ESTAMPAS EUCLIDIANAS (y 5)

La dimensión escolar y valor didáctico de Los Elementos de Euclides

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En la introducción general de Luís Vega de la magnífica edición de Los Elementos de Euclides en español de la Editorial Gredos, podemos leer (pág.123):

► «Ninguna otra fuente clásica de conocimiento ha tenido una historia tan rica y variopinta de versiones, ediciones, epítomes y comentarios. […] Los Elementos, con todas sus virtudes, no fueron recibidos como un texto sagrado, sino como un patrimonio perteneciente a una tradición viva, dispuesta a mejorar y añadir lo que al parecer hiciera falta

Ya desde la época de Teón en el siglo IV d.C. empiezan las modificaciones de Los Elementos inspiradas en razones de orden didáctico que van reconvirtiendo la obra euclídea en multitud de manuales con funciones escolares, a base de introducir lemas en la antesala de las proposiciones, de interpolar diversos escolios, de añadir suplementos y explicaciones de algunos pasajes, todo ello con la finalidad académica de hacer el texto euclidiano más inteligible. De esta manera se van desarrollando a lo largo de toda la Historia de la Educación matemática los aspectos disciplinarios que irán metamorfoseando el Libro de Euclides en un manual básico de Geometría. Además, como libro matemático, Los Elementos se han visto afectados por la evolución de la notación, es decir, el alfabeto matemático, ingrediente esencial de la Matemática como soporte de los conceptos, de modo que la obra sufre la tendencia natural a normalizar el lenguaje matemático del tratado. Como escribe Luis Vega en la aludida versión de Los Elementos (pág.124): «[…] Así quedó sellada su suerte histórica]».

En la tradición escolar de la universidad medieval ocupaba un lugar privilegiado la enseñanza de Los Elementos, aunque limitada solo a los seis primeros libros de la obra, que componían la parte de Aritmética y Geometría del Quadrivium pitagórico, base principal del currículum medieval. El estudiante del Medioevo empezaba estudiando Filosofía en los tratados de Aristóteles. Tras los estudios de Lógica y Retórica se introducía en las Matemáticas (Aritmética y Geometría), a lo que seguía Ciencias Físicas, tales como Astronomía y Óptica.

Aunque en la Edad Media los libros eran la base para el aprendizaje, eran muy caros y a menudo muy difícil de encontrar, de modo que los textos medievales en general pertenecían al maestro. La enseñanza se basaba en el dictado en lectura pública de los textos, seguido de comentarios del maestro y debate posterior de los alumnos sobre los asuntos tratados.

Muchas de las versiones de Los Elementos sobre todo las escritas en lenguas vernáculas aparecen en el marco renacentista de la recuperación, restauración y divulgación del legado clásico y animadas por motivos prácticos y escolares derivados de las necesidades técnicas del momento e inspirados en programas de innovación cultural y educativa, a veces incluso al margen de la universidad tradicional.

En lenguaje actual «Euclides era un gran maestro y su obra fundamental, (Los Elementos) un Libro de Texto». Con las ediciones vernáculas de Los Elementos, se generaliza, como se ha visto, la sustitución del silogismo por el «more geometrico» como modelo demostrativo, de modo que Euclides se convierte no solo en Profesor de Geometría sino también y sobre todo en Profesor de Lógica. Así sucede sobre todo en la edición de Commandino, que lleva unos prolegómenos muy ilustrativos con una peculiar visión del desarrollo histórico de la Matemática y un énfasis en el rigor de las pruebas geométricas euclídeas como modelo paradigmático de la transmisión escolar del trabajo matemático.

Como contrapunto a las ideas de Commandino, digno es de mención otro prefacio euclídeo coetáneo. Se trata del Mathematical Preface de John Dee que antecede a la versión vernácula inglesa de Billinsgsley de 1570. Según Dee las contribuciones de los matemáticos modernos que han bebido en las fuentes euclídeas pueden compararse a las de los clásicos. Pero si Commandino destacaba de las Matemáticas ante todo el valor demostrativo apodíctico como ars disserendi, Dee pondera, por encima de cualquier otro valor, las capacidades heurísticas como ars inveniendi, tan útiles a las múltiples aplicaciones prácticas de las Matemáticas, como la ingeniería, la construcción, la astronomía, la cartografía, la navegación, el comercio, la tributación, etc.

Hay algunas otras ediciones de Los Elementos de Euclides que toman como base el texto euclidiano, pero quieren ser auténticas exposiciones didácticas de la Geometría elemental, y en efecto, resultan ser las herederas o al menos guardan relación con la tradición académica de la universidad medieval. Una de ellas es la del jesuita alemán C.Clavius, profesor de Matemáticas en el Colegio Romano de Roma, gran inspirador de la Enseñanza de la Matemática en la época de Descartes, que incluía La Ratio Studiorum de los Jesuitas.

Clavius organizó un verdadero seminario de jóvenes matemáticos, destinados a proveer de profesores de Matemáticas a los colegios jesuitas. Aparte de excelente profesor, Clavius se reveló como un magnífico escritor de libros de texto: Aritmética Práctica (1583), Geometría Práctica (1604), Álgebra (1608), una edición comentada de la Sphera de Sacrobosco (1591), un compendio de Trigonometría y Astronomía ampliamente utilizado y muy encomiado por Kepler y tuvo una importante intervención en la reforma gregoriana del calendario. Clavius publica en 1574 su célebre edición de Los Elementos, que tuvo reediciones en 1589, 1591, 1603, 1607, 1612 y 1674, lo que da idea de su valor. Además, a través de los viajes de los Jesuitas a Extremo Oriente, gracias a Clavius, Los Elementos pudieron ser conocidos en la China y el Japón. Clavius relaciona en sus ediciones un total de 1234 proposiciones, ya que añade a las de los trece libros, los dos apócrifos y otras 671 proposiciones propias. La exposición de Clavius con su análisis y reelaboración de la Geometría de Los Elementos va pergeñando un modelo de exposición matemática que abre la vía de lo que hoy conocemos como Geometría euclídea.

En otras ediciones de Los Elementos se apura más todavía las licencias de las paráfrasis, obviando el rigor en la traducción y la reflexión humanista sobre el significado cultural y la base filosófica, de acuerdo con la línea de los tiempos, puesto que el objetivo ya no es de índole sistematizadora y crítica sino más bien de carácter práctico, didáctico y formativo, con el propósito principal de adaptar la obra de Euclides a las demandas de dominio de la base matemática necesaria para atender la imprescindible formación científica y capacitación técnica, exigidas sobre todo por la construcción y la ingeniería civil y militar.

Entre las ediciones de esta índole sobresale Elementa Geometriae Planae ac Solidae de A.Tacquet, publicada en 1654, que por su alto nivel ejerció una considerable influencia, con una gran difusión que llegó acumular hasta 20 reediciones. El jesuita belga A.Tacquet fue Profesor de Matemáticas en Lovaina y Amberes. Tanto sus ediciones de Los Elementos como otros numerosos y excelentes tratados de Matemáticas elementales fueron utilizados, como libros de texto para la Orden.

La divulgación de partes del contenido de Los Elementos de Euclides, que interesaban a las necesidades prácticas, conduce a una progresiva simplificación y escolarización del texto euclidiano, tras múltiples procesos de paráfrasis, adecuación, aclaración, reducción y compendio, que desbaratan más o menos los propósitos originales y seculares de las múltiples ediciones anteriores, pero lo adaptan positivamente a las necesidades académicas de la instituciones escolares, en un proceso imparable en el que la introducción de los poderosos algoritmos del Álgebra, la Geometría Analítica y el Cálculo Infinitesimal, transforman la faz de la Matemática, con el correspondiente reflejo en la transmisión didáctica del conocimiento matemático.

Por fortuna, todavía algunas importantes figuras matemáticas como Legendre valoraban las cualidades intelectuales de la obra de Euclides para intentar resucitarlas en su obra Éléments de Géométrie de 1794. Como dice en el prólogo, su finalidad es presentar una Geometría que «dé satisfacción al espíritu». Legendre escribe que su objeto era «componer unos Elementos de Geometría muy rigurosos». La obra de Legendre fue concebida como Libro de texto con el afán didáctico de facilitar la comprensión de las ideas clásicas euclidianas a los estudiantes de su época. Mediante un viraje hacia el rigor lógico y la demostración, aunque sin desdeñar la aplicación de consideraciones intuitivas a la deducción de los teoremas geométricos –cada paso lógico está evidenciado intuitivamente–, Legendre realiza algunas modificaciones sobre la obra de Euclides, que al introducir de forma consciente ciertos recursos de Aritmética y de Álgebra, ajenos a Los Elementos, facilitan la intelección del texto sin alterar la materia geométrica. El libro de Legendre dominó la enseñanza de la Geometría durante más de cien años y tuvo hasta veinte ediciones en vida de su autor, quien incorporaba en cada una de ellas, en un segundo nivel de lectura, los nuevos resultados geométricos que aparecían en el ambiente científico.

En la línea didáctica de hacer todo lo inteligible que se pueda y facilitar el aprendizaje de los teoremas del texto euclidiano, uno se puede encontrar versiones de Los Elementos para todos los gustos. Pero sin duda una de las más originales y curiosas es la publicada en Londres (1847) por el matemático Oliver Byrne, cuyo largo título explicativo es bien descriptivo de su naturaleza, The first six books of the Elements of Euclid, in which coloured diagrams and symbols are used instead of letters for the greater ease of learners). Es realmente una edición inusual y muy atractiva que cubre los seis primeros libros, es decir, la Geometría Plana elemental y las Teorías de la Proporción y de la Semejanza. En esta versión de Los Elementos se utiliza muy poco texto, la literatura matemática imprescindible, porque su mayor parte ha sido sustituida por ilustraciones coloreadas que son verdaderos diagramas explicativos de las construcciones de Euclides, en los que juega un papel fundamental no solo la forma sino sobre todo el color. La edición de Byrne es seguramente lo más alejado del idealismo del espíritu platónico que intentaba plasmar Euclides en Los Elementos, pero tiene un alto valor didáctico, casi de Geometría empírica, que nos retrotrae a la Escolástica medieval en el sentido de la necesidad de la percepción como antesala del entendimiento.

El alto valor educativo que tienen Los Elementos es un lugar común al que se hace referencia de múltiples formas en muchos de los compendios didácticos, ponderando el gran valor formativo de Los Elementos en lo que concierne al orden y al rigor demostrativo, de modo que, como señala un anónimo traductor español del siglo XVIII que titula su versión de Euclides como Tratado de Geometría, la lectura de Euclides «no solo hace geómetras [a los jóvenes], sino que insensiblemente los va habituando a ser excelentes lógicos.».

En suma, la obra euclidiana, por su gran valor didáctico y su carácter de síntesis, ha tenido una amplia y fructífera dimensión escolar; ha sido un cuerpo de doctrina de lectura obligada para todos los estudiantes de Geometría durante veintitrés siglos; ha inspirado todos los manuales escolares de Matemáticas, algunos de los cuales han copiado literalmente definiciones y teoremas de Los Elementos, que aún hoy siguen siendo la base de toda disciplina científica matemática en la Enseñanza Secundaria, determinando el orden lógico secuencial y por tanto la ordenación curricular de los diversos capítulos de los libros de texto de la Matemática elemental.

Esto en cuanto al ámbito informativo de la Matemática escolar. Pero también hay mucho que decir sobre los aspectos formativos. La obra de Euclides se convirtió de inmediato en modelo paradigmático del razonar deductivo del intelecto humano, donde la ilación irreprochable de los diversos argumentos remontándose en última instancia a los principios admitidos, dan una coherencia general al sistema, imponiéndose el rigor apodíctico de la demostración por encima de la intuición, la opinión y el juego retórico de la persuasión, primando la sencillez y la exactitud matemáticas y la univocidad semántica sobre la sinonimia, conjurando el riesgo de la equivocidad. Como bien señala J. de Lorenzo (Introducción al estilo matemático. Tecnos, Madrid, 1971, pág.57):

► «La expresión more geometrico se llegó a convertir en sinónimo de more lógico. El término geómetra todavía hoy designa al insigne matemático. Y no solo modelo del razonar, modelo de lenguaje. Todavía se ha mantenido [Los Elementos] como enseñanza obligatoria del escolar tanto por su aspecto deductivo como por el aspecto del manejo preciso, riguroso, de los términos, de las proposiciones.»

Desde los tiempos de Platón se ha proclamado que las Matemáticas ejercen una influencia educativa decisiva en la formación y desarrollo de la inteligencia, por lo que es una obligación del Estado proporcionar a la juventud una buena formación matemática. Así lo proclama Platón en un tono solemne, metafísico y casi religioso, de estilo pitagórico, en forma de diálogo entre Sócrates y Glaucón, poco después del Mito de la Caverna, en el Libro VI de La República (525a–533b):

► « […] Convendrá imponer esta enseñanza [la Geometría] por medio de una ley y convencer a los que deban ocupar los puestos de gobierno de la ciudad para que desarrollen su gusto por estas ciencias. […] Con estas ciencias se purifica y reaviva el órgano del alma, cegado por las demás actividades. […] Cuidemos de que aquellos a los que hemos de instruir no se apliquen a un estudio imperfecto de estas ciencias. [] Por ellas puede elevarse la mejor parte del alma a la contemplación del mejor de los seres. [] A ellas atribuimos la aprehensión de una parte del ser

De hecho el término pitagórico Matemática derivado, como se ha dicho, del griego mathema, significa «lo enseñable por antonomasia», precepto recogido por la tradición pedagógica que ha considerado siempre a la Matemática como la clave para la forja del intelecto, de ahí el puesto de honor que le ha reservado en todo tiempo y lugar.

Concluyendo, más allá de su inconmensurable valor científico o como documento histórico relevante, construidos bajo la línea programática del idealismo platónico reiteradamente apuntado, los argumentos apuntados otorgan a Los Elementos, en la Historia de la Educación, un valor pedagógico añadido.

Consideraciones finales sobre Los Elementos

Con alguna ligera laguna u omisión, Los Elementos constituyen una magnífica estructura de ingeniería lógica y matemática, hilvanada en 465 proposiciones, todas verdaderas, que han resistido la implacable prueba del tiempo. Ninguna otra obra científica coetánea resiste una mínima comparación con Los Elementos. ¿Quién basaría hoy la explicación del movimiento de los planetas o el funcionamiento del corazón en los textos clásicos griegos? Sin embargo la confianza en Euclides es prácticamente ilimitada. Su obra es imperecedera, porque su legitimidad se basa en la sagacidad y en la sutileza de la razón y no depende de nueva acumulación de datos o de la construcción de instrumentos más perfeccionados.

Beppo Levi escribe en el prólogo de la mencionada obra Leyendo a Euclides ((Zorzal, Buenos Aires, 2001, págs. 20, 21):

► «Los Elementos constituyen la composición científica más antigua y extensa que nos ha llegado en una integridad casi perfecta; y, suerte singular, composición de una ciencia que no ha cambiado desde entonces sus fundamentos; de modo que su lectura, todos lo saben, ha quedado en todo actual; suerte singular, […] cuando pensamos que no le han faltado a veces, y aun en tiempos recientes, los ataques del empirismo para quitarle su aureola de verdad física, los que sin embrago han dejado inalterada su importancia como verdad práctica y como fundamento teórico de toda matemática».

► «¿Serán Los Elementos una recopilación más o menos buena que un modesto profesor ha redactado en forma de apuntes útiles para sus alumnos y que ha tenido la suerte de parecer útiles también a muchas personas cultas y a muchos alumnos de las generaciones siguientes? ¿o será desatinado emprender la lectura imaginando al filósofo matemático, que tiene fe en el valor moral de la capacidad razonadora del hombre, y que prueba sus fuerzas en la construcción de un monumento deductivo, que no tiene otro fin que el alegrarse al mirar cómo parece la realidad plegarse para hacerse espejo de la invención abstracta».

 

Los Elementos marcan uno de los hitos más importantes de la Historia de la Cultura y de la Ciencia porque como codificación de los fundamentos de la Geometría de la regla y el compás establecieron un férreo paradigma de exposición y de demostración en Matemáticas, convirtiéndose en una obra maestra canónica que ha permanecido vigente e insuperada durante 2300 años, siendo para profesionales y aficionados a las Matemáticas, lectura tras lectura, una fuente inagotable de fruición intelectual, de goce supremo por la agudeza, el ingenio y el artificio de una elegante argumentación matemática.

Cada versión de Los Elementos ha sido un nuevo monumento a la persistencia de la memoria de su cabal autor, en homenaje de quién recordamos citas de textos de ilustres personajes, científicos, historiadores y pedagogos, a las que, ahora, añadimos las siguientes referencias:

  • Se dice que Lincoln presumía de «haber aprendido a pensar con lógica leyendo los Elementos»; así lo da a entender en un esbozo autobiográfico: «Tras la lectura de todas las proposiciones de los seis primeros libros de Euclides, encontré el sentido de lo que significa demostrar» (J.Mellon: The Face of Lincoln, Viking, New York, 1979, pág.67).
  • Einstein refiriéndose a Euclides y a Los Elementos, decía: «Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento» (Sketch autobiográfico sobre A.Einstein. Philosopher-Scientist. P.A.Schilpp, 1951); y también: «Si Euclides no es capaz de encender tu entusiasmo juvenil, entonces no has nacido pasa ser un pensador científico» (Americam Mathematical Montly, vol.99, nº8, 10/1992, pág.773).
  • Hilbert pondera la obra euclídea con estas palabras: «la importancia de un trabajo científico como Los Elementos puede medirse por el número de publicaciones previas que convierte en lectura superflua».
  • En el mundo de la ficción el propio Dr. Watson comparaba los poderes de deducción de Sherlock Holmes con la capacidad demostrativa de Euclides: «Sus conclusiones fueron tan infalibles como las numerosas proposiciones de Euclides».

► «Los Elementos es el libro más reproducido de todo el patrimonio cultural después de la Biblia. […]. Es una de las voces más importantes de la herencia clásica, una especie de propiedad sagrada como demostración de humanidad y manifestación de cultura y civilización superiores. […]. Euclides no es un mero recopilador y ordenador, aunque dicha actividad ya sería suficiente para elevarle a la categoría de inmortal, porque se trata nada menos que de la concepción unitaria de la Matemática. […]. Los Elementos capacitan para adueñarse de toda la Matemática, no son un «camino real» sino el único que conduce al dominio de las Matemáticas».

—  E.COLERUS. Breve historia de las Matemáticas. Doncel, Madrid, 1972. Vol.1, págs. 47, 48,  49, 53.

 

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