Los pitagóricos realizaron diversas clasificaciones y acuñaron numerosos nombres para los diversos tipos de números. Pero de acuerdo con su proceder místico, muchas de sus definiciones son bastante abstrusas (a pesar de nuevas interpretaciones de los matemáticos neopitagóricos y neoplatónicos e incluso de Aristóteles), de forma que conviene a veces recurrir a los preliminares del Libro VII de Los Elementos de Euclides, donde se recogen gran parte de ellas, en el lenguaje inteligible y riguroso característico del gran compilador de la Matemática griega elemental. En el siglo I el neopitagórico Nicómaco considera la mística numérica de Pitágoras, pero fue capaz de sustraerse a ella para establecer definiciones y propiedades de los números, no con demostraciones apodícticas, pero sí con ejemplos adecuados, en sus dos libros de la Introducción a la Aritmética, que Boecio tradujo al latín y fue manual de obligada lectura a lo largo de la Edad Media.
► «Todo lo cognoscible tiene un número, pues no es posible que sin número nada pueda ser concebido ni conocido».
▬ FILOLAO DE TARENTO (ca. 470 a. C. – ca. 380 a. C.). Matemático y filósofo griego. Fue el pitagórico preferido por Aristóteles.
► «Los pitagóricos… supusieron que las cosas existentes son números –pero no números que existen aparte, sino que las cosas están realmente compuestas de números –, es decir, los elementos de los números son los elementos de todos los seres existentes y la totalidad del universo es armonía y número».
▬ ARISTÓTELES. Metafísica (Cap.V. Libro I, 985b).
Matemáticos y no matemáticos han sido fascinados por las propiedades de los números y esta seducción ha hecho avanzar la llamada “Teoría de Números” desde los tiempos de Pitágoras.
Veamos los nombres y definiciones de algunos números:
- Número es «una multitud limitada, o conjunto de unidades, o la fluencia de una magnitud compuesta de unidades» (Nicómaco I.7).
La definición de Nicómaco pasó a la Edad Media con la traducción de Boecio y fue divulgada por San Isidoro de Sevilla. En esencia es la idea de Aristóteles de pluralidad de monadas (Metafísica, X.1, X.6, XIV.1)
Para Moderato de Cádiz, neopitagórico español contemporáneo de Nicómaco:
►«número es un sistema de monadas o progresión de lo múltiple, que comienza por la mónada, y regresión, que termina en la mónada».
- Números pares e impares:
Conservamos a través de fragmentos de Filolao diversas definiciones de “número par e impar” que son bastante farragosas, donde se advierte las dificultades conceptuales que presenta una aritmética carente de un sistema de numeración cómodo y claro como el indo-arábigo. Nicómaco recoge e interpreta la aritmética pitagórica recordando la siguiente definición:
► «Entre los pitagóricos número par es el que puede ser dividido en dos partes iguales o desiguales (excepto la díada que sólo puede dividirse en dos partes iguales), siendo estas partes de la misma especie [es decir, ambas pares o impares], mientras que número impar es el que sólo puede dividirse en partes desiguales y de especies diferentes [es decir, una par y otra impar]».
Corresponde a las definiciones 6 y 7 de Euclides VII.
Los números pares e impares se subdividen en cuatro clases: (Definiciones VII.8 a VII.10):
g Parmente par: cuando su mitad es par (son de la forma 2n·[2k+1], n>1).
g Imparmente par: cuando su mitad es impar (son de la forma 2·[2k+1], n>1).
g Parmente impar: cuando al ser dividido por un número impar da uno par (son de la forma 2n·[2k+1]·p, n>1).
g Imparmente impar: cuando no tiene más que divisores impares.
San Isidoro de Sevilla en el Libro III de sus Etimologías, de gran carácter pitagórico, da mucha importancia a estos números. Durante toda la Edad Media gozaron de gran predicamento, pero hoy carecen de todo interés.
- Números primos y compuestos:
Los griegos, de acuerdo con la orientación general de su matemática, utilizan un lenguaje geométrico en las ideas de múltiplo y divisor, de modo que la expresión «es divisor de» la indican por «mide a» y «es múltiplo de» por «está medido por» (Euclides D.VII.3 y D.VII.5). La idea de divisibilidad como condición de ser divisible es manejada por los griegos, pero no pueden desarrollar criterios de divisibilidad porque éstos sólo son aplicables a la numeración posicional indo-arábiga. Los pitagóricos llamaban a los números primos y compuestos, respectivamente, incompuestos y secundarios.
g Número primo es el solamente divisible por la unidad (Euclides D.VII.11).
g Número compuesto es el divisible por algún número (Euclides D.VII.13).
g Números primos entre sí son los que no tienen más divisor común que la unidad (Euclides D.VII.12).
g Números compuestos entre sí son los que tienen algún divisor común (Euclides D.VII.14).
- Números lineales, planos y sólidos:
La orientación geométrica induce también a los pitagóricos a definir los números lineales, planos y sólidos.
g Lineal: es el que no tienen divisores (es decir los primos, Pseusipo).
g Plano: es el producto de dos números que son sus lados (Euclides, D.VII.16).
g Oblongo: plano de lados que difieren en una unidad (Nicómaco)
g Sólido: es el producto de tres números que son sus lados (Euclides, D.VII.17).
g Cuadrado: es el producto de un número por sí mismo (Euclides, D.VII.18).
g Cúbico: es el producto de un número por sí mismo tres veces (Euclides, D.VII.19).
- Números perfectos, deficientes y abundantes. Números amigos.
Los pitagóricos definen estos tipos de números en relación con los divisores o partes alícuotas (término de Nicómaco), incluyendo el uno:
g Deficiente: es un número que es menor que la suma de sus partes alícuotas.
g Abundante: es un número que es mayor que la suma de sus partes alícuotas.
g Perfecto: es un número que es igual que la suma de sus partes alícuotas.
g Números amigos: son números en los cuales cada uno es igual a la suma de los divisores del otro.
- Números perfectos y números amigos.
La búsqueda de números perfectos ha desplegado un derroche de tinta matemática desde los primeros tiempos pitagóricos hasta nuestros días, en los que a pesar de la aplicación de potentes instrumentos de computación, todavía quedan algunos problemas abiertos en relación con estos números. En muchas culturas la relación de un número con la suma de sus divisores propios ha recibido diversas interpretaciones místicas. Realmente los números perfectos han sido uno de los tópicos más comunes, y no sólo de la literatura matemática sino también de la religiosa, sobre todo cristiana y hebrea. Para San Agustín (en “La ciudad de Dios”) el número perfecto 6 (6=1+2+3) tiene un valor divino porque Dios creó el mundo en seis días. Encontramos numerosas referencias a estos números tanto en Rabbi ben Ezra como en San Isidoro de Sevilla y en otras muchas obras medievales y renacentistas.
La fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica permite obtener fácilmente la suma de los divisores de un número. Por ejemplo, para N=ap·bq·cr, al considerar el polinomio
(a0+a1+···+ap) · (b0+b1+···+bq) · (c0+c1+···+cr),
sus monomios son precisamente los divisores de N (incluido N), de modo que la suma de todos los divisores propios de N, S(N), es decir, de las partes alícuotas de N será
Mediante estas fórmulas es fácil comprobar que los cuatro primeros números perfectos son: 6, 28, 496 y 8128. Por ejemplo, para 8128=26·127, se tiene:
Euclides define el número perfecto en D.VII.22 e idea un método bastante simple para computar algunos de ellos, que plasma en la Proposición IX.36 (después de estudiar en la proposición anterior la suma de los términos de una progresión geométrica y con la que acaba el Libro IX de Los Elementos):
► «Si varios números, empezando por la unidad, están en proporción duplicada [son potencias de dos] y el conjunto de todos ellos [la suma] es un número primo, el producto de este conjunto por el último es un número perfecto»
Es decir:
- Si 1+2+22+···+2n-1 es un número primo entonces el número (1+2+22+···+2n-1) · 2n-1 es perfecto.
Aplicando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica resulta: 1+2+22+ ··· +2n-1 = 2n–1, por tanto el teorema de Euclides se puede enunciar más brevemente:
- Si 2n–1 es primo (2n–1) · 2n-1 es perfecto.
El Teorema de Euclides es una prescripción aritmética que permite calcular fácilmente los primeros números perfectos como se hace en la tabla siguiente:
Los primeros pitagóricos sólo conocían los números perfectos 6 y 8. Nicómaco relaciona (“Introducción a la Aritmética” I.14,15) los cuatro primeros números perfectos 6, 28, 496 y 8128, haciendo la observación de que acaban en 6 y en 8, lo que es recogido por Jámblico, quien añade que los números perfectos acaban alternativamente en 6 y 8 (incierto a partir del quinto, aunque bien es verdad que los conocidos hasta el momento acaban en 6 ó 8), y, además, cree que hay un número perfecto en cada uno de los intervalos 1–10, 10–100, 100–1000, etc., lo cual es falso a partir del quinto intervalo. Esto tiene que ver con la mística del número, pero los errores recogidos por Boecio (Arithmetica I.20) permanecieron durante toda la Edad Media, lo cual es comprensible por las deficiencias manifiestas del precario sistema de numeración utilizado que no facilitaba el manejo de números muy grandes, y según observamos en la tabla anterior los números perfectos crecen muy rápidamente. Matemáticos de la talla de Fibonacci, Chuquet, Luca Pacioli, Stifel, Recorde, Cataldi, Mersenne e incluso Descartes y Euler, también tuvieron sus errores. El quinto número perfecto (33 550 336) aparece en un manuscrito anónimo de 1456-1461.
Observando la tabla anterior, advertimos la importancia que en la investigación de números perfectos tienen los números de la forma M(n) = 2n–1, llamados Números de Mersenne, sobre todo cuando son primos (lo que obliga a que también n sea primo), llamados entonces Primos de Mersenne, a cuya búsqueda se reconduce toda indagación sobre números perfectos de Euclides. Extrayendo de la tabla anterior los datos correspondientes a Primos de Mersenne obtenemos la tabla de formación de los primeros cinco números perfectos:
Hacia 1603 Cataldi había verificado que 217–1 y 219–1 eran primos, de modo que a él se la atribuyen los dos siguientes números perfectos, el sexto P(17) = 8 589 869 056, y el séptimo P(19) = 137438691328. Cataldi había conjeturado que también 2n–1 era primo para n=23, 29, 31 y 37. Fermat demostró en 1640 que Cataldi estaba equivocado para n=23 y n=37; y Euler mostró en 1738 que Cataldi también había errado para n=29, pero estaba en lo cierto para n=31, por lo que se atribuye a Euler el octavo número perfecto P(31)= 2.305.843.008.139.952.128. Euler también pretendió, en 1739, ampliar la lista de números perfectos P(n) para n=41 y n=47, pero en 1750 advirtió su error. Euler también demostró que todo número perfecto par es del tipo euclídeo, es decir, el recíproco del teorema de Euclides, por eso al teorema que ahora se enuncia «P(n) es un número perfecto par si y sólo si es de la forma P(n) = 2n-1 · (2n–1) y M(n) = 2n–1 es primo» a veces se le llama Teorema de Euclides-Euler.
Con anterioridad, Mersenne había establecido en el prefacio de sus “Cogitata Physica-Mathematica” de 1644 que los números M(n) =2n–1 eran primos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257 y compuestos para los restantes números n<257, que ha pasado la historia con el nombre de “Conjetura de Mersenne”, habiéndose honrado a su autor al llamar a los M(n) =2n–1 “números de Mersenne”. Lucas verificó, en 1876, el caso para n=127. En 1873 Pervouchine mostró que Mersenne había omitido el caso para n=61. En 1911 Powers puso de manifiesto la omisión del caso n=89, y en 1914 la del caso n=107. Hacia finales de 1947 quedó establecida definitivamente la lista correcta de los números de la “Conjetura de Mersenne” para n£248: n=2,3,5,13,17,19,31,61,89,107,127. Las investigaciones posteriores hasta nuestros días quedan resumidos en la tabla siguiente que pone de manifiesto con datos, fechas y autores todos los números perfectos conocidos hasta la fecha:
El magnífico informático George Woltman tuvo la idea de construir una base de datos y un programa gestor de la misma para la búsqueda de primos de Mersenne en la Web. Así nació en enero de 1996 «the Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)» que auna la potencia de miles de ordenadores conectados entre sí y coordinados por un servidor central llamado Primenet, que ha permitido explorar el espacio aritmético, dando como fruto, hasta ahora, la obtención de los últimos cuatro números perfectos, gracias a los esfuerzos de docenas de expertos y de miles de aficionados en todo el mundo, que de forma creciente se incorporan a la investigación en un ciberespacio universal al que se puede conectar cualquier persona interesada mediante un software de libre difusión.
No se conoce, hasta el momento ningún número perfecto impar. Euler había demostrado que si existe alguno debe ser de la forma p4q+1·r2, donde p es un primo de la forma 4n+1. Hoy se sabe que, además, debe ser divisible por al menos ocho primos, uno de ellos mayor que 1020, tiene al menos 29 factores primos (no necesariamente distintos) y como mínimo 300 dígitos decimales.
● Los Números amigos
Los números amigos, que han causado tanta o más fascinación que los números perfectos, literalmente habría que llamarlos números enamorados. Los griegos sólo conocieron el par 220, 284:
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (suma de los divisores de 220) =
1+2+4+71+142 (suma de los divisores de 284).
Jámblico atribuye el descubrimiento de los números amigos al propio Pitágoras, embelleciendo el relato del mismo con la siguiente anécdota:
► «Siendo preguntado Pitágoras – ¿qué es un amigo?, contestó –Alter ego. Por analogía aplicó el término amigos a dos números cuya suma de partes alícuotas es igual al otro».
Podríamos realizar una incursión histórica sobre los números amigos similar a la realizada para los números perfectos, pero concretémonos nada más en algunos desarrollos de Fermat, Descartes y Euler.
Fermat redescubre, hacia 1638, una regla (que había sido obtenida por Thabit Ibn Qurra en el siglo IX) para la obtención de números amigos. Para que dos números n, m, sean amigos, basta que se descompongan en la forma:
El primer par de números amigos: n = 220 = 22·5·11, m = 284 = 22·71, se obtiene al tomar p=2.
Mediante “la regla Fermat” obtiene el segundo par de números amigos:
n = 17.296 = 24·23·47, m = 18.416 = 24·1151 (p=4).
Descartes anuncia en una carta a Mersenne, también en 1638, que ha encontrado el tercer par de números amigos:
n = 9.363.584 = 27·191·383, m = 9.437.056 = 27·73.727 (p=7).
Euler hizo un gran avance en la búsqueda de números amigos, de modo que hacia 1750 había obtenido cincuenta y nueve pares del tipo pm, pn, donde p es primo con n y m.
En la actualidad, igual que para los números perfectos, las aplicaciones informáticas han permitido obtener multitud de números amigos.
Un artículo muy interesante y fuente de investigación.
Muchas gracias por compartirlo.