ARQUÍMEDES EN LA HISTORIA DE LA CULTURA (6)

Genio e ingenio al servicio de las Matemáticas (2) El método mecánico del descubrimiento arquimediano (1)

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► « [Arquímedes a Eratóstenes] He creído oportuno exponerte por escrito las particularidades de un método, por medio del cual te será posible iniciar la investigación de ciertas cuestiones matemáticas por medio de la mecánica. Estoy convencido, además, de que dicho método no será menos útil para demostrar los propios teoremas».

— P. González Urbaneja & Joan Vaqué (eds). Arquímedes. El método relativo a los teoremas mecánicos.

UAB-UPC, Barcelona, 1993, pág.61.

► «El método mecánico de Arquímedes es una combinación tan feliz y audaz, como genial, de geometría y mecánica, que en esencia encierra los procedimientos de nuestro análisis infinitesimal, lo que explica que mediante ese método Arquímedes logre resultados que hoy obtenemos mediante los recursos del cálculo integral».

— José .Babini. Arquímedes.  Espasa‑Calpe, Buenos Aires, 1948, pág.119.

► «En EL MÉTODO Arquímedes analizó los vínculos entre el descubrimiento y la demostración de las verdades matemáticas, dejando la más amplia libertad par aquél y exigiendo el rigor lógico para ésta […]. El hallazgo de EL MÉTODO por Heiberg en 1906 es el suceso más importante de los tiempos modernos para el estudio de la matemática griega».

— Francisco .Vera. Arquímedes (en Científicos Griegos), 1970, Aguilar, Madrid, 1970, págs.13, 17.

► «La carta a Eratóstenes sobre EL MÉTODO, hallada en 1906, es la clave de los principales descubrimientos de Arquímedes. Gracias a ella podemos conocer de forma aproximada el proceso de pensamiento del sabio».

— J.Itard. Historia general de las Ciencias. Orbis. Barcelona, 1988. vol.2. libro II, cap.II.2, pág. 355

► «El descubrimiento de EL MÉTODO reveló cuán inmerecidas eran las sospechas acerca de la honestidad científica de Arquímedes en relación con la presunta ocultación de su método de investigación».

— Carl.B. Boyer. Historia de la Matemática. Alianza Editorial, Madrid, 1986, pág.183.

La naturaleza de EL MÉTODO como tratado matemático

Hemos señalado que muchas de las obras de Arquímedes están precedidas por ciertos preámbulos dirigidos a varios de sus amigos matemáticos alejandrinos. Esto parece revelar que Arquímedes tenía la costumbre de enviar a Alejandría los enunciados de los teoremas que encontraba, pidiendo a los matemáticos que los demostraran. Como seguramente la petición de Arquímedes no debía ser satisfecha, él mismo enviaba más tarde los resultados de sus investigaciones, redactados y demostrados de forma impecable, eliminando pasos intermedios y alusiones a los teoremas en que se basaba. Al no mencionar el proceso heurístico seguido en el descubrimiento, muchos de los teoremas resultaban realmente sorprendentes.

EL MÉTODO es una obra singular de Arquímedes porque en ella se decide a revelar a la comunidad matemática alejandrina, en carta dirigida a Eratóstenes la vía de investigación de cuestiones matemáticas por medio de la mecánica, un método que Arquímedes utilizaba en sus descubrimientos y que había omitido en todos los restantes escritos científicos. La combinación de geometría y estática que Arquímedes había hecho en Sobre el Equilibrio de los Planos, en Sobre la Cuadratura de la Parábola y en Sobre los Cuerpos Flotantes para establecer rigurosamente ciertas propiedades relacionadas con el equilibrio de ciertos cuerpos geométricos, la realiza de nuevo en EL MÉTODO para descubrir e investigar resultados, que obtenidos de forma mecánico‑geo­métrica, demostrará de forma rigurosamente euclídea en sus tratados científicos.

Los brillantes problemas y teoremas arquimedianos ponderados por todas las generaciones de matemáticos a partir del Renacimiento, pueden crear unas falsas expectativas acerca del contenido real de la obra, al confiar en que Arquímedes nos revele en ella una «vía secreta y segura» del descubrimiento matemático, la piedra filosofal del éxito geométrico. Más vale no esperar nada de EL MÉTODO de Arquímedes es un magnífico informe científico sobre un método de investigación y de argumentación admirable en geometría, ilustrado con algunos ejemplos, unos conocidos y otros nuevos, donde Arquímedes da muestras de una pericia y de una imaginación teórica inefables, así como de una intuición que se mueve con un increíble instintivo olfato matemático. Pero la lectura de EL MÉTODO no pone al lector frente al proceso psicológico revelador de la actividad creadora de Arquímedes, es decir, la comunicación de Arquímedes a Eratóstenes no es una confidencia psicológica que ponga de manifiesto la psicogénesis del pensamiento arquimediano.

En realidad EL MÉTODO es una memoria científica muy elaborada, bastante singular por su carácter metodológico dentro del conjunto de los grandes tratados de la geometría griega, pero es fácil tomarlo por un escrito más de Arquímedes, estructurado con el mismo rigor. Claro está que el propio Arquímedes lo desmiente cuando manifiesta a Eratóstenes en el preámbulo de EL MÉTODO [G.Urbaneja & Vaqué.Arquímedes. EL Método, UAB-UPC, 1993, pág.61, (parcialmente mencionado antes)]:

► « […] He creído oportuno exponerte por escrito y desarrollar en este mismo libro las particularidades de un método, por medio del cual te será posible iniciar la investigación de ciertas cuestiones matemáticas por medio de la mecánica. Estoy convencido, además, de que dicho método no será menos útil para demostrar los propios teoremas. Pues algunos de los que primero se me hicieron patentes mecánicamente, recibieron luego demostración geométricamente, habida cuenta de que la investigación hecha por este método no comporta demostración; […]».

 

Es decir, EL MÉTODO, al utilizar consideraciones mecánicas, desarrolla sugerencias que descubren resultados por analogía que ilustran el arte de la invención con una argumentación científica informal que establece una pauta de discurso matemático dirigida a mostrar el carácter plausible de unas conclusiones que serán enseguida convalidadas en la forma demostrativa vigente, es decir, mediante el método de exhaución. Pero no sólo esto, porque la propia confirmación del resultado mediante rigurosa demostración se ve también favorecida por la forma de descubrirlo, pues como señala también Arquímedes, a continuación:

► « [….] Pues es más fácil, después de haber adquirido por ese método cierto conocimiento de las cuestiones objeto de investigación, dar luego la demostración, que investigar sin ningún conocimiento previo».

Vicisitudes históricas de EL MÉTODO y reconstrucción de Heiberg

Antes de su recuperación en 1906, no se tenían más que informaciones bastante vagas sobre EL MÉTODO de Arquímedes. Suidas, un escritor que vivió en el siglo X, alude a la obra y asegura que Teodosio de Trípoli, autor de un tratado sobre la esfera –Las Esféricas–, había escrito un comentario al respecto. Asimismo Herón de Alejandría, en el siglo I a.C., había hablado de ella –haciendo alusión a tres proposiciones– en su Métrica–, pero también este escrito se perdió, y no fue redescubierto, según Heath, hasta 1896 por H.Schöne de Constantinopla. Por todo ello sobre el real contenido de la obra de Arquímedes circularon las más variadas hipótesis, hasta que, como vamos a ver, la perspicacia del historiador de la ciencia danés Johan Ludving Heiberg (1854-1928), profesor de la Universidad de Copenhague, editor de las obras de Arquímedes y Apolonio y uno de los helenistas más competentes de Europa, cerró con éxito el asunto.

Schöne había visto atraída su atención por una cita efectuada en 1899 por el paleógrafo griego Papadopoulos Kerameus, de un palimpsesto conservado en la colección de manuscritos de la biblioteca del monasterio de Saint‑Savas en Palestina, donde se aludía a la presencia de algunas conocidas obras de Arquímedes. Estas citas llegaron a los oídos de Heiberg, quien, confirmando que se trataba de pasajes conocidos de Arquímedes, sospechó que podría contener otros trabajos del sabio. El intento de obtener el palimpsesto por vía diplomática no dio resultado, lo que incitó a Heiberg, en el verano de 1906, a trasladarse a Constantinopla, adonde, mientras tanto, había sido trasladado el manuscrito. Heiberg relatará poco más tarde que Nikolaos Tsoukaladakis, el bibliotecario del priorato del Phanar (el metochion del claustro del Santo Sepulcro de Jerusalén), tuvo la amabilidad de facilitarle el acceso al manuscrito para estudiar el preciado documento e intentar transcribirlo. En el examen, Heiberg advirtió que el palimpsesto, aunque muy mutilado, era el más completo de cuantos manuscritos se disponía sobre las obras de Arquímedes y además aparecían en él textos nuevos que exigían para su estudio mucho más tiempo del disponible, por lo que sin hacer más estudios de momento, fotografió el manuscrito para estudiarlo con tranquilidad.

El excepcional documento contenía:

  1. Partes considerables de algunos tratados de Arquímedes ya conocidos en su totalidad (Sobre la Esfera y el Cilindro, Sobre la Medida del Círculo, Sobre las Espirales y Sobre el Equilibrio de los Planos).
  2. La mayor parte del texto griego del tratado Sobre los Cuerpos Flotantes del que no se disponía más que de una traducción latina medieval realizada a través del árabe.
  3. El prefacio y dos proposiciones de un tratado completamente inédito, el Stomachion, una especie de puzzle geométrico recreativo.
  4. El texto igualmente inédito del tratado El método sobre los teoremas mecánicos (EL MÉTODO).

No aparece en cambio en el palimpsesto ninguna huella de los tratados Sobre Conoides y Esferoides y Sobre la Cuadratura de la Parábola.

Heiberg se propuso utilizar todos estos materiales para la nueva edición de sus Archimedis Opera Omnia, que tenía en preparación, pero en atención a la impaciencia de los estudiosos publicó en la revista Hermes –utilizando las notas y las fotografías que había tomado– el texto griego de EL MÉTODO en un artículo de título: Un nuevo manuscrito de Arquímedes. El egregio helenista e historiador de la ciencia reprodujo en facsímil uno de los folios del palimpsesto, acompañando notas y comentarios sobre las vicisitudes en torno a la obtención del manuscrito, así como la descripción de las características y el estado en que se encontraba el extraordinario documento.

De acuerdo con la descripción de Heiberg, el palimpsesto consta de 185 hojas, de las cuales 177 son de pergamino y las últimas de la 178 a la 185 son de papel del siglo XVI. A primera vista sobresale una escritura superior, que debe ser de los siglos XII‑XIII (XIII‑XIV según Kerameus), que se trata de un devocionario con oficios litúrgicos o eucologio, escrito sobre textos que reproducen algunos fragmentos de obras de Arquímedes, en una tinta marrón claro. Es decir, el amanuense que escribió el eucologio aprovechó un material anterior, pero por fortuna no raspó la escritura original, sino que antes de escribir encima se limitó a lavarla. Heiberg, proveyéndose de una potente lupa consiguió leer las 177 hojas de pergamino, de las que 29 (los folios 7‑13, 23‑26, 51‑54, 73‑80, 83‑86, 151‑152) habían sido completamente lavadas, no conservando huella alguna de la escritura original, 14 tienen otro tipo de letra y en algunas había palabras ilegibles.

Continúa Heiberg diciendo que los escritos tienen letra bonita y minúscula del siglo X, a dos columnas de 24,4 cms. de altura por 6,8 cms. de anchura y alrededor de 35 líneas por columna; las letras iniciales de cada fragmento son grandes y retiradas saliendo del borde; los titulares son mayúsculas; la escritura no es regular en general y contiene muchas abreviaturas y expresiones taquigráficas, de modo que el amanuense domina un sistema de abreviaturas y otro taquigráfico, utilizando ambos de forma caprichosa. Falta con frecuencia la iota suscrita, aunque los acentos y espíritus constan en general; no así los signos de puntuación que suelen faltar.

En el documento aparecen figuras geométricas con letras, pero son dibujadas a la ligera, nunca completadas y sólo esbozadas. El folio 41r es el más claro, por ello es el único que reproduce Heiberg en facsímile. El amanuense del escrito superior ha cambiado el orden de los folios, poniéndolos en una sucesión arbitraria; ha separado las hojas de folio pequeño del manuscrito originario y las ha plegado en dos para pasar de folio a cuartilla, perdiendo líneas y cambiando la dirección de las mismas.

Conociendo todos estos detalles es justo ponderar el mérito poco común de la publicación de Heiberg. El sabio danés ha tenido que descifrar con la lupa, letra por letra, un texto muy poco legible, reconstruir figuras semiborradas y restablecer el orden profundamente variado de las hojas. Además, Heiberg ha tenido que rectificar en concisas notas un gran número de errores manifiestos introducidos por el copista, así como indicar sumariamente en qué orden de ideas se pueden colmar las pequeñas y grandes lagunas que aparecen en el texto. A este respecto comenta Heiberg que el modo de pensar de Arquímedes está tan claro que es posible rellenar las lagunas con seguridad casi absoluta y además uno puede, a través de presunciones, completar demostraciones matemáticas que se habían perdido.

La publicación de Heiberg comienza con una introducción erudita y acaba con un comentario, donde resalta el elevado interés científico, heurístico e histórico del nuevo tratado, EL MÉTODO, pondera su importancia como tratado metodológico, la sitúa cronológicamente en la obra y en el pensamiento de Arquímedes y aporta conclusiones muy interesantes de carácter histórico sobre la manera de trabajar de Arquímedes y sus predecesores.

C.B.Boyer en su Historia de la Matemática (Alianza Universidad, 1986, pág.186) termina su capítulo sobre Arquímedes describiendo enfáticamente una realidad histórica paradójica, con estas significativas palabras:

► «En cierto sentido el palimpsesto que contenía el Método es un fiel símbolo de la contribución de la edad media a la historia de la matemática. La ferviente preocupación por los asuntos religiosos estuvo a punto de borrar de la faz de la tierra una de las obras más importantes del matemático más grande de la antigüedad; y, sin embargo, a fin de cuentas fue la erudición medieval la que, en parte de una manera involuntaria, la conservó, así como muchas otras cosas que de otra forma se habrían perdido casi con toda seguridad».

 

Obra del autor Pedro Miguel González Urbaneja y de Joan Vaque Jordi citada en el artículo

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