Unos siete siglos antes de la Era cristiana el centro de gravedad del desarrollo cultural y en particular del matemático se desplazó de Mesopotamia y Egipto al mundo griego. Sobre un substrato de elementos orientales, los griegos imprimirán un fuerte acento autóctono a su Cultura. Más allá de una filosofía providencialista de la historia, como resultado de varias contingencias favorables en un momento feliz, hacia el siglo VI a.C. los griegos jónicos inician un proceso de desarrollo cultural que va abriendo campos de conocimiento racional frente a lo mitológico, con una actitud especulativa de la que carecieron las civilizaciones orientales. Es así que a partir de la oración profana de Renán sobre la Acrópolis, se habla del «Milagro griego», no en sentido místico como efecto sobrenatural de un poder divino superior a las fuerzas humanas, sino como la aparición inesperada y sorprendente de un hecho cultural en el que estas fuerzas presididas por la razón buscarán una explicación lógica del Cosmos tomando como centro el propio hombre. El espíritu oriental, confuso y desordenado da paso a la ordenación lógica del conocimiento, que al humanizar la religión humaniza asimismo la naturaleza, introduciendo en ésta el concepto de ley inexorable que rige los fenómenos naturales, independientes de los caprichos de los dioses, complementando la observación empírica con el razonamiento lógico, separando religión y ciencia, que en las sociedades orientales habían sido los dos extremos simbióticos del eje de rotación de la vida y haciendo de la Matemática una ciencia racional y universal y de la Geometría el núcleo medular del conocimiento.
La mente oriental dará sabios, la mente helénica dará, además, pensadores, cuyo espíritu ordenador y sistematizador actuará sobre el material empírico oriental que estaba en bruto, analizándolo de una forma abstracta e intelectual. Sin implicar juicios de valor, podríamos decir que el conocimiento prehelénico sería más bien de carácter técnico, es decir, se compondría de consejos, recetas, métodos para resolver problemas concretos. La Matemática prehelénica no prestó atención a los principios fundamentales, sólo desarrolló descubrimientos fragmentarios que servían para fines prácticos y nunca se planteó como punto de partida de sus investigaciones el alumbramiento de leyes generales o la elucubración apriorística sobre la resolubilidad de los problemas. Su forma de tratar éstos no era especulativa ni deductiva, sino empírica e inductiva. Como mucho llegaban a la solución general de un problema, partiendo de muchas soluciones individuales, casi nunca deducían lo particular de lo general. Pero es precisamente este segundo camino de investigación, el deductivo, la característica fundamental de la Matemática que desarrollarían los griegos. Es decir, la Matemática prehelénica tiene un carácter meramente instrumental como medio para resolver problemas prácticos, mientras que para los griegos la «ciencia es un fin en sí misma». No obstante y a pesar de estos presupuestos filosóficos, los griegos resuelven con gran facilidad y armonía la aparente contradicción entre «la ciencia como un fin en sí misma» y «la ciencia como instrumento», porque animados por un sagrado entusiasmo elevan las herramientas a la máxima perfección y belleza, conforme a principios preexistentes en lo más profundo de la naturaleza espiritual e intuitiva de sus creadores, quedando así enriquecido el instrumento incluso para fines prácticos. Los griegos hacen Geometría «por el mero honor del espíritu humano», como diría Jacobi, y la utilidad es un valor añadido. Para los griegos la raíz etimológica del término Geometría sería paradójica, porque Geometría significa medida de la tierra, pero fueron precisamente los geómetras griegos quienes la independizaron de tal menester, al que dedicaban otra actividad artesanal (y por tanto para ellos de rango social inferior y subalterno), que era la Geodesia. Así los griegos desarrollaron una filosofía de actividad humana, un tanto reaccionaria desde el punto de vista ideológico en la que las actividades más dignas bajo una perspectiva intelectual eran las que, como en su Geometría, carecían de utilidad inmediata y atendían sólo a la curiosidad intelectual mediata presidida por la reflexión serena, independiente de todo pragmatismo y no espoleada por la urgencia biológica de la satisfacción de las necesidades vitales inmediatas.
En sus orígenes la Matemática griega se quedó rezagada con respecto a la Literatura. En efecto, anterior al siglo VI a.C. no conocemos ningún desarrollo matemático de la cultura griega, mientras que la épica y la lírica griegas ya habían desarrollado una maravillosa Literatura, de lo que son fiel exponente las obras de Homero (hacia el siglo IX a.C.) y Hesíodo (hacia el siglo VIII a.C.). No quiere esto decir que no existiera en esa época una Matemática arcaica, pero no tenemos noticia de ello, quizá la razón sea que las formas literarias se prestan mejor que las matemáticas a su continuidad por tradición oral.
Durante el siglo VI a.C. aparecen dos figuras pioneras de la Matemática griega, Tales y Pitágoras, que simbólicamente jugaron un papel similar con respecto a la Matemática que Homero y Hesíodo con respecto a la Literatura. No obstante, hay que advertir que mientras Homero y Hesíodo son figuras literarias que aparecen ciertamente envueltas en penumbra, pero por lo menos disponemos de una tradición consistente, que les atribuye ciertas obras maestras literarias que, trasmitidas al principio de una manera oral de generación en generación, finalmente se copiaron y se conservaron para la posteridad, Tales y Pitágoras son también dos figuras un tanto indefinidas históricamente, aunque no tanto como Homero y Hesíodo, pero en lo que se refiere a su obra intelectual, el paralelismo con Homero y Hesíodo se rompe porque no nos ha quedado ninguna obra maestra de ninguno de los dos, y ni siquiera está comprobado ni mucho menos que Tales o Pitágoras compusieran jamás una obra tal. Lo que pudieron haber hecho hay que reconstruirlo sobre la base de una tradición muy persistente, pero no muy fidedigna en torno a estos personajes. Sin embargo las primeras exposiciones griegas de la Historia de la Matemática, que desgraciadamente no han llegado a nosotros, atribuían a Tales y a Pitágoras una serie de descubrimientos matemáticos muy concretos, pero hay que insistir sobre la ausencia de toda fuente primaria como documento histórico conocido que lo avale.
Tales era de Mileto y Pitágoras era de la isla de Samos. Ambos eran pues originarios de las costas jónicas de Asia Menor, cuyos habitantes tenían fama de ser colonizadores de espíritu intrépido e imaginativo, que, además, por estar en proximidad geográfica con los dos grandes valles fluviales de Egipto y Mesopotamia podían apropiarse fácilmente del saber milenario de ambos pueblos. Los matemáticos jónicos y pitagóricos, y Tales y Pitágoras a la cabeza de ellos, les cabe el mérito inconmensurable de haber jugado un papel iniciático en la construcción de la Matemática y en particular de la Geometría como disciplina racional y liberal. Es por ello que a Tales se le llama «el primer matemático» y a Pitágoras «el padre de la Matemática».
La Geometría griega, por lo menos en sus orígenes, siempre se consideró tributaria de la egipcia. Es casi seguro que los griegos tomaron prestados algunos rudimentos de la Geometría elemental egipcia, pero siempre exageraron su deuda con los egipcios, tal vez por su respeto casi reverencial a la antigüedad milenaria de la cultura egipcia. La Geometría griega también debió tener cierta base material en los conocimientos matemáticos prácticos que los mercaderes griegos recabaron de Mesopotamia y de la India. Además, la costa Jónica de Asía Menor, donde se sitúan los albores de la civilización griega, estuvo sometida, por razones geográficas, a todo tipo de influencias culturales de los pueblos limítrofes. Pero enseguida la Geometría griega realiza el tránsito de lo meramente empírico a lo teórico, apareciendo las primeras concepciones sobre prueba, demostración, axioma o teorema. Hay una primera fase visual en la Geometría helénica, que comprendería los teoremas atribuidos a Tales, basados en la simetría y la superposición de figuras planas y quizá en la aritmo-geometría pitagórica. Pero la reacción contra lo empírico en aras de lo teórico y abstracto ya es total en la insistencia de Platón en la idealidad matemática que manifiesta en El Menón y en La República y que cristaliza en los esfuerzos de Euclides por eludir lo visual en sus demostraciones.
Con base en una de las principales fuentes sobre la Matemática griega a la que aludiremos reiteradamente, los Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides, que escribió el filósofo neoplatónico Proclo basándose en el Fragmento de Eudemo (encargo sobre Historia de las Matemáticas de Aristóteles a su discípulo Eudemo), digamos que Tales y Pitágoras marcaron un hito en la historia de la Matemática, porque transformaron el saber geométrico en disciplina puramente teórica, investigando los teoremas de manera inmaterial y abstracta, es decir, sin instrumentos ni mediciones materiales, sin referencia a materiales concretos y sólo por medio de la intuición de ideas y del discurso mental, dando el gran salto cualitativo, que supone el verdadero nacimiento en Grecia de las Matemáticas como ciencia especulativa y deductiva, más allá de la práctica empírica e inductiva de las civilizaciones del próximo, medio y lejano oriente. Es así que podemos hablar del «Milagro griego en Matemáticas» como parte del milagro que supuso la inflexión radical que realizaron los griegos en el ámbito general de la Cultura y el Pensamiento. Como ejemplo ilustrativo y para concretar comentemos que Pitágoras realiza la primera demostración general del Teorema que lleva su nombre. Entre la ley general que establece el Teorema y los casos específicos de la Geometría babilónica, egipcia, hindú o china, hay el abismo que media entre un instrumento primitivo que no se pregunta cómo funciona y un mecanismo universalmente aplicable que ha resultado después de remontarse a los principios. El aporte esencialmente original es que el Teorema da una verdad general y universal que es independiente de los particulares valores de los lados del triángulo rectángulo.
En resumen, la Geometría como ciencia de la extensión no adquiere carácter racional hasta en Grecia, y el «Milagro griego» en Matemáticas sería la revisión racional de la Geometría, dando el gran salto del empirismo a la verdadera ciencia racional, imprimiendo para la posteridad una huella singular imperecedera
