EL FUNDAMENTO ARITMÉTICO PITAGÓRICO DE LA ARMONÍA MUSICAL

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► «Pitágoras consideró que los números son la clave de la comprensión del universo. … Lo cierto es que la relación establecida por su escuela, entre las Matemáticas, la Ciencia y la Filosofía, no se ha perdido nunca».

—  John BERNAL. Historia social de la Ciencia. Península, Barcelona, 1979. vol.I. Pág.150.

► «No conozco ningún otro hombre que haya tenido mayor influencia en el campo del pensamiento, porque lo que aparece como platonismo resulta después de analizarlo, esencialmente pitagorismo».

—  Bertrand RUSSELL. Historia de la Filosofía Occidental. Espasa Calpe. Vol.I. Madrid, 1995. Pág. 75.

Profundo entendido en el arte musical, Pitágoras conocía la acción benéfica de la música y aplicó los tonos musicales al tratamiento de enfermedades físicas y psíquicas, y compuso melodías capaces de neutralizar depresiones, arrebatos de cólera y todo tipo de alteraciones emocionales, de ahí su fama de milagrero.

Pitágoras estudió, quizá por primera vez en la historia, las primeras leyes cuantitativas de la Acústica, que le conducirían a ser el primero que encontró una correlación entre los sonidos consonantes o armónicos (es decir, aquellos cuya manifestación simultánea origina una sensación agradable a nuestros oídos: el tono, la octava, la quinta y la cuarta) y los números, inaugurando una teoría matemática de la música. Básicamente Pitágoras puso de manifiesto de forma experimental dos hechos:

  • El sonido producido por la pulsación de una cuerda depende de la longitud de la cuerda.
  • Los sonidos armónicos están dados por cuerdas igualmente tensas cuyas longitudes están según ciertas razones entre números enteros.

Sobre las circunstancias en que debió tener lugar el descubrimiento pitagórico han corrido leyendas o historias más o menos apócrifas relatadas por Nicómaco de Gerasa, Gaudencio, Porfirio, Diógenes Laercio, Teón de Esmirna, Jámblico, Boecio y otros pitagóricos, que en este tema priorizan la actuación empírica sobre el idealismo místico. Vamos a sintetizar las experiencias pitagóricas sobre el fundamento matemático de la armonía musical, en dos de ellas, a través de un fragmento del texto de Teón de Espina (70135:

« Unos obtienen las relaciones numéricas de los sonidos consonantes mediante pesos, otros mediante longitudes…».

Se cuenta que el azar hizo que pasara Pitágoras por delante de un taller donde unos herreros golpeaban en el yunque. Pitágoras se detuvo ante el sonido cadencioso de los martillos, observando que el tono melodioso de tres de ellos era alterado por la disonancia de un cuarto. Sorprendido por el fenómeno, pidió prestados los martillos a los herreros para realizar una experiencia científica, la primera  de la que la historia haya dado cuenta. Pesó de forma cuidadosa los martillos y los colgó de cuatro cuerdas de modo que al quedar tirantes tuviesen la misma longitud. Al hacer vibrar las cuerdas apreció que los sonidos que emitían  correspondían a los que daban los martillos al golpear en el yunque de los herreros. Y al aplicar un trozo de arcilla al martillo que producía la disonancia puso la nota emitida por la cuerda correspondiente en armonía con las otras. Como conocía los pesos de los martillos (que eran proporcionales a los números 12, 9, 8 y 6) dedujo la ley aritmética que rige los intervalos musicales:

  • El martillo cuyo peso era como 12 producía el tono, el de peso como 9 la cuarta, el de peso como 8 la quinta, y el de peso como 6 la octava, y estableció la proporción: 12/9=8/6, que, según Jámblico, se llama:

«Proporción musical porque contiene las relaciones musicales de los sonidos armónicos».

Como buen científico experimental, Pitágoras repitió la experiencia empleando en vez de cuerdas de igual longitud y pesos distintos, pesos iguales para tensar cuerdas de distinta longitud, y observó que las que daban el tono, la cuarta, la quinta y la octava tenían longitudes proporcionales a 12, 9, 8 y 6, es decir, el mismo resultado que el anterior.

Con independencia de la realidad histórica o legendaria del relato, la experiencia no pudo concluir como se describe porque como ya demostró el famoso historiador de las Matemáticas Jean-Étienne Montucla, hacia 1760:

► «La frecuencia del sonido producido por una cuerda vibrante no está en proporción con la tensión sino con la raíz cuadrada de esta magnitud».

Hasta entonces, a ningún historiador científico con espíritu crítico se le ocurrió repetir la experiencia para sancionar su validez.

La experiencia del relato apócrifo de los herreros querría indicar que Pitágoras no era un simple místico religioso al estilo oriental, sino también uno de los artífices de la revolución científica, al estilo de los filósofos físicos jónicos como Tales y otros filósofos presocráticos como Anaxímenes y Anaximandro.

A Pitágoras se la atribuye la invención del monocordio (Diógenes Laercio, VIII.12), que más que un instrumento musical es un aparato científico, con el que mediante una experiencia, mucho más verosímil que la de los martillos de los herreros, es plausible que el sabio encontrara la correlación entre ciertos intervalos musicales y los primeros números enteros. El artilugio consistía en una simple cuerda musical de longitud proporcional a 12 tendida sobre una tabla, con una clavija o puente móvil deslizable entre cuerda y tabla, para obtener cuerdas de diversa longitud, en particular las proporcionales a 9, 8 y 6, que mantenía en tensión los dos trozos en que el puente móvil dividía a la cuerda, y permitía, además, que uno de ellos pudiera vibrar independientemente del otro. Al pulsar la cuerda completa se producía un sonido que Pitágoras tomó como primario, el tono. Moviendo el puente y pulsando las cuerdas resultantes proporcionales a  9, 8 y 6, se producían, respectivamente la cuarta, la quinta y la octava (que los griegos llamaban “diatesseron”, “diapente” y “diapasón”). Los sonidos producidos mediante otras posiciones del puente móvil resultaban discordes, o al menos no tan acordes como los anteriores.

 

Y puesto que las razones entre los números 12, 9, 8 y 6 son iguales a las que hay entre 1, 3/4, 2/3 y 1/2, que son las más sencillas que se pueden formar con los números de la sagrada “Tetractys, 1, 2, 3 y 4, Pitágoras dedujo que ésta es «la fuente y raíz de la Naturaleza eterna», como dicen “Los Versos Dorados” pitagóricos. Como en tantos aspectos vinculados a Pitágoras los números de la sagrada “Tetractys” eran la piedra angular de la armonía musical. Mediante una mística extrapolación la “Tetractys sería la fuente del conocimiento de las raíces de la armonía del “Cosmos divino”, alcanzable a través del número. Así pues, hemos de ver a Pitágoras como el descubridor de la escala musical.

De hecho en toda combinación armónica las longitudes relativas de las cuerdas pulsadas están en una razón de números enteros, que se sintetiza en el esquema siguien te, llamado «Sistema de Pitágoras»:

DO      RE      MI        FA      SOL      LA          SI        DO 

   1      9/8    81/84    4/3     3,2    27/16  243/128    2   

 

La teoría musical de Pit ágoras tiene que ver también con la «Teoría de las medias» de raíz pitagórica. Así lo señala el pitagórico Arquitas de Tarento (70–135):

► «En música hay tres medias: la media aritmética, la media geométrica y la subcontraria, llamada también armónica».

Dados dos números a y b, se definen las medias aritméticas (m), armónica (h), y geométrica (g), de la forma siguiente:

  • m=(1/2)(a+b), (1/h)=(1/2)[ (1/a) + (1/b)], g/a= b/g.

Las tres  medias verifican las relaciones aritméticas siguientes:

■  a/m=h/b, g/m=h/g.

Estas relaciones son verificadas por las proporciones musicales que se derivan de la cuaterna de números 12, 9, 8, 6 del experimento pitagórico sobre el monocordio:

♦ 9=(12+9)/2, 1/8=(1/2)·[(1/12)+(1/6], 12/9=8/6.

Todos estos conceptos vinculados al descubrimiento pitagórico de la armonía musical se resumen y se ilustran en el siguiente cuadro:

El descubrimiento pitagórico de la armonía musical revelaría que el “Cosmos” (orden y belleza) se imponía sobre la disposición caótica del sonido mediante los cuatro primeros números de la sagrada “Tetractys”. Y ello mediante la feliz idea pitagórica de interrogar a la naturaleza, inaugurando algo nuevo en la Historia del Pensamiento: el método experimental. Por primera vez en los anales de la Historia se registra la idea de construir un aparato con el propósito de obligar a la naturaleza a responder a una cuestión concreta: ¿cuál es la relación precisa, si es que existe, entre la armonía musical y los números? No es extraño que Pitágoras quedara entusiasmado con un hallazgo sin precedentes:

► «El número gobierna el tono musical»,

pionero en las ideas de

► «reducir la cualidad (sonido) a la cantidad (longitud y razón) y de expresar en fórmulas matemáticas las leyes de la naturaleza».

¿Quién podría imaginar que el espacio, el número y el sonido, se combinaban en una correlación armoniosa? La Aritmética y la Geometría entraban en una comunión divina con la armonía musical que es patrimonio de la Estética y en última instancia aparecía la matriz de la filosofía pitagórica:

«El número es la esencia de todas las cosas».

Si en el número está la clave del tono musical en él residirá también la clave de toda la naturaleza.

Las investigaciones de Pitágoras sobre la música constituyen las primeras leyes matemáticas completamente generales aplicadas a desvelar los misterios de la naturaleza, el primer intento en la tradición occidental de reducir las leyes de la Física a relaciones matemáticas, el primer paso, como antecedente primigenio de Galileo, hacia la matematización de la experiencia humana. En este aspecto, como artífice del gran salto cualitativo que supone, en la Historia de la Ciencia, la aplicación de la dualidad experiencia y razón, debemos situar a Pitágoras en el umbral del Pensamiento Occidental.

 

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(León, 12/1953) es Catedrático de Matemáticas desde 1977. Ha sido profesor de la Universidad de Barcelona y de la Universidad Politécnica de Cataluña. Su interés se centra en dimensión cultural de la Matemática y su función en la Historia del Pensamiento, sobre lo que ha publicado 12 libros, numerosos artículos y ha impartido cursos, seminarios y conferencias en Universidades de España y LatinoAmérica y en Centros de Profesores sobre Historia, Filosofía, Epistemología y Didáctica de las Matemáticas. Es también coautor de Libros de Texto. Desde hace un tiempo también publica periódicamente en las redes sociales y en prensa digital.

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