ARQUÍMEDES EN LA HISTORIA DE LA CULTURA (8)

Genio e ingenio al servicio de las Matemáticas (4) La influencia de Arquímedes en la génesis del Cálculo Integral

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►«Arquímedes anticipa nuestro Cálculo Integral, tanto en el tiempo como en la seguridad de los procedimientos y en la genialidad de los artificios no superados por los precursores del siglo XVII».

— E.Rufini. Il Metodo d’Archimede e le origine dell’analisi infinitesimale nell’antichità. Feltrinelli, Milán, 1961. pág.187

►«Aunque Cavalieri no podía sospecharlo, con sus indivisibles se encontraba siguiendo unas huellas verdaderamente venerables, las de EL MÉTODO de Arquímedes, que era entonces desconocido».

—  C.B.Boyer. Historia de la Matemática. Alianza Editorial, Madrid, 1986, pág. 416.

►«Las integrales definidas que en las demostraciones geométricas Arquímedes sustituye por el método de exhaución en íntima conexión con el postulado de Arquímedes y con los resultados de ciertas sumas de figuras, en el método mecánico son sustituidas por el proceso que Arquímedes califica de composición, acertada locución que al mismo tiempo que evita los escollos del infinito, los oculta».

—  José Babini. Arquímedes. Espasa‑Calpe, Buenos Aires, 1948, pág.120.

A partir del Renacimiento la Matemática empieza a presentar una inflexión respecto a la clásica griega. El paradigma formal y demostrativo que impuso la filosofía platónica en Los Elementos de Euclides y demás obras clásicas evoluciona bajo el principio de que lo que importa es la consecución de nuevos resultados, aunque sea sin expresión rigurosa. Se impone el lema «primero inventar, después demostrar». Bajo el nuevo enfoque se trata de crear y descubrir y no de expresar axiomática y apodícticamente.

Tras la recuperación y reconstrucción del legado clásico, la Matemática griega es ponderada por su alto grado de rigor y es la fuente de formación intelectual y de inspiración de los matemáticos, pero se abandonan sus métodos porque no son heurísticos. En efecto, el camuflaje permanente del infinito convierte a casi toda la Matemática griega en Geometría y el tratamiento absolutamente riguroso de los problemas infinitesimales requiere un subterfugio, el método de exhaución de Eudoxo–Arquímedes, que obliga a tratar cada problema de forma particular, dependiendo de su estructura geométrica concreta, además de precisar un método complementario para prever los resultados. Por eso, ya en el siglo XVII, una vez recuperada gran parte de la Matemática griega, era general el deseo de encontrar nuevos métodos para resolver rápidamente los problemas, métodos que permitieran obtener de forma directa los resultados, aunque hubiera que relajar el rigor.

En particular, respecto del Cálculo Integral se abre al comienzo del siglo XVII una etapa empírica, que cubre los dos primeros tercios de este siglo, en los que manejando unos elementos con un estatuto ontológico no muy bien definido –«indivisibles», «infinitamente pequeños», «incrementos evanescentes», «cantidades despreciables», etc.–, se desarrollan multitud de técnicas y métodos infinitesimales, que contribuyeron a resolver de forma sorprendente antiguos y nuevos problemas, bajo la acción de profundas intuiciones, que, supliendo la falta de rigor, evitaban las contradicciones y el absurdo adonde podía haber llevado tanto desenfreno conceptual, y que condujeron bajo una perspectiva de generalización y unificación, a la destilación de un algoritmo universal, al descubrimiento simultáneo del Cálculo Infinitesimal por parte de Newton y Leibniz.

Bajo esta perspectiva resulta que los matemáticos que desarrollaron el germen del Cálculo Integral, habiendo bebido en las fuentes de los grandes tratados conocidos de Arquímedes, –que ahora tenían a su disposición–, donde el método de exhaución presidía todo el desarrollo con un férreo rigor, al intentar soslayar la rigidez de la exhaución mediante artificios geométricos que les condujeran a procedimientos heurísticos de rápido descubrimiento, se aproximan de forma sorprendente a la técnica del método  mecánico de EL MÉTODO de Arquímedes. Esto es particularmente cierto en el caso de Pascal –que aplica ingeniosamente su «método de la balanza», llamada «balanza de Arquímedes» en los famosos problemas sobre la cicloide–, y sobre todo en el caso de Cavalieri con sus Indivisibles. Evidentemente en este asunto no se puede hablar de la influencia directa de Arquímedes, toda vez que el siglo XVII no dispuso de EL MÉTODO, sino de analogías, pero hace aún más comprensible el que muchos matemáticos de esta época estuvieran convencidos, como se comentó con anterioridad, de que Arquímedes disponía de un método especial de descubrimiento.

En los albores del siglo XVII muchos métodos infinitesimales aparecen como modificaciones y simplificaciones de los métodos de Arquímedes, intentando metodizar las técnicas arquimedianas obviando la necesidad de la doble reducción al absurdo de la exhaución, resintiéndose el rigor en las demostraciones con el uso de los indivisibles y los infinitamente pequeños y apareciendo de forma latente consideraciones sobre límites basadas en la incipiente Teoría de Números.

El excesivo abuso de la intuición inmediata de las magnitudes geométricas y la violación del principio de homogeneidad espacial dimensional con los indivisibles, provocaba que no hubiera en el ambiente matemático un consenso acerca del valor demostrativo de los métodos utilizados. Algunos concebían el método como simplemente heurístico y creían necesaria una demostración por exhaución –punto de vista arquimediano–. En general se consideraba que los resultados obtenidos mediante indivisibles podían justificarse fácilmente con la exhaución, pero no era necesario porque concebían el nuevo método inventivo, no más que como un lenguaje diferente, un estilo distinto de expresar unos mismos conceptos. Saben que los resultados son correctos, porque saben y pueden probarlos rigurosamente mediante los métodos de Arquímedes. A continuación  reproducimos algunas frases (que ensalzan el genio arquimediano) representa­tivas de lo que se acaba de exponer.

Los métodos infinitesimales de Arquímedes y los de los matemáticos del siglo XVII:

— J.KEPLER (Nova stereometria doliorum vinariorum de 1615):

►« [….] Podríamos obtener demostraciones perfectas de los libros de Arquímedes, a nosotros no nos repele la espinosa lectura de ellos».

— B.CAVALIERI (Geometría Indivisibilibus continuorum … de 1635):

►«Se podría demostrar todo esto [cuadraturas y cubaturas] utilizando las técnicas arquimedianas, pero supondría un gran esfuerzo».

— P.FERMAT (De aequationum localium … in quadrandis infinitis parabolis et hiperbolis [Tratado sobre cuadratura] de 1658):

►« […] Basta hacer esta observación [sobre las condiciones para poder aplicar el método de Arquímedes] una vez para no obligarse a recordar y a insistir constantemente sobre un artificio bien conocido de todos los geómetras. […]. Así alcanzamos la conclusión, que podría ser fácilmente confirmada por una más prolija prueba llevada a cabo a la manera de Arquímedes».

— B.PASCAL (Lettre à Carcavi de 1659):

►« […] He querido hacer esta advertencia para mostrar que todo lo que está demostrado por las verdaderas reglas de los indivisibles se demostrará también con el rigor y a la manera de los antiguos [como Arquímedes] y que así ambos métodos no difieren más que en la manera de hablar».

— I.BARROW (Lectiones Geometricae de 1670):

►« […] Se podría alargar mediante un discurso apagógico [mediante la doble reducción al absurdo del método de exhaución de Arquímedes]».

—J.WALLIS (Arithmetica infinitorum de 1656):

►« […] Este procedimiento es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido método apagógico [arquimediano] de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente iteración produce náusea en el lector. Cualquiera ducho en Matemáticas puede realizar tal prueba».

— C.HUYGENS (Horologium oscillatorium de 1673):

►« […] No es de gran interés el que demos una demostración absoluta, después de haber visto que una perfecta demostración puede ser dada. Concedo que debería aparecer en una forma clara, ingeniosa y elegante, como en todos los trabajos de Arquímedes. Pero lo primero y más importante es el método de descubrimiento mismo».

Las frases transcritas son muy significativas para comprender la enorme influencia de los tratados conocidos de Arquímedes sobre los artífices del Cálculo Infinitesimal, pero también nos sirven para mostrar la analogía entre la argumentación heurística de los matemáticos del siglo XVII y el discurso informal y sugerente del método mecánico del MÉTODO de Arquímedes que actúa de forma ascendiente como una variable oculta.

 

Los métodos de Arquímedes y los orígenes del cálculo integral

Mediante su original y operativo método  mecánico de EL MÉTODO, Arquímedes realiza una investigación preliminar que ratifica con absoluto rigor mediante el método de exhaución. Con ello anticipa infinidad de resultados sobre cuadraturas, cubaturas y centros de gravedad, que forman parte de la doctrina de nuestro Cálculo Integral. Como escribe Vera [Breve Historia de la Geometría. Losada. Buenos Aires, 1963. Cap. IV, p.65]:

► «La Geometría estática de Euclides se convierte en Geometría cinética con Arquímedes, quien llenó la sima platónica abierta ente la razón pura y la experiencia, y, apoyándose en ésta, descubrió métodos generales para calcular las áreas de las figuras curvilíneas y los volúmenes de cuerpos limitados por superficies curvas, que aplicó al círculo, segmento parabólico, espirales, segmento esférico, cilindro, cono, esfera, elipsoide, hiperboloide, paraboloide, etc».

Los resultados arquimedianos apuntados en la cita anterior por el historiador Vera actualmente se obtienen mediante los recursos analíticos del cálculo algebraico y de la aplicación de los límites, que descubren y demuestran simultáneamente en un único acto intelectual matemático. Pero las rigurosas demostraciones de Arquímedes implican bajo una forma estrictamente geométrica –la del Álgebra Geométrica de los Libros II y VI de Los Elementos de Euclides– todos esos medios infinitesimales modernos.

A veces se dice de forma entusiasta que Arquímedes es el artífice del Cálculo Integral, queriendo indicar que por primera vez en la historia, Arquímedes realiza una verdadera integración. La integral definida se concibe en el Análisis Infinitesimal como límite de una sucesión infinita y no como una suma infinita de puntos, líneas o superficies. En un sentido amplio los procedimientos de Arquímedes son en la práctica integraciones, pero, en puridad, no podemos asegurar que Arquímedes realiza una auténtica integración –en el sentido genuino de calcular el límite de una suma cuando el número de sumandos crece indefinidamente mientras se hacen infinitamente pequeños–, porque Arquímedes soslaya el paso al límite con la doble reducción al absurdo del método de exhaución. Las afirmaciones categóricas como la de J.L.Heiberg que manifestaba que «el método de Arquímedes se identifica con el Cálculo Integral» deben ser, por tanto, ecuánimemente aquilatadas. Sería quizá más exacto y ajustado manifestar que «el método de Arquímedes constituye un método de integración» o que Arquímedes comenzó los cimientos del sólido edificio que hoy constituye el Cálculo Integral. Y lo hizo con una sabia conjunción de la técnica del descubrimiento y la demostración, moviéndose con la más amplia libertad en aquél y exigiéndose el más absoluto rigor lógico para ésta.

Por otra parte, la propia naturaleza del método de exhaución obliga a Arquímedes a tratar cada problema de forma particular, atendiendo a la estructura geométrica intrínseca de la figura, es decir, no puede haber una formulación de procedimientos generales para resolver problemas análogos, no hay ni un esbozo de clasificación de los problemas, sino que, como consecuencia de no manejar Algebra simbólica sino geométrica, el tratamiento de cada problema depende de la estructura geométrica particular del mismo. A lo largo del desarrollo del Cálculo Infinitesimal en el siglo XVII se contempla cómo se van abriendo paso lentamente las cuestiones de la clasificación de los problemas (advirtiendo los lazos de parentesco entre los diversos problemas tratados, relaciones que nosotros expresaríamos diciendo que la misma integral aparece en muchos lugares bajo aspectos geométricos diferentes), así como de la aplicación subrepticia de límites, mediante la introducción de la incipiente Teoría de Números, mientras que la fundamentación de la noción de límite permitirá realizar, tras su aritmetización, la reconstrucción, a lo largo del siglo XIX, del Análisis con todo rigor.

Como conclusión de este estudio histórico sobre una de las figuras más universales de la Ciencia y en particular sobre una de las obras más singulares de Arquímedes y de la Geometría griega en general, EL MÉTODO, podemos decir que Arquímedes comenzó los cimientos del sólido edificio que hoy constituye el Cálculo Integral. Y lo hizo con una sabia conjunción de la técnica del descubrimiento y la demostración, moviéndose con la más amplia libertad en aquél y exigiéndose el más absoluto rigor lógico para ésta.

Partiendo de bases euclídeas, pero trascendiendo la tradición geométrica, teniendo en su haber todo el bagaje matemático clásico, Arquímedes amplió considerablemente los horizontes metodológicos de la ciencia de su tiempo y con su capacidad para conjugar consideraciones teóricas e invenciones prácticas creó un estilo que emergió a partir del Renacimiento para establecer la matriz de la  ciencia moderna.

Después del descubrimiento y divulgación de EL METODO, sabemos, como hemos ido viendo anteriormente, que quienes en el siglo XVII buscaban con ansiedad nuevos métodos más heurísticos de rápido descubrimiento, nuevos caminos en la Matemática, se hallaban, muchos de ellos sin saberlo, más cerca de Arquímedes de lo que nunca hubieran imaginado. En toda la parafernalia de técnicas y métodos infinitesimales, con indivisibles o infinitamente pequeños, se recorren nuevamente los caminos abiertos por Arquímedes y no sólo en cuanto a los elementos infinitesimales utilizados, sino que también se redescubre el procedimiento inventivo. También, cuando tras el proceso de aritmetización del Análisis se fundamenta el Cálculo Infinitesimal a través del concepto de límite, los matemáticos encuentran modelos de rigor impecable en los procedimientos arquimedianos de los métodos de exhaución. He aquí una doble analogía histórica –entre los desarrollos del método  mecánico y los resultados obtenidos mediante indivisibles, así como entre el riguroso método de exhaución y la fundamentación rigurosa del Análisis mediante los límites–  que nos da una idea de la trascendental ascendencia de Arquímedes en la génesis de las raíces del Calculo Integral.

A este respecto escribe J.Babini (EL  MÉTODO de Arquímedes, Eudeba, 1966, p.27):

► «Aunque los matemáticos del Renacimiento no conocieron EL MÉTODO, conocieron la Geometría griega, el método de exhaución y el carácter riguroso que este método confería a las demostraciones. Pero otros eran los recursos y los problemas matemáticos, y otra era la atmósfera que los envolvía. El Álgebra permitía una generalización imposible de lograr con la Geometría griega, mientras que en los problemas mecánicos, que se presentan en primer plano y exigen recursos infinitesimales, el método de exhaución es inaplicable. ¿Por qué entonces la Matemática demoró un par de siglos en dar con un recurso analítico que sustituyera con igual rigor el método de exhaución? ¿Por qué los matemáticos de los siglos XVII y XVIII no sintieron aquella exigencia de rigor de los geómetras griegos y de los analistas del siglo XIX? Quizá la respuesta resida en la diferente concepción del saber en la Antigüedad y en la Edad Moderna; esa diferencia entre el griego, contemplativo y teórico, más interesado en el proceso que en el producto, más en la demostración que en el resultado; y el hombre moderno, activo y práctico, que ve en el resultado correcto la garantía de la validez de la demostración».

Pero más allá del aspecto apodíctico de las densas memorias de Arquímedes,  el ancestro de los grandes creadores del Cálculo Integral hay que buscarlo en la magnífica obra de Arquímedes EL MÉTODO, un documento histórico de un valor científico inconmensurable, cuyo descubrimiento constituye uno de los sucesos mas importantes que han tenido lugar para el estudio y conocimiento de la Geometría griega. Tras su lectura, nos podemos explicar el profundo misterio que rodeaba la actividad investigadora de Arquímedes, plasmada en todas sus tratados científicos conocidos y desmentir a Descartes cuando manifiesta –en la Regla IV de Las Reglas para la dirección del espíritu– la insatisfacción de la curiosidad frustrada por la ocultación –con audacia perniciosa– de los métodos de descubrimiento de la Geometría griega. Como se dijo con anterioridad, aunque EL MÉTODO no fue conocido hasta 1906, ha estado presente de forma subrepticia en la Historia de la Matemática como una variable oculta de la función generadora de los resultados y descubrimientos del Calculo Integral.

No sabemos si la literatura clásica, la tradición legendaria y la imaginación popular, magnificaron hasta el paroxismo, las hazañas científicas y tecnológicas del genio siracusano, pero en el ámbito matemático no es necesario apoyarse en relatos más o menos fidedignos para conocer las proezas geométricas de la inteligencia sobrehumana de Arquímedes. Basta acercarse con curiosidad y paciencia a cualquiera de sus magníficos tratados para quedar impresionado por una asombrosa intuición que aplicada a una prodigiosa imaginación, produce un entusiasmo intelectual ante un inusitado despliegue de singulares construcciones geométricas, que conducen sin ninguna implementación de lenguaje algorítmico (por inexistente), a la demostración de los más complejos teoremas geométricos que el sabio había descubierto mediante procedimientos mecánicos. No es nada extraño, pues, que muchos matemáticos del siglo XVII –grandes creadores de los primeros rudimentos del Cálculo Integral– llegaran a pensar que  Arquímedes disponía de algún método secreto, la piedra filosofal del descubrimiento geométrico. Como tampoco es nada sorprendente o extraordinario, aunque sí maravilloso, que  después de acercarse a las Matemáticas leyendo al gran científico, Voltaire exclamara en su Diccionario filosófico:

«Había más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero»,

una opinión de un gran valor por la personalidad de quien la pronuncia. Además, opiniones muy similares fueron vertidas por el compatriota de Voltaire, D’Alembert –él sí era matemático–, en la Tercera Parte  del Discurso Preliminar de la Enciclopedia;y también en los tiempos modernos por el gran matemático Hardy, en su famosa obra Apología de un matemático.

Acabamos con dos citas, una de la mayor autoridad del siglo XVIII en Historia de las Matemáticas, J.F.Montucla (Histoire des Mathématiques,. Blanchard, París, 1968, Tomo I, Libro IV, Cap.V, pág.223):

►«Arquímedes abrió nuevas vías en la Geometría e hizo tan gran número de descubrimientos, que la antigüedad le ha concedido de común acuerdo el primer lugar entre los geómetras».

La otra cita es de uno de los más egregios matemáticos y pedagogos del siglo XX, gran entusiasta de la aplicación de la Historia de las Matemáticas como recurso didáctico básico para la argumentación genética y la forma heurística en la clase de Matemáticas, Félix Klein (Matemática elemental desde un punto de vista superior, Vol. II, Geometría, Biblioteca Matemática. Dtor: J.Rey Pastor. Madrid, 1931, pags. 254–255):

►«Arquímedes fue un gran investigador que en cada uno de sus escritos avanza un paso más, sobre lo ya conocido. […]. El procedimiento de exposición  [en su obra EL MÉTODO] es exactamente igual que nuestra manera de enseñar en la actualidad, pues procede genéticamente, indicando el proceso mental seguido y no utilizando nunca el rígido encadenamiento de hipótesis, tesis, demostración y determinación que domina Los Elementos de Euclides.

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