LA MATEMÁTICA COMO FUNDAMENTO DEL PENSAMIENTO CARTESIANO

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EL “DISCURSO DEL MÉTODO” Y “LA GEOMETRÍA” DE DESCARTES

► «Lo que ha inmortalizado el nombre de este gran hombre es la aplicación que ha sabido hacer del Álgebra a la Geometría, una idea de las más vastas y felices que haya tenido el espíritu humano, y que será siempre la llave de los más profundos descubrimientos, no solamente en la Geometría, sino en todas las ciencias físico-matemáticas».

––  D’ALEMBERT. Discours Préliminaire de l’Encyclopédie (Orbis, 1984, págs.84–85).

► «La Geometría analítica, mucho más que cualquiera de sus especulaciones metafísicas, inmortaliza el nombre de Descartes y constituye el máximo paso hecho en el progreso de las ciencias exactas».

––  J. STUART MILL (citado por E.BELL en “Les grands mathématiciens”. Payot, París, 1950. Cap.3. pág. 46)

► «Los que buscan el camino recto de la verdad no deben ocuparse de ningún objeto sobre el que no puedan tener una certidumbre semejante a las demostraciones de la Aritmética y de la Geometría».

–– René DESCARTES. “Reglas para la dirección del espíritu” (AT.X.366).

► «Entre todos los que han buscado la verdad en las ciencias, sólo los matemáticos han podido hallar algunas demostraciones, esto es, algunas razones ciertas y evidentes».

–– René DESCARTES. “Discurso del Método” (D.M.AT, VI, 19).

► «…Quisiera publicar no un “Ars Brevis», como Lulio, sino una ciencia toda nueva, que permitiera resolver en general todos los problemas que pudieran presentarse. … »

–– Carta de DESCARTES a Beeckman (26/3/1619).

► «Y yo espero que nuestros descendientes me estarán agradecidos no sólo por las cosas que aquí he explicado, sino también por aquellas que he omitido voluntariamente a fin de dejarles el placer de descubrirlas».

–– René DESCARTES. “La Geometría”. (G.AT. VI.485).

A través de una irresistible pasión por la lectura, la actividad intelectual adolescente y juvenil de DESCARTES iba fraguando su pensamiento filosófico y matemático:

► «La lectura de buenos libros es una conversación con los hombres más notables del pasado, en la que nos descubren lo mejor de sus pensamientos».

–– René DESCARTES. “Discurso del Método” (D.M.AT,VI,5).

La sólida formación en las humanidades del mundo clásico y la consiguiente afición de Descartes a la cultura helénica, se extendía a los grandes tratados de la Matemática griega: “Los Elementos” de Euclides, Las Obras de Arquímedes, “La Aritmética” de Diofanto y sobre todo “Las Cónicas” de Apolonio y “La Colección Matemática” de Pappus, obras que debió conocer en profundidad. Asimismo, debía estar al corriente de los desarrollos del Álgebra de los matemáticos italianos, Tartaglia, Cardano y Ferrari, y aunque confiesa que desconocía la obra de Vieta antes de escribir el “Discurso del Método”, es inconcebible que así fuera, ya que hay una manifiesta continuidad en la línea de pensamiento geométrico entre la obra de Vieta y “La Geometría” de Descartes.

Descartes sale de del “Colegio jesuita de La Flèche” con el mejor bagaje cultural y científico para emprender su aventura intelectual. El dominio del latín y del griego le abren las puertas al saber de los clásicos y a toda la erudición renacentista; las Humanidades y la Retórica animaron una conversación interesante y el don de gentes, que le sitúa en las mejores condiciones para integrarse en la agitada vida social y pública de su época y dedicarse al conocimiento del mundo, como manifiesta en el “Discurso del Método” (D.M.AT,VI,9):

► «Gracias a Dios, no me encontraba en la situación de verme obligado a hacer de la Ciencia un oficio para alivio de mi fortuna, […] Empleé el resto de mi juventud en viajar, en ver cortes y ejércitos, […], en recoger experiencias diversas, en probarme a mí mismo, en reflexionar sobre lo que me ocurriera, […]».

Hegel en su “Lecturas sobre la Historia de la Filosofía” describe al joven Descartes cono un ser vivaz e inquieto, con insaciable afán de conocimiento en todos los sistemas y formas de pensamiento:

► «Tres experiencias juveniles sucesivas jalonarían la forja de su espíritu: sus amplios estudios de juventud en el “Colegio jesuita de La Flèche”; su buceo en el gran libro del mundo, con otros hombres y otros pueblos; y el encanto o hechizo de las Matemáticas, cuya esencia impregnará todo su pensamiento. Tres experiencias que señalan tres caminos o vías en la búsqueda incesante de la verdad».

  1. de Sacy, en su “Biografía de Descartes” de 1956, refleja la imagen del joven filósofo, y describe:

► «Al hombre izado entre una generación de aventureros, […], un mosquetero del alma, […] en vagabundeo metódico, […]».

En el gran teatro del mundo, apareciendo como desheredado y marginal de las clases sociales dominantes, desligado de la tradición y del marco familiar, Descartes «sostiene en una mano la pluma y en la otra la espada», en un continuo vaivén entre el afán de retiro y estudio y su curiosidad por la vida mundana, alistándose en ejércitos, dedicado a la vida militar, como aventurero y rebelde, junto a los mercenarios de las guerras de Religión que asolaban el centro de Europa.

Provisto del bagaje intelectual del Renacimiento, dotado de una prodigiosa erudición alcanzada en el “Colegio de La Flèche” y de una brillante retórica, con una incontenible afición a la Matemática, trasmitida por su profesor de Matemáticas, el padre Françoise y por su encuentro casual con el físico y matemático Beeckman, en una de sus estancias en Breda, Descartes viaja y conoce mundo. Así manifiesta casi al principio del “Discurso del Método”:

► «Pues es casi lo mismo conversar con gentes de otros siglos que viajar por extrañas tierras, ya que bueno es saber algo de las costumbres de otros pueblos, para juzgar las del propio con mejor acierto». (DM.AT,VI, 6),

y se convierte en el «filósofo enmascarado» que persigue la “Sabiduría Universal” que anunciaban sus curiosas lecturas de adolescencia, de raíces lulianas, dentro de la tradición hermético-cabalística.

En la Matemática, que era la base racional de su pensamiento, encontró Descartes el modelo paradigmático en la búsqueda de las primeras verdades absolutamente ciertas y que pudieran servirle de base, apoyo y fundamento en la reconstrucción de todo el edificio científico y filosófico.

Cuando se habla del cartesianismo como método de la razón se debe entender «método de la razón matemática» en el sentido de que las reglas del método son extraídas por Descartes del saber y del conocimiento matemáticos, por una parte, y de la práctica, estilo y procedimientos matemáticos, por otra.

Concretamente Descartes habla de “Tres Artes o Ciencias” que habían de contribuir a su propósito: la Lógica como parte de la Filosofía, el antiguo Análisis de los geómetras clásicos y el Álgebra de los modernos. Así pues, al utilizar la Matemática como paradigma en la indagación de la verdad, es decir, el Análisis de los geómetras y la Síntesis de los algebristas, Descartes establece el «Método para conducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias

Concretamente Descartes habla de “Tres Artes o Ciencias” que habían de contribuir a su propósito: la Lógica como parte de la Filosofía, el antiguo Análisis de los geómetras clásicos y el Álgebra de los modernos. Así pues, al utilizar la Matemática como paradigma en la indagación de la verdad, es decir, el Análisis de los geómetras y la Síntesis de los algebristas, Descartes establece el «Método para conducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias».

En el “Discurso del Método”, Descartes se esforzó en presentar sus ideas con la mayor claridad posible, con el deseo de que fueran entendidas por cualquiera que quisiera asomarse a sus escritos con un poco de sentido común. Precisamente la visión de Descartes sobre el sentido común (que viene a ser la noción cartesiana de razón) abre el “Discurso del Método”:

► «El sentido común es la cosa mejor repartida del mundo, pues cada uno piensa estar tan bien provisto de ella que incluso aquellos que son los más difíciles de contentar en cualquier otra cosa, no tienen en esto costumbre de desear más del que tienen. … La facultad de juzgar bien y de distinguir lo verdadero de lo falso –que es propiamente lo que se nombra sentido común o razón–, es naturalmente igual en todos los hombres; y así, que la diversidad de nuestras opiniones no viene de que unos sean más razonables que otros, sino solamente de que conducimos nuestros pensamientos por diversas vías y no consideramos las mismas cosas».

La lectura del “Discurso del Método”, como autobiografía intelectual de Descartes, es un preliminar necesario, o al menos aconsejable, para entender la motivación y los presupuestos intelectuales del gran filósofo matemático acerca de la Ciencia, de la universalización del razonamiento matemático como base del conocimiento racional y en particular de los orígenes y objetivos de “La Geometría”.

La Geometría” de Descartes no puede entenderse de forma aislada ya que forma parte indisoluble de un proyecto metodológico general de alcanzar la unidad de la Ciencia que Descartes intenta fijar en las “Reglas para la Dirección del Espíritu” de 1628 y en el “Discurso del Método” de 1637. Descartes se propone con el “Discurso del Método” y los tres ensayos que lo acompañan (“La Geometría”, “La Dióptrica” y “Los Meteoros”), demostrar que ha alcanzado un nuevo método de especulación sobre la verdad científica, mejor que todo método anterior y que precisamente “La Geometría” demuestra este aserto (DM. AT, I, 478).

Desde luego así es en el ámbito de las Matemáticas en el que mediante el uso del Álgebra como herramienta algorítmica esencial, Descartes dará una nueva lectura a la geometría de los griegos, que supera sus limitaciones y trasciende sus conquistas geométricas a base de elaborar un magnífico instrumento de ataque de los problemas geométricos antiguos y modernos que libera a la geometría de la dependencia y sometimiento a la estructura geométrica intrínseca de la figura y su representación plana o espacial y propone una forma de solución de los problemas basada en la aplicación del Análisis mediante la actuación del Álgebra, que supone el problema resuelto y establece una ordenada dependencia entre lo conocido y lo desconocido, hasta hallar el resultado buscado, de modo que las reglas del método cartesiano adquieren el sentido matemático de normas para la solución de los problemas mediante ecuaciones.

Más aún, de acuerdo con la idea de Descartes acerca de la Matemática como fundamento de la sabiduría universal, y en particular como base racional de todas las ciencias, “La Geometría” de Descartes establecerá el Análisis Algebraico no sólo como un instrumento que aplicado a la Geometría creará la “Geometría Analítica” sino como algo mucho más universal todavía, el lenguaje de expresión y por tanto la clave de todas las ciencias.

 

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(León, 12/1953) es Catedrático de Matemáticas desde 1977. Ha sido profesor de la Universidad de Barcelona y de la Universidad Politécnica de Cataluña. Su interés se centra en dimensión cultural de la Matemática y su función en la Historia del Pensamiento, sobre lo que ha publicado 12 libros, numerosos artículos y ha impartido cursos, seminarios y conferencias en Universidades de España y LatinoAmérica y en Centros de Profesores sobre Historia, Filosofía, Epistemología y Didáctica de las Matemáticas. Es también coautor de Libros de Texto. Desde hace un tiempo también publica periódicamente en las redes sociales y en prensa digital.

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