma manera, orlando la figura inmediatamente anterior mediante una línea quebrada en forma de ángulo recto («gnomon», palabra que en griego significa «escuadra de carpintero» y que también denominaba al antiguo reloj de sol babilónico). Aristóteles define el gnomon como «figura cuya yuxtaposición con otra genera una figura semejante a la inicial». El concepto, de gran aplicación a las estructuras abstractas o naturales que en su crecimiento mantienen la forma, fue muy utilizado en las construcciones pitagóricas. En el caso de los números cuadrados el gnomon está formado por los puntos marginales en número impar que aumentan de dos en dos en cada paso. De esta forma visual se establece la ley de recurrencia para la formación de los números cuadrados C(n):
1+3=22, 1+3+5=22+5=32, 1+3+5+7=32+7=42, 1+3+5+7+9=42+9=52 ,
y en general: C(n) = C(n–1) + (2n–1), C(1)=1, es decir: n2 = (n–1)2 + (2n–1), que, además, pone de manifiesto la relación entre los números cuadrados y los impares.
Vemos como para los pitagóricos el poder de la visualización convierte en evidencias visuales, tras la iteración, la comprobación empírica de ciertas relaciones entre construcciones numéricas. Abundando en ello, vamos a ver la relación entre los números triangulares y los poligonales de tipo superior. En concreto veremos que los número cuadrados, pentagonales y hexagonales, que escribimos en la forma C(n), P(n) y H(n), están compuestos de números triangulares T(n), pudiéndose obtener, de esta forma, sus leyes de formación, como manifiestan los esquemas siguientes:
Todo número cuadrado es la suma de un número triangular del mismo orden y otro de orden previo:
C(n) = T(n) + T(n–1) (Teorema de Teón de Esmirna)
Para P(n) el gnomon que permite definir el siguiente se compone de 3n–2 puntos, por tanto la ley de recurrencia para P(n) es:
P(n) = P(n–1) + (3n–2), P(1)=1.
Todo número pentagonal se compone de un número triangular del mismo orden y otros dos de orden previo:
P(n) = T(n) + 2 T(n–1)
Para H(n) el gnomon que permite definir el siguiente se compone de 4n–3 puntos, por tanto la ley de recurrencia para H(n) es:
H(n) = H(n–1) + (4n–3), H(1)=1.
Todo número hexagonal se compone de un número triangular del mismo orden y otros tres de orden previo:
H(n) = T(n) + 3 T(n–1)
Vemos como los números poligonales de un mismo tipo y órdenes sucesivos corresponden a crecimientos «gnomónicos» (homotéticos) de figuras geométricas. En orden a generalizar los resultados resumamos, para cada número poligonal, los valores del gnomon, la ley de recurrencia y la descomposición triangular, en la tabla 3:
La descomposición triangular es el Teorema de Bachet de Meziriac:
● Todo número poligonal de tipo r es la suma de un número triangular del mismo orden y r–3 números triangulares de orden previo.
En cuanto a la ley recursiva general de formación de cualquier número poligonal
Pr(n)= Pr(n–1)+(r–2)(n–1)+1, Pr(1)=1
digamos que permite un tratamiento informático sencillo para obtener los primeros números poligonales que calculamos en la tabla 4:
La ley de recurrencia para la formación de los números triangulares:
n+T(n–1) = T(n),
se puede extender a una ley que permite la formación de cualquier número poligonal a partir de números triangulares. En efecto, por simple inspección visual de las figuras se obtienen las expresiones:
n+2T(n–1) = C(n), n+3T(n–1) = P(n), n+4T(n–1) = H(n),
que se generalizan aritméticamente a cualquier número poligonal Pr(n):
De esta expresión se deduce el Teorema de Nicómaco:
● Cada número r-gonal es la suma del (r–1)–gonal del mismo orden y el triangular de orden previo, es decir: Pr(n) = Pr–1(n) + T(n–1).
En particular resulta:
• C(n)=T(n)+ T(n–1),
• P(n)=C(n)+T(n–1),
• H(n)= P(n) +T(n–1).
De forma análoga se pueden obtener otras relaciones entre números poligonales:
● O(n)=C(n)+n, O(n)+C(n)=T(2n).
● Cada número triangular es también un número hexagonal y todo número pentagonal es un tercio de un número triangular.
● Todo número perfecto par es un número triangular T(n) con n primo. Para los dos primeros 6=T(3), 28=T(7), 3+7=10, el valor de la Tetractys.
● T(2n) = 3T(n) +T(n–1), T(2n+1) = 3T(n) +T(n+1).
● C(2n+1) = 8T(n)+1= T(n–1) + 6T(n) + T(n+1)
Otra relación e interesante, debida a Bachet de Meziriac, que generaliza de alguna forma la fórmula del cuadrado del binomio es: Pr(n+m) = Pr(n) + (r–2)nm + Pr(m).
Diofanto había establecido, aunque no probado, que
● «Todo número entero positivo se puede poner como suma de a lo sumo cuatro números cuadrados».
Fermat asegura que él lo demostró utilizando el «método del descenso infinito», pero como en otros casos no se ha encontrado la prueba. Euler fue incapaz de demostrarlo, pero de sus resultados parciales obtuvo Lagrange la prueba en 1772. Fermat generalizó el resultado de Diofanto con la conjetura:
● «Cada entero positivo es la suma de a lo sumo tres números triangulares, cuatro números cuadrados, cinco números pentagonales, …, r números r-gonales».
Gauss probó en 1796 el caso triangular (el 10 de julio de 1796 anotó, a propósito, en su diario, una críptica expresión: ¡EUREKA! NUM=D+D+D), y, tras los intentos parciales de Euler, Lagrange y Legendre, Cauchy remató definitivamente la prueba en 1813.
Uno de los problemas más importantes de números poligonales es reconocer si un determinado número N es un r-gonal de cierto orden n, es decir, si N= Pr(n).
Se puede comprobar fácilmente que
8(r–2) Pr(n) + (r–4)2 = (2nr–4n–r+4)2 = S2 es un cuadrado perfecto
Así pues si 8(r–2) N + (r–4)2 es un cuadrado perfecto N será un número r–gonal (Teorema de Diofanto), entonces resolviendo S=2nr–4n–r+4, para el orden n da: n= (S+r–4)/[2(r–2)].
● Para saber si el número 15 es triangular (r=3), se comprueba que 8(3–2)15+(3–4)2=121=112 es un cuadrado perfecto, entonces n=(11+3–4)/[2(3–2)]=5; 15 es el quinto número triangular, 15=T(5).
● Para saber si el número 15 es hexagonal (r=6), se comprueba que 8(6–2)15+(6–4)2=484=222 es un cuadrado perfecto, entonces n=(22+6–4)/[2(6–2)]=3; 15 es el tercer número hexagonal, 15=H(3).
Los números poligonales forman parte de las raíces históricas de la Teoría de Números, apareciendo en numerosos ámbitos. Por ejemplo, los números triangulares aparecen en el Triángulo de Pascal (y por tanto también los hexagonales que se obtienen alternadamente de la lista de triangulares), como observamos en la figura. También, de alguna forma, los números cuadrados forman parte del Triángulo de Pascal, ya que la suma de dos números triangulares consecutivos da un número cuadrado.
Los números poligonales juegan un papel importante en el Análisis combinatorio, intervienen en el Binomio de Newton (Fermat) y en el Cálculo de Probabilidades (Pascal) y fueron ampliamente utilizados por Fermat, Pascal, Wallis y Roberval para la obtención de sus resultados sobre cuadraturas.
Fermat utiliza resultados sobre números poligonales para establecer en una carta que envía al Padre Mersenne, en septiembre de 1636, la fórmula siguiente:
de donde obtiene una fórmula recurrente para el cálculo de la suma de potencias de enteros en función de la suma de potencias inferiores que le permiten establecer resultados equivalentes al límite:
a partir del cual se derivan los valores de la famosa cuadratura básica:
La fascinación por los números poligonales ha llegado hasta el paroxismo en la consideración de los que tienen los dígitos repetidos, por ejemplo:
P5(4)=22, P12(3)=33, P3(10)=55, P6(6)=66.
Entre ellos ha gozado de especial admiración en la llamada Aritmética Sagrada el misterioso número P3(36)=666, llamado «Bestia de la Revelación»,dotado de curiosas propiedades aritméticas y místicas que se han utilizado en la exégesis de las Sagradas Escrituras. Algunos lo han identificado con el Anticristo e incluso con los nombres de Nerón y Lutero. A él se hace referencia en El Apocalipsis de San Juan (XIII.18): «El que tenga inteligencia calcule el número de la Bestia, un número de hombre. Su número es 666».
Estimando el valor recreativo que tiene la Aritmética de los números poligonales y contagiados del misticismo numérico–geométrico de los pitagóricos, podríamos considerar también los llamados números poligonales centrados, de los que sólo haremos un pequeño resumen sintetizado en la tabla 5 siguiente:
En la actualidad el estudio de los números poligonales ha alcanzado un valor práctico en una incipiente aplicación criptográfica a la seguridad en las comunicaciones.
Como en otros muchos temas, los números poligonales que nacieron en el ámbito del primigenio misticismo pitagórico han proseguido un desarrollo histórico en el que han intervenido lo mágico, lo místico y lo científico como rasgos de fidelidad a las esencias del sumo del sumo maestro Pitágoras que en este terreno también se sitúa en el umbral del pensamiento aritmético.
