► «Este maravilloso libro [Los Elementos de Euclides] ha sido, es y será el libro de Matemáticas más grande de todos los tiempos».
— Thomas HEAT. History of Greek Mathematics. Dover.New York, 1981. Vol.1. pág. 358.
► «La introducción de los postulados en Los Elementos de Euclides revela una lógica matemática mucho más sutil que la lógica aristotélica. […] La originalidad de Los Elementos reside el sumo cuidado con el cual, con el mínimo de postulados, se esfuerza en obtener el máximo de resultados».
— Jean ITARD. Essais d’Histoire de les Mathematiques. Blanchard, París, 1984. pág. 91.
► «Con todo derecho la Geometría de Euclides habría que denominarla Geometría platónica».
— Giovanni REALE. Platón. En búsqueda de la sabiduría secreta. Herder, Barcelona, 2001, pág. 213.
► «Los Elementos de Euclides constituyen, sin ninguna duda, el libro sobre Matemáticas de mayor influencia que jamás se haya escrito, llegando a formar parte de toda educación liberal. […] El efecto que le produjo la lectura de Euclides al artista del Renacimiento (Durero, Leonardo,…) fue arrollador».
— Dan PEDOE. La Geometría en el arte. Gustavo Gili. Barcelona, 1979, págs.123, 126.
Además de su posible formación de juventud en la Academia de Atenas, como miembro destacado del Museo y la Biblioteca, Euclides respiraría en Alejandría la influencia aristotélica y sobre todo el influjo platónico, que había estipulado el idealismo científico, en el sentido de que las ciencias, sobre todo las Matemáticas, deberían basarse en el puro razonamiento y ser independientes de toda experiencia sensible y de todo aspecto práctico de la realidad sensorial. Así lo declara Proclo cuando escribe en su famoso “Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides”:
► «Euclides era platónico en cuanto a su opinión y la filosofía del maestro le era muy familiar, […]».
Tal circunstancia parece confirmarse con la culminación de Los Elementos en la exhaustiva y casi monográfica dedicación del último Libro (el número XIII) a los Sólidos Platónicos (los Poliedros regulares), como queriendo dar consistencia geométrica a la doctrina mística del Timeo de Platón.
Para Proclo –en su Comentario–, Los Elementos debían contener las proposiciones necesarias y suficientes para forjar un Corpus geométrico nuclear que ofreciera una línea directriz general del desarrollo deductivo de donde poder progresar más allá de los conocimientos adquiridos, para poder derivar los nuevos resultados que se pueden obtener en todas las ciencias matemáticas. Así pues, Los Elementos no contendrían la totalidad de todo el saber matemático de la época, sino solo una parte esencial, seleccionada de forma cuidadosa, bajo un estricto criterio prefijado, que convirtió una serie de conocimientos anteriores, muy dispersos, en un sistema unitario, estructurado y jerarquizado según un método, llamado axiomático, preconizado ya por Aristóteles, como único a seguir en toda ciencia deductiva y que resultó ser, más tarde, el método general utilizado en la Matemática y en otras ciencias.
Según escribe Beppo Levi en su obra Leyendo a Euclides (Zorzal, Buenos Aires, 2001, pág. 61):
► «Los Elementos construyen, por primera vez, la Geometría fuera del dominio de los objetos físicos, sobre ideas primitivas (según el término moderno) que solo actúan por sus propiedades explícitamente enunciadas (nociones comunes, axiomas, postulados, los que Sócrates llama repetidamente hipótesis».
En efecto, todo el conjunto de proposiciones y construcciones del sistema euclídeo se deducen, sin otro recurso que la Lógica, de un número exiguo de principios que han de admitirse sin demostración. El sistema y el método euclídeos fue de tal fecundidad que la obra euclídea eclipsó otros Elementos redactados con anterioridad –se cree que hasta cinco en el seno de la Academia platónica, cada uno readaptando los anteriores–, y además, con posterioridad a Euclides no se conocen, durante más de dos mil años, obras de naturaleza similar, signo manifiesto de su éxito como texto científico y didáctico.
El instrumento básico que le permitió a Euclides componer su magnífico edificio fue la Lógica de Aristóteles, que actuando como cemento vinculaba con una ilación impecable unas proposiciones a otras. El Organon aristotélico debió de inspirar a Euclides el modelo a seguir para construir el andamiaje lógico de su obra, ya que según Aristóteles:
► «La Geometría es una ciencia deductiva o racional, es decir, que puede adoptar la forma de un sistema de conclusiones obtenidas de un cierto número de premisas fundamentales por medio de sucesivos silogismos. […] Los fundamentos de la Geometría son, pues, los axiomas, las definiciones y las hipótesis».
A este respecto, escribe también Beppo. Levi (Leyendo a Euclides, págs. 83–84):
► «Una de las características de Los Elementos es la conducta lógica formal de la exposición, que recuerda la teoría aristotélica del silogismo: sistemática división de proposiciones; en cada proposición enunciación primero de una tesis en términos generales; luego nueva enunciación aplicada a una figura particular. Finalmente demostración sobre la figura. La demostración dividida en una serie de conclusiones particulares en cadena y terminando regularmente con la afirmación “lo que se quería demostrar”».
Procedía de Aristóteles la distinción clara que hizo Euclides entre axiomas y postulados, así como que la fuente de muchas de las definiciones de Los Elementos residía en ciertas obras del filósofo estagirita (Ética a Nicómaco, Meteorología, Segundos Analíticos, Del Cielo, Tópicos, Metafísica,…). En la acepción moderna, postulado y axioma, son palabras equivalentes para indicar proposiciones “indemostradas” y estructuras gramaticales formadas por la conjunción de las ideas primitivas y de términos lógicos, con el propósito de servir de fundamento a la teoría deductiva. Para Aristóteles, los axiomas son verdades evidentes por sí mismas y por tanto indemostrables. A estos axiomas, que en griego significan dignidades, Aristóteles los llama indistintamente principios, opiniones, noticias y nociones comunes. Euclides elige el término aristotélico de «nociones comunes» para designar a los axiomas, como queriendo indicar no solo la evidencia aristotélica, sino el principio innato del conocimiento demostrativo, adoptando para el término común el sentido no solamente de emplearse en varias ciencias, sino ante todo el de pertenencia al pensamiento de todos los hombres.
Los Postulados euclídeos se diferencian de los axiomas por su menor grado de evidencia y suelen ser afirmaciones de operaciones geométricas que se pueden efectuar –trazar una recta o una circunferencia, determinar la intersección de dos rectas,…–. A veces son afirmaciones de existencia y determinación unívoca de ciertas figuras. Aunque aparezcan expresiones operativas y cinemáticas como trazar, prolongar, etc., deben concebirse –al menos en la Geometría plana de los seis primeros Libros de Los Elementos– con significado abstracto y estático. Maurice Caveing, en su artículo Euclides (en “El Saber griego”. Akal, Madrid, 2000, pág. 484) escribe:
► «Es función de los postulados la de ser hipótesis que aseguran la aplicabilidad de la matemática euclidiana a un mundo en el que los cuerpos físicos son invariantes por el grupo de los desplazamientos (traslaciones y rotaciones). Esta opción le asegura el privilegio de aparecer como “natural” durante un tiempo plurisecular que no terminaría hasta el siglo XIX».
Las definiciones aclaran el sentido y el significado de las palabras o expresiones cortas que se utilizan par evitar algún molesto rodeo y describen las propiedades suficientes para calificar las entidades de las que se habla. Las definiciones euclídeas están reunidas muchas de ellas al principio de la obra, antes incluso que los postulados y axiomas, después aparecen al principio de algunos Libros con significado un poco más técnico. Al igual que los axiomas, las definiciones son indemostrables y su objeto se reduce a decir qué es lo definido, sin afirmar su existencia, la cual es objeto de las hipótesis que la declaran explícitamente. No obstante, según Aristóteles mientras que la existencia de los conceptos fundamentales se puede admitir sin demostración, la de la cosa definida a veces debe ser objeto de las proposiciones demostrables –teoremas y problemas–.
Por otra parte, más allá de la Metafísica y la Lógica aristotélicas, el espíritu de Los Elementos rezuma por doquier un aroma platónico. Volviendo al texto el texto de Beppo Levi (Leyendo a Euclides), podemos leer:
►«Los Elementos de Euclides aparecen como el fruto de las concepciones del círculo de matemáticos y filósofos de la Academia platónica, […]. La Geometría de Euclides [está latente] en el pensamiento expresado en los Diálogos de Platón» (pág.16).
►«La Academia platónica es una escuela que mira a la Geometría como una audacia del espíritu, remolque del alma hacia la verdad e impulso al pensamiento filosófico» (pág. 49).
Una de sus características de la obra euclidiana es precisamente la imposición de limitaciones a los conceptos y formas de razonamiento para escapar del empirismo. En este sentido continúa el texto de Beppo Levi (Leyendo a Euclides, págs. 83, 84):
► «Es bien posible que tal formalismo [euclidiano] imitara de cerca algo de la dialéctica sofística y por nada es absurdo que tal forma adoptara un discípulo de Sócrates [En sentido figurado, Euclides, discípulo de Sócrates a través de Platón], el fustigador de sus contemporáneos sofistas, pues lo que Sócrates combate no es la forma, que hasta cierto punto conserva él también en sus análisis dialogados, sino el error que se oculta en deducir, por razonamientos formalmente exactos, de premisas variables y engañosas; valía la pena mostrar qué distinto es el resultado cuando se parte de axiomas claros y unívocos. La maravilla de los Elementos consistía precisamente en demostrar, con el ejemplo, cómo podía la inteligencia del hombre, guiada por el razonamiento riguroso, llegar de esas pocas premisas simples a las verdades que el secular conocimiento empírico podía haber enseñado».
El ambiente científico alejandrino donde trabajaba y escribía Euclides estaba dominado por el idealismo platónico que despreciaba la dimensión sensible de la realidad y las aplicaciones prácticas de la Geometría y la Aritmética por considerarlas corruptoras y degradantes. En toda la obra geométrica euclídea no aparece ni una sola aplicación práctica. Tampoco figura ni un solo ejemplo numérico, aunque el tratado tiene tres libros de Aritmética, pero los números están disfrazados de segmentos y las operaciones entre ellos se realizan mediante construcciones geométricas. Las cuestiones calculísticas eran objeto de una actividad subalterna que los griegos llamaban Logística, de rango intelectual inferior a la Aritmética y, de modo análogo, una actividad también inferior que llamaban Geodesia se ocupaba de las utilización práctica de la Geometría. Ambas actividades eran propias de los esclavos o como mucho de los artesanos e impropias de los filósofos.
Aunque suele decirse que la Geometría de Euclides es la «Geometría de la regla y el compás», debe entenderse como metáfora, ya que no hay en Los Elementos ninguna mención a estos instrumentos ni a ninguna otra herramienta geométrica material. En puridad habría que decir que la Geometría de Euclides solo admite construcciones con rectas y circunferencias y veta todo instrumento geométrico de acuerdo con la condena de todo pragmatismo en la Filosofía platónica que trasluce el siguiente pasaje de Plutarco (Vidas paralelas: vida de Marcelo, XIV):
► «[….]. Platón se indispuso e indignó contra ellos [contra Arquitas de Tarento y Eudoxo de Cnido], porque degradaban y echaban a perder lo más excelente de la Geometría con trasladarla de lo incorpóreo e intelectual a lo sensible y emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y manuales».
Por herencia pitagórica, para Platón la Matemática no solo es una realidad perfecta sino la auténtica realidad. Por tanto los conceptos de la Matemática son independientes de la experiencia y tienen una realidad propia; se los descubre, no se los inventa o crea. Los juicios geométricos son eternos y apriorísticos, y corresponden a una realidad intemporal e inmutable, que es la auténtica realidad, más real que la engañosa, imperfecta e incompleta realidad sensible. De acuerdo con su idealismo geométrico, Platón subraya que los razonamientos que hacemos en Geometría no se refieren a las figuras concretas que dibujamos sino a las ideas absolutas que ellas representan (República, 510d–510e):
► [Los matemáticos] se sirven de figuras visibles que dan pie para sus razonamientos, pero en realidad no piensan en ellas, sino en aquellas cosas a las que se parecen. Y así, por ejemplo, cuando tratan del cuadrado en sí y de su diagonal, no tienen en el pensamiento el que dibujan y otras cosas por el estilo. Las mismas cosas que modelan y dibujan, cuyas imágenes nos las ofrecen las sombras y los reflejos del agua son empleadas por ellos con ese carácter de imágenes, pues bien saben que la realidad de esas cosas no podrá ser percibida sino con el pensamiento.»
De esta visión platónica idealista podría derivar la distinción que en la Grecia clásica se hizo, como se ha dicho, entre Aritmética y Geometría como factores espirituales de elevación hacia la Filosofía y Logística y Geodesia como instrumentos materiales y utilitarios de los artesanos y técnicos. Así pues, debido a la influencia de Platón, la Geometría permanecería a partir de entonces ligada a un modelo teórico de la Matemática pura, que rechaza de forma elitista sus aplicaciones prácticas y desprecia los aspectos sensoriales de la realidad. Como consecuencia de esta Filosofía de la Geometría, puede haber sido Platón el responsable de la restricción predominante en las construcciones geométricas griegas a aquellas que pueden realizarse solo con regla y compás.
Pues bien, Los Elementos de Euclides representan la culminación del idealismo platónico en Matemáticas. Los griegos hacen Geometría «por el mero honor del espíritu humano», como muchos siglos más tarde diría el eminente matemático Jacobi (1804-1851), y la utilidad es un valor añadido. Es más, para los griegos la raíz etimológica del término Geometría sería incluso paradójico, porque Geometría significa «medida de la tierra», pero fueron precisamente los geómetras griegos quienes la independizaron de tal menester y de cualquier otra finalidad práctica, a lo que dedicaban, como se ha dicho, la actividad artesanal llamada Geodesia. Para los griegos las actividades más dignas desde una perspectiva intelectual eran las que, como en su Geometría, carecían de utilidad inmediata y atendían solo a la curiosidad intelectual mediata presidida por la reflexión serena, independiente de todo pragmatismo y no espoleada por la urgencia biológica de la satisfacción de las necesidades vitales inmediatas.
