ESTAMPAS EUCLIDIANAS (2)

A INFLUENCIA HISTÓRICA DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

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Los Elementos de Euclides son el marco inevitable de referencia en toda la Historia de la Geometría griega. El conjunto de sus trece libros dedicados al desarrollo lógico, ordenado y sistemático de los fundamentos de la Geometría griega elemental, es la obra cumbre de la Matemática griega. Los defectos que puedan constatarse en la magnífica obra euclidiana son insignificantes comparados con el extraordinario mérito de haber construido un edificio científico deductivo a partir del cúmulo de heterogéneos conocimientos dispersos que constituían la Matemática griega anterior. La influencia de Euclides en el período helénico ulterior fue tan profunda que todos los matemáticos griegos posteriores se sintieron, de una forma o de otra, deudores de su obra.

► «Los Elementos de Euclides reducen a todos sus predecesores a objetos de mero interés histórico».

— O. NEUGEBAUER. The exacts Sciences in antiquity. Dover. New York, 1969. Pág. 145.

► «La lectura de Euclides no sólo hace geómetras a los jóvenes, sino que insensiblemente los va habituando a ser excelentes lógicos».

— ANÓNIMO. Tratado de Geometría. Siglo XVIII.

► «La Geometría euclidiana, que  es idéntica, grosso modo, a la Geometría popular de todos los tiempos, no coincide con la intuición sino en muy estrechos límites, en el papel. […] Euclides procede de acuerdo con el sentir antiguo que obedece al terror cósmico ante lo inconmensurable».

— Oswald SPENGLER. La decadencia de Occidente. Austral, Madrid, 1998. Cap.I.1

► «Einstein: “Si Euclides no es capaz de encender tu entusiasmo juvenil, entonces no has nacido para ser un pensador científico”».

Americam Mathematical Montly, vol.99, nº8, 10/1992. Pág.773.

► « El muy sagaz Euclides recopiló los fundamentos de la Geometría. Quien los conozca bien, no tiene ninguna necesidad de lo escrito a continuación, […]».

— Alberto Durero. De la Medida. Akal, Madrid. 2000. Pág. 133.

► « Los Elementos de Euclides constituyen, sin ninguna duda, el libro sobre Matemáticas de mayor influencia que jamás se haya escrito, llegando a formar parte de toda educación liberal. […] El efecto que le produjo la lectura de Euclides al artista del Renacimiento (Durero, Leonardo, …) fue arrollador. […]».

— Dan PEDOE. La Geometría en el arte. Gustavo Gili. Barcelona, 1979. Págs.123, 126.

Pero este influjo de la obra euclidiana se extiende a toda la Historia de la Matemática, al ser el punto de partida de casi todas las investigaciones matemáticas hasta por lo menos el siglo XVII, cuando aparece en escena la Geometría Analítica como poderoso instrumento algorítmico de resolución de problemas geométricos y herramienta indispensable para el conocimiento y dominio científico  de la naturaleza. No obstante, la Geometría Analítica no llega a oscurecer a la Geometría euclídea, sino que la resitúa en el ámbito de la llamada Geometría Sintética, de modo que siguen ambas a partir de ahora un curso paralelo, al establecerse dos métodos de resolución de los problemas geométricos, que se utilizan indistintamente según el objetivo o la naturaleza del problema, o también según el gusto y el sentido estético.

Los Elementos han sido la fuente más importante de conocimiento matemático. Utilizados generación tras generación, han influido sobre el rumbo de las Matemáticas más que ningún otro texto. La composición magistral de Euclides, como tratado geométrico magníficamente organizado con una inefable habilidad expositiva, además de ser la primera obra matemática fundamental que ha llegado hasta nosotros, ha sido la más venerada y ha tenido más ascendencia que ningún otro texto matemático, oscureciendo cualquier otro trabajo precedente sobre la materia, de modo que la obra euclidiana se ha convertido en un texto paradigmático, hasta el punto de que cuando para apoyar una demostración, un matemático alude, por ejemplo, a XII.2 se sobreentiende que la referencia es a la Proposición 2 del Libro XII de Los Elementos. A este respecto escribe Luís Vega (La Trama de la Demostración. Alianza Universidad. Madrid, 1990, pág. 387):

► «No es casual que un aspecto institucional característico de Los Elementos sea la calidad de archivo de la Matemática elemental que confieren al tratado los usos, citas y alusiones posteriores: en él han cristalizado los conocimientos y las técnicas básicas en materia de Geometría. Constituye un depósito de teoremas y de procedimientos de libre disposición, un repertorio de resultados que cabe aducir por una simple mención o por su uso tácito, sin otros requisitos de prueba ni mayor justificación que el hecho de ser proposiciones de Los Elementos: allí constan y por ende son cosa sabida. Por otro lado, facilita un tipo peculiar de desarrollo de la disciplina geométrica: su crecimiento normal por sucesivas adiciones que irán completando lo que falte, según había previsto Aristóteles.»

 

Es muy difícil valorar el grado de originalidad del texto euclidiano. El mismo Euclides jamás formula ninguna pretensión al respecto, de modo que se siente tributario de los matemáticos anteriores, pero aparte de que algunas demostraciones sean originales (por ejemplo la del Teorema de Pitágoras –Proposiciones I.47 y I.48– y la generalización de la Proposición VI.31, según testimonio de Proclo de Licia), y aunque el estilo de presentación de Los Elementos pudiera haber sido utilizado por alguno de sus predecesores –en particular por Hipócrates de Quíos–, sí son atribuibles a Euclides el proyecto de reunir en un Corpus único todos los tratados de Geometría existentes, la forma y la organización general del conjunto de la obra, es decir, la elección de los axiomas y postulados, la explícita concreción de cada una de las definiciones, la encadenada secuenciación lógica de los teoremas desde lo más simple a lo más complejo, el rigor incostestable de las pruebas, el refinamiento lógico hasta una ordenación final de la Matemática elemental en un sólido cuerpo geométrico, son sin duda obra suya.

La importancia histórica de Los Elementos viene definida por el profundo impacto que esta obra ha tenido sobre el pensamiento científico, y no solo en el ámbito matemático, de modo que ha sido un tratado estudiado, analizado, comentado y editado hasta la saciedad. De hecho, después de la Biblia es la obra que más veces se ha editado (se cree que más de un millar de ediciones a lo largo de los siglos); y así no sorprende el que algún estudioso entusiasta llame a Los Elementos la Biblia de las Matemáticas. Más allá incluso del terreno matemático, donde su estilo se impuso de forma normativa, Los Elementos, con esa economía y brillante claridad que preside el tránsito hacia los teoremas, con la idea de pruebas directas o indirectas, desde las hipótesis básicas hasta las conclusiones más sutiles, han sido un modelo ideal de método de exposición hipotético-deductivo para autores como Arquímedes en el ámbito de la Estática y la Hidrostática, Ptolomeo en la Astronomía, Galeno en la Medicina y Galileo en la Física, en el panorama propiamente científico.

También en otras disciplinas, digamos humanísticas, sobre todo para Spinoza en la Ética o Hobbes en la Filosofía Política, donde se refleja la preocupación por el deseo de certeza ante las evidentes debilidades del razonamiento puramente persuasivo de la Retórica o la Dialéctica.

La Ética de Spinoza de título Ethica Ordine Geometrico Demonstrata (Ética demostrada según el orden geométrico) toma como modelo expositivo la obra euclídea con axiomas, definiciones, postulados, teoremas, demostraciones, corolarios,…, siguiendo una rigurosa lógica deductiva. Para Spinoza «todo lo real es racional» y por tanto para explicar la realidad escoge la forma más racional de hacerlo que no es otra que el método deductivo de la Geometría euclídea.

Asimismo, Thomas Hobbes, padre de la Filosofía Política moderna, impulsado por la idea de la unidad del saber y la unidad de método para alcanzarlo, escribe Leviatán, donde a partir de unas definiciones iniciales se deducen toda una serie de combinaciones conceptuales siguiendo el modelo geométrico euclídeo.

► «Hasta los 40 años no se interesó por la Geometría, hecho que ocurrió por accidente al hojear casualmente en una biblioteca un libro de Los Elementos de Euclides, abierto por la Proposición I.47 [El Teorema de Pitágoras]. “¡Vive Dios! –exclamó– ¡Esto es imposible!” Así que se puso a leer la demostración que le llevó a otras anteriores y éstas le remitieron a otras, que también leyó, hasta que quedó absolutamente convencido de esa verdad. Esto le hizo enamorarse de la Geometría».

— John AUBREY. De la vida de Thomas Hobbes (en Brief Lives), Londres, 1694.

En las obras de Spinoza y Hobbes no hay concesiones literarias y los mensajes responden a la firma voluntad de persuasión científica emulando a Euclides, a base de sustituir el silogismo aristotélico por la deducción geométrica (el more geometrico) como paradigma de prueba concluyente.

 

Los Elementos como modelo real de organización deductiva y de exposición metódica de la ciencia, establecen el arquetipo general de ciencia rigurosa y producen, por tanto, una repercusión cultural que traspasa los límites disciplinares de la Geometría y de la Matemática y el espacio temporal del mundo helenístico. Esta incidencia externa del paradigma euclidiano se llama a veces el estilo euclídeo, queriendo indicar una normativa reguladora de la organización sistemática de la ciencia y una modalidad del discurso científico, que se proyecta sobre campos del conocimiento con pretensiones científicas. El poder de normalización que Los Elementos ejercieron sobre la Geometría se aplicará a las demás ciencias, siendo el estilo euclídeo el patrón canónico y el criterio del rigor deductivo que debe corresponder a la demostración científica en general.

A principios del siglo XIX, la especulación desinteresada del espacio, sin los estímulos de la Física, produce un renacimiento de la Geometría pura y emerge la figura de Euclides para producir dos efectos importantes. Por una parte se advierten algunos pequeños defectos de una obra que había resistido la crítica de veintidós siglos, y por otra, tras las múltiples investigaciones en torno al famoso quinto postulado, hacen su aparición las llamadas Geometrías no Euclídeas, de modo que a partir de entonces debemos decir que la Geometría de Los Elementos no es la Geometría sino una de las Geometrías.

  1. CAVEING, en su artículo Euclides (en El Saber griego. Akal, Madrid, 2000. Págs.479, 480, 482, 485) escribe:

«El nombre de Euclides ha atravesado los siglos hasta nuestros días, cargado con un valor simbólico para la totalidad de las Matemáticas, tal como la concebían idealmente los sabios y pensadores. […]. Constituyen el cuerpo de doctrina central de las ciencias matemáticas, del que se puede derivar el resto. […]. Los Elementos fueron el principal vehículo de la transmisión del saber matemático de base en las épocas helenística y romana. […]. Los Elementos permanecen como núcleo de investigaciones dinámicas y su carrera, en este sentido, todavía no ha concluido».

3 COMENTARIOS

    • Muchas gracias , Rubén, por tu comentario.
      El capitulo 3 lo dedicaré al sustrato filosófico de «Los Elementos» de Euclides.
      Un cordial saludo. Pedro Miguel

  1. Una lección muy concentrada y potente de historia de la matemática; que me anima a comenzar, despacito y con interés, la lectura de » los elementos».
    Muchas gracias.

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