ESTAMPAS EUCLIDIANAS (1)

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LOS  ELEMENTOS  DE  EUCLIDES. BIBLIA  DE LA GEOMETRÍA GRIEGA

Euclides es una figura histórica de la mayor relevancia en el ámbito escolar por la ingente repercusión que su obra ha tenido en la conformación de la Matemática elemental a lo largo de la Historia de la Educación matemática. Una única obra, Los Elementos, ha bastado, para asegurar su inmortalidad en la Historia de la Matemática y su permanencia en la Escuela, de su autor; la primera para determinar el contenido de la Matemática elemental.

 

►« Desde hace más de dos milenios, una cierta familiaridad con la Matemática ha sido considerada como parte indispensable de la formación intelectual de toda persona cultivada».

— R.COURANT.  ¿Qué es la Matemática? Aguilar. Madrid, 1971, pág. IX

►« Lincoln: “He aprendido a pensar con lógica leyendo Los Elementos de Euclides. […] Tras la lectura de todas las proposiciones de los seis primeros libros de Euclides, encontré el sentido de lo que significa demostrar”».

— J.MELLON. The Face of Lincoln, Viking, New York, 1979, pág. 67.

►«La lectura de Euclides a los 11 años fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor.

— B.RUSSELL. Autobiography. Little, Brown & Co, Boston, 1951, pág. 37.

►«Einstein: “Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento”»

— P.A.SCHILPP. Sketch autobiográfico sobre Einstein. Philosopher-Scientist, 1951.

►«Los Elementos de Euclides como codificación de los fundamentos de la Geometría de la regla y el compás son el tesoro matemático de la humanidad desde hace más de dos mil años.

— Abel REY. El apogeo de la ciencia técnica griega. UTEHA, México, 1962. Vol.1. Cap.4. p. 176.

Aún hoy, después de 2300 años desde que Euclides los compuso, la lectura de Los Elementos sigue provocando una profunda admiración, seguida de fruición intelectual, por el derroche inusitado de ingenio, lógica, rigor, didáctica, exactitud, certeza, pureza, belleza, coherencia y elegancia. Todo lo que se haya dicho y se diga sobre la obra euclidiana, que es mucho, siempre resulta insuficiente: Tesoro matemático de la humanidad, cumbre de la Matemática griega, compilación de la Geometría platónica, una de las voces más importantes de la herencia clásica, Biblia de las Matemáticas, demostración de humanidad y manifestación de cultura y civilización superiores, Geometría popular de todos los tiempos, cima del pensamiento matemático, codificación de los fundamentos de la Geometría de la regla y el compás, libro secular más estudiado de toda la Historia, primera teoría propiamente dicha que registra la Historia, el libro más grande y más maravilloso de las Matemáticas, el más famoso libro de texto, y un larguísimo etcétera.

Los Elementos de Euclides es el tratado de Matemáticas que mayor influencia ha tenido a lo largo de toda la Historia de la Cultura –incluso mucho más allá de la propia Matemática y ciencias afines– y que más veces se ha editado, después de la Biblia. La principal obra de Euclides ha constituido, como autoridad indiscutida, el cuerpo de doctrina central de la totalidad de las ciencias matemáticas elementales hasta mediados del siglo XIX, del que se puede derivar el resto y ha sido a lo largo de la Historia de la Ciencia y de la Educación el principal vehículo de la transmisión del saber matemático hasta mediados del siglo XX. Pero aún hoy la carrera de Euclides no ha concluido, porque Los Elementos de Euclides siguen siendo, por una parte, una fuente inagotable de estudios epistemológicos y de investigaciones históricas, y por otra, una fuente fundamental del currículum de la Matemática elemental, que determina el contenido y el orden lógico secuencial y por tanto la ordenación curricular de los diversos temas y capítulos de los Libros de Texto de la Matemática escolar básica y secundaria.

Euclides, el autor de Los Elementos

Euclides y Arquímedes son las dos figuras más importantes de la Matemática griega. Mientras que Arquímedes es el investigador por excelencia, que incrementa de forma muy considerable el caudal matemático griego, la trascendente tarea de Euclides estriba en estructurar el patrimonio matemático griego en un entramado consistente, claramente organizado mediante una concatenación lógica de los resultados –Los Elementos–. Así que más que crear unas matemáticas nuevas (lo que hizo toda una brillante pléyade de matemáticos anteriores –Tales, Pitágoras, Hipócrates, Demócrito, Arquitas,…– y sobre todo los de la Academia de Atenas –Teeteto, Eudoxo, Menecmo, Dinostrato,…– que bajo la dirección matemática y filosófica platónica realizaron el llamado «milagro griego» en Matemáticas), a Euclides le cabe el inmenso mérito de la ordenación y sistematización de la Geometría griega elemental, de manera que con independencia de sus aportes originales, su mayor contribución se le reconoce como gran compilador y creador de un estilo de exposición –el método axiomático–, de modo que en lenguaje actual diríamos que Euclides es un gran maestro y su obra fundamental un Libro de Texto, que establece un férreo paradigma de exposición y de demostración en Matemáticas, una especie de norma académica de obligado respeto para todo matemático.

 

Hay una notable discrepancia entre el valor inconmensurable de la obra de Euclides y la ignorancia que se tiene en torno a su persona y las circunstancias de su vida, incluso la fecha y el lugar de nacimiento. Los exiguos datos biográficos se reducen a unos pocos comentarios y algunas anécdotas que se fueron recogiendo en ciertas obras escritas varios siglos después de su existencia, sobre todo al final de la cultura greco–romana y a lo largo de la Edad Media. La información no puede ser, pues muy fidedigna. Incluso sabios próximos en el tiempo, como Arquímedes de Siracusa y Apolonio de Perga, sobre los que la obra euclídea tuvo una influencia capital, apenas lo mencionan. Apolonio lo cita en un prólogo y en Arquímedes hay solo dos citas de Los Elementos de Euclides.

Hacia el año 300 a.C. Euclides debió de llegar a Alejandría, requerido como profesor por las instituciones docentes del Museo, y allí vivió el resto de su vida enseñando y escribiendo sobre Matemáticas. Por la naturaleza de su obra, Euclides habría estudiado probablemente con los discípulos de Platón en la Academia de Atenas, donde habría conocido los últimos resplandores de su foco científico, siendo responsable de su irradiación hacia la nueva sede del Saber, Alejandría.

► «La personalidad de Euclides es muy poco conocida, se sabe únicamente que vivió en Alejandría hacia el año 300 a.C. […]. La significación científica de “Los Elementos” de Euclides y la enorme fama y difusión que han alcanzado ha promovido un culto a la obra en la que se cree ver la base de todo sistema geométrico completo».

—  FELIX KLEIN. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Vol. II. Geometría. Biblioteca Matemática. Dtor: J.Rey Pastor. Madrid, 1931 (págs. 251–252).

Las referencias más fiables sobre Euclides serían las que relata Proclo (siglo V d.C.) en su famoso “Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides”  –una de las principales fuentes sobre la Matemática griega, donde el filósofo neoplatónico da unas valiosísimas referencias biográficas y bibliográficas, que constituyen un resumen sumario de la Historia de las Matemática griega, desde los orígenes hasta Euclides. Transcribamos algunos fragmentos del mismo referente a Euclides, tomado de “El principal texto antiguo relativo a la Historia de la Geometría” (en Abel Rey, “El apogeo de la ciencia técnica griega, UTEHA, México, 1962. págs. 7–9):

► «Euclides vivió en los días de Ptolomeo I, pues es citado por Arquímedes, que nació en las postrimerías del reinado de aquel soberano y, por otra parte, se cuenta que Ptolomeo preguntó cierto día a Euclides si no había un camino más corto para la Geometría que Los Elementos; obtuvo la siguiente respuesta: «En la Geometría no hay camino para los reyes».

Los mitos asociados a Euclides lo describen como el típico sabio bonachón, modesto y amable, pero no exento de cierta ironía mordaz. Cuenta una leyenda relatada por Estobeo (siglo V d.C.) que cuando uno de sus alumnos le espetó al maestro la consabida pregunta: «¿Para qué sirve el estudiar Geometría?», Euclides llamó a su esclavo y le dijo

► «Dale unas monedas a este, ya que necesita sacar provecho de lo que aprende».

 

El propósito de Los Elementos de Euclides

Los Elementos de Euclides vertebran la Geometría griega elemental en toda su extensión y son el marco inevitable de referencia. A veces se cree que Los Elementos de Euclides contienen un resumen sumario y exhaustivo de toda la Geometría griega; pero en realidad la obra de Euclides es un compendio, en lenguaje geométrico, de todos los conocimientos de la Matemática elemental, es decir, por una parte, la Geometría sintética plana –puntos, rectas, polígonos y círculos– y espacial –planos, poliedros y cuerpos redondos–; y por otra parte, una Aritmética y un Álgebra, ambas con una indumentaria geométrica. Así pues, Los Elementos son una exposición en orden lógico de los fundamentos de la Matemática elemental, y por tanto no contienen, por ejemplo, el estudio de las Cónicas de Menecmo ni de otras curvas planas superiores –la Hipopede de Eudoxo, la Cuadratriz de Hipias o Dinostrato, la Concoide de Nicomedes, la Cisoide de Diocles,…– que eran bien conocidas y utilizadas en la época en la resolución de problemas geométricos, considerados de naturaleza superior, como los Tres Problemas Clásicos –cuadratura del círculo, duplicación del cubo y trisección del ángulo–. A este respecto escribe Proclo en su Comentario sobre Euclides:

► « Euclides, el autor de los Elementos ordenó diversos trabajos de Eudoxo, mejoró los de Teeteto y produjo demostraciones irrefutables para aquello que sus predecesores no habían probado de manera rigurosa. […]. Son singularmente admirables sus Elementos de Geometría por el orden que reina en ellos, la selección de los teoremas y problemas tomados como elementos –pues no insertó en modo alguno todos los que podía dar, sino únicamente aquellos que son susceptibles de desempeñar el papel de elementos–, y también la variedad de los razonamientos desarrollados de todas las maneras y que conducen a la convicción, ya partiendo de las causas, ya remontándose a los hechos, pero que son siempre irrefutables, exactos y del más científico carácter

Pero ¿cuál sería el propósito de Euclides al escribir Los Elementos?

El mismo Proclo al final de su Comentario nos dice algo al respecto:

► «Los Elementos son una guía segura y completa para la consideración científica de los objetos de la Geometría.»

Y en un párrafo anterior Proclo escribe:

► «Euclides dio los procedimientos que emplea la perspicaz inteligencia y por los cuales es posible ejercitar a los principiantes en el estudio de la Geometría para que reconozcan los paralogismos y eviten los errores.»

El propósito de Euclides escribiendo Los Elementos sería pues de índole metodológica, construyendo una especie de manual, a base de estructurar en una secuencia jerárquica lógica los resultados geométricos de sus antecesores, en particular los de Tales, Pitágoras, Hipócrates, Demócrito, Eudoxo y Teeteto. En efecto, Proclo escribe en otro párrafo:

► «Euclides, el autor de los Elementos ordenó diversos trabajos de Eudoxo, mejoró los de Teeteto y produjo también demostraciones irrefutables para aquello que sus predecesores no habían probado de manera rigurosa.»

Pero es muy probable que Euclides tuviera un propósito mucho más ambicioso todavía, que sería plasmar en un cuerpo de doctrina geométrico, la forma definitiva que debía estructurar toda la Matemática después de la solución que dio la Academia platónica a la tremenda crisis de fundamentos que produjo la aparición de las magnitudes inconmensurables. De hecho Proclo enfatiza en su Comentario:

► «Euclides era platónico en cuanto a su opinión y la filosofía del maestro le era muy familiar, […]. »

 

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(León, 12/1953) es Catedrático de Matemáticas desde 1977. Ha sido profesor de la Universidad de Barcelona y de la Universidad Politécnica de Cataluña. Su interés se centra en dimensión cultural de la Matemática y su función en la Historia del Pensamiento, sobre lo que ha publicado 12 libros, numerosos artículos y ha impartido cursos, seminarios y conferencias en Universidades de España y LatinoAmérica y en Centros de Profesores sobre Historia, Filosofía, Epistemología y Didáctica de las Matemáticas. Es también coautor de Libros de Texto. Desde hace un tiempo también publica periódicamente en las redes sociales y en prensa digital.

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